【例2】如图21.3-10，在$□ ABCD$中，过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，$CF = AE$，连接$AF$.
（1）求证：四边形$BFDE$是矩形.
（2）若$AF$平分$∠ DAB$，$CF = 3$，$DF = 5$，求四边形$BFDE$的面积.
【点拨】（1）根据平行四边形的性质得出$DF// EB$，$AB = CD$，则$DF = BE$，通过证明四边形$BFDE$是平行四边形，结合$DE⊥ AB$，即可求证.（2）根据题意推出$∠ DAF = ∠ DFA$，则$AD = FD = 5$，根据勾股定理得出$DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = 4$，最后根据矩形的面积公式，即可解答.

[例2]　(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DF//EB,AB=CD.又
∵CF=AE,
∴DF=BE,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴四边形BFDE是矩形.
(2)解:
∵AF平分∠DAB,DC//AB,
∴∠DAF=∠FAB,∠DFA=∠FAB,
∴∠DAF=∠DFA.
∵DF=5,
∴AD=FD=5.
∵AE=CF=3,DE⊥AB,
∴DE=$\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}$=4,
∴矩形BFDE的面积是DF·DE=5×4=20.

【解析】
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$DF// EB$，$AB = CD$。
又∵$CF = AE$，
∴$DF = BE$，
∴四边形$BFDE$是平行四边形。
∵$DE⊥AB$，
∴$∠ DEB = 90°$，
∴四边形$BFDE$是矩形。
(2)解：
∵$AF$平分$∠ DAB$，$DC// AB$，
∴$∠ DAF = ∠ FAB$，$∠ DFA = ∠ FAB$，
∴$∠ DAF = ∠ DFA$。
∵$DF = 5$，
∴$AD = FD = 5$。
∵$AE = CF = 3$，$DE⊥AB$，
∴$DE = \sqrt{AD^{2}-AE^{2}} = \sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，
∴矩形$BFDE$的面积是$DF·DE = 5×4 = 20$。
【答案】
(1) 证明过程如上述解析。
(2) $20$
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形和矩形的性质与判定，以及勾股定理的应用。第（1）问通过平行四边形的性质和矩形的判定定理进行证明；第（2）问利用角平分线和平行线的性质得到等腰三角形，再结合勾股定理和矩形面积公式求解。
【难度系数】
0.5

1. 已知四边形$ABCD$是平行四边形，下列条件中，不能判定$□ ABCD$为矩形的是()

A.$∠ A = 90°$
B.$∠ B = ∠ C$
C.$AC = BD$
D.$AC⊥ BD$

1. D

【解析】
- 选项A：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，且$∠ A = 90°$。
根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以可判定$□ ABCD$为矩形。
- 选项B：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，则$∠ B+∠ C = 180°$。
又因为$∠ B=∠ C$，所以$∠ B=∠ C = 90°$。
根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以可判定$□ ABCD$为矩形。
- 选项C：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，且$AC = BD$。
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以可判定$□ ABCD$为矩形。
- 选项D：
已知四边形$ABCD$是平行四边形，且$AC⊥ BD$。
根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以可判定$□ ABCD$为菱形，不能判定为矩形。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质、矩形判定、菱形判定
【点评】
本题主要考查矩形的判定，需要学生熟练掌握矩形的判定定理，并能根据已知条件进行准确判断。
【难度系数】
0.6

2. 如图，在$□ ABCD$中，$M$，$N$是$BD$上两点，$BM = DN$，连接$AM$，$MC$，$CN$，$NA$，添加一个条件，使四边形$AMCN$是矩形，这个条件是()

A.$OM = \frac{1}{2}AC$
B.$MB = MO$
C.$BD⊥ AC$
D.$∠ AMB = ∠ CND$

2. A

【解析】
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA = OC$，$OB = OD$。
又因为$BM = DN$，所以$OB - BM = OD - DN$，即$OM = ON$。
所以四边形$AMCN$是平行四边形。
若$OM=\frac{1}{2}AC$，则$MN = AC$。
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知四边形$AMCN$是矩形。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的判定
【点评】
本题考查平行四边形的性质与矩形的判定，需要学生掌握相关定理并能灵活运用。
【难度系数】
0.3

3. 如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边$AB$是否和底边$BC$垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线$AC$，$BD$的长就可以判断，其数学依据是()

A.矩形的对角线相等
B.三个角都是直角的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相平分的四边形是矩形

3. C

【解析】
已知书架是平行四边形，若对角线$AC = BD$，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，可判断该平行四边形书架是矩形，那么侧边$AB$和底边$BC$垂直。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定
【点评】
本题考查矩形判定定理的应用，通过测量平行四边形对角线长度来判断是否为矩形，思路清晰。
【难度系数】
0.6