8. 如图，在$□ ABCD$中，$BD⊥ AD$，$∠ A=45^{\circ}$，$E$，$F$分别是边$AB$，$CD$上的点，且$BE=DF$，连接$EF$交$BD$于点$O$。
(1) 求证：$BO=DO$；
(2) 若$EF⊥ AB$，延长$EF$交$AD$的延长线于点$G$，当$FG=1$时，求$AD$的长。

8.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,
∴∠CDB=∠ABD.在△BOE和△DOF中,
$\{ \begin{array}{l} ∠DOF = ∠BOE, \\ ∠FDO = ∠EBO, \\ DF = BE, \end{array} $
∴△BOE≌△DOF(AAS),
∴BO=DO.
(2)解:
∵AB//CD,
∴∠GDF=∠A,∠GFD=∠GEA.
∵EF⊥AB,
∴∠GFD=90°.
∵∠A=45°,
∴∠GDF=45°,
∴DF=FG.
∵FG=1,
∴DF=1,DG=$\sqrt{2}$.
∵∠GDF=45°,
∴∠G=45°.
∵∠BDG=90°,
∴DO=BO=DG=$\sqrt{2}$.
∴BD=2$\sqrt{2}$.
∵∠A=45°,∠ADB=90°,
∴AD=BD=2$\sqrt{2}$.

9. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$AB=5$，$AD=10$，过$BC$的中点$E$作$EF⊥ AB$，垂足为$F$，$BF=3$。连接$DF$，求$DF$的长。

9.解:如图,延长FE,DC,交于点H,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//DC,AB = CD,AD = BC,
∴∠B = ∠ECH,∠BFE = ∠H.
∵AB = 5,AD = 10,
∴BC = 10,CD = 5.
∵E是BC的中点,
∴BE = EC = $\frac{1}{2}$BC = 5,
∴△BFE≌△CHE(AAS),
∴CH = BF,EF = EH.
∵EF⊥AB,
∴∠BFE = ∠H = 90°,
∴BF = CH = 3,
∴FH = 8,DH = 8,在Rt△FHD中,∠H = 90°,
∴DF = $8\sqrt{2}$.