7. 如图，在$□ ABCD$中，$CE⊥ AD$于点$E$，延长$DA$至点$F$，使得$DE = AF$，连接$BF$，$CF$.
（1）求证：四边形$BCEF$是矩形.
（2）若$AB = 3$，$CF = 4$，$DF = 5$，求$EF$的长.

7. (1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC.
∵DE=AF,
∴EF=BC,EF//BC,
∴四边形BCEF是平行四边形.又
∵CE⊥AD,
∴∠CEF=90°,
∴平行四边形BCEF是矩形.
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=3.
∵CF=4,DF=5,
∴CD²+CF²=DF²,
∴△CDF是直角三角形,∠DCF=90°,
∴S_{△CDF}=$\frac{1}{2}$DF×CE=$\frac{1}{2}$CF×CD,
∴CE=$\frac{CF×CD}{DF}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$.由(1)得,EF=BC,四边形BCEF是矩形,
∴∠FBC=90°,BF=CE=$\frac{12}{5}$,
∴BC=$\sqrt{CF^{2}-BF^{2}}$=$\sqrt{4^{2}-(\frac{12}{5})^{2}}$=$\frac{16}{5}$,
∴EF=$\frac{16}{5}$.

8. 在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$BC = 8$，$E$，$F$是对角线$AC$上的两个动点，分别从点$A$，$C$同时出发相向而行，速度均为每秒$1$个单位长度，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，其中$0≤ t≤ 10$.
（1）若$G$，$H$分别是$AD$，$BC$的中点，则四边形$EGFH$一定是怎样的四边形（点$E$，$F$相遇时除外）？
（2）在（1）条件下，若四边形$EGFH$为矩形，求$t$的值.

8. 解:　(1)四边形EGFH是平行四边形.理由如下:由题意,得AE=CF=t.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,AD=BC,
∴∠GAE=∠HCF.
∵G,H分别是AD,BC的中点,
∴AG=$\frac{1}{2}$AD,CH=$\frac{1}{2}$BC,
∴AG=CH,
∴△AEG≌△CFH(SAS),
∴EG=FH,∠AEG=∠CFH,
∴∠FEG=∠EFH,
∴EG//HF,
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)如图1,连接GH,由(1)得AG=BH,AG//BH,∠B=90°,
∴四边形ABHG是矩形,

∴GH=AB=6.
①如图1,当四边形EGFH是矩形时,EF=GH=6.
∵AE=CF=t,
∴EF=10−2t=6,
∴t=2.
②如图2,当四边形EGFH是矩形时,

∵EF=GH=6,AE=CF=t,
∴EF=t+t−10=2t−10=6,
∴t=8.综上,四边形EGFH为矩形时t=2或t=8.

【解析】
（1）由题意，得$AE = CF = t$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD// BC$，$AD = BC$，则$∠ GAE=∠ HCF$。
又因为$G$，$H$分别是$AD$，$BC$的中点，所以$AG=\frac{1}{2}AD$，$CH=\frac{1}{2}BC$，进而$AG = CH$。
所以$△ AEG≌△ CFH(SAS)$，可得$EG = FH$，$∠ AEG=∠ CFH$，从而$∠ FEG=∠ EFH$，所以$EG// HF$，因此四边形$EGFH$是平行四边形。
（2）连接$GH$，由（1）得$AG = BH$，$AG// BH$，$∠ B = 90°$，所以四边形$ABHG$是矩形，$GH = AB = 6$。
①当四边形$EGFH$是矩形时，$EF = GH = 6$。
因为$AE = CF = t$，所以$EF = 10 - 2t = 6$，解得$t = 2$。
②当四边形$EGFH$是矩形时，因为$EF = GH = 6$，$AE = CF = t$，所以$EF = t + t - 10 = 2t - 10 = 6$，解得$t = 8$。
综上，四边形$EGFH$为矩形时$t = 2$或$t = 8$。
【答案】
（1）平行四边形；（2）$t = 2$或$t = 8$
【知识点】
矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
【点评】
本题通过矩形的性质和全等三角形的判定与性质来判断四边形的形状，再根据矩形的性质列方程求解，考查了学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5