4. 如图，四边形$ABCD$为平行四边形，延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$EB$，$EC$，$DB$，要使四边形$DBCE$成为矩形，可添加一个条件是.(写出一个条件即可)

4. CD=BE(或∠ADB=90°或CE⊥DE)

【解析】
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AD// BC$。
又因为$DE = AD$，所以$DE = BC$，$DE// BC$，所以四边形$DBCE$是平行四边形。
若添加条件$CD = BE$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得四边形$DBCE$是矩形；
若添加条件$∠ ADB = 90°$，则$∠ EDB = 90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得四边形$DBCE$是矩形；
若添加条件$CE⊥ DE$，即$∠ CED = 90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得四边形$DBCE$是矩形。
【答案】
$CD = BE$（或$∠ ADB = 90°$或$CE⊥ DE$）
【知识点】
平行四边形的判定与性质、矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形和矩形的判定，需要学生熟练掌握相关判定定理，通过对已知条件的分析和运用判定定理来添加合适的条件使四边形$DBCE$成为矩形。
【难度系数】
$0.6$

5. 如图，在等边三角形$ABC$中，过点$C$作$CD⊥ BC$，与$∠ ABC$的平分线交于点$D$，过点$D$作$DE// BC$，交$AB$于点$E$，若$BC = 9$，则$AE$的长为.

5. 3

6. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$∠ D = 90°$，$E$为边$BC$上一点，且$EC = AD$，连接$AC$.
（1）求证：四边形$AECD$是矩形.
（2）若$AC$平分$∠ DAB$，$AB = 5$，$EC = 2$，求$BE$的长.

6. (1)证明:
∵AD//BC,EC=AD,
∴四边形AECD是平行四边形.又
∵∠D=90°,
∴四边形AECD是矩形.
(2)解:
∵AC平分∠DAB,
∴∠BAC=∠DAC.
∵AD//BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∴∠BAC=∠ACB,
∴BA=BC=5.
∵EC=2,
∴BE=3.

【解析】
（1）证明：
因为$AD// BC$，$EC = AD$，
根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
所以四边形$AECD$是平行四边形。
又因为$∠ D = 90°$，
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以四边形$AECD$是矩形。
（2）解：
因为$AC$平分$∠ DAB$，
所以$∠ BAC=∠ DAC$。
因为$AD// BC$，
根据两直线平行，内错角相等，
所以$∠ DAC=∠ ACB$，
所以$∠ BAC=∠ ACB$，
根据等角对等边，
所以$BA = BC = 5$。
因为$EC = 2$，
所以$BE=BC - EC=5 - 2 = 3$。
【答案】
（1）证明过程如上述解析；（2）$BE$的长为$3$。
【知识点】
平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的判定
【点评】
本题第一问考查矩形的判定，先根据平行四边形判定定理得出四边形$AECD$是平行四边形，再结合直角条件得出是矩形；第二问利用角平分线和平行线性质得出等腰三角形，进而求解$BE$长度，整体考查知识点较为基础且综合。
【难度系数】
0.6