23. (本小题 12 分)小华根据学习平行四边形、菱形、正方形的经验对其面积进行了研究.他将一根长为$10\ \mathrm{cm}$的小棒截成两段,并将之放置在互相垂直平分的位置上,将端点用橡皮筋连接,即构造出了菱形$ABCD$.
(1) 若所构菱形的面积为$12\ \mathrm{cm}^{2}$,则应如何截取?
(2) 所构菱形的面积可以为$15\ \mathrm{cm}^{2}$吗? 试说明理由.

(1) 设每段长为 $x\ \mathrm{cm}$ 和 $10 - x\ \mathrm{cm}$，由于两杆互相垂直平分，根据菱形的性质，其对角线互相垂直且平分。
设对角线长度为 $2a$ 和 $2b$，则 $2a = x$，$2b = 10 - x$，即 $a = \frac{x}{2}$，$b = \frac{10 - x}{2}$。
菱形的面积 $S = \frac{1}{2} × (2a) × (2b) = 2ab = 2 × \frac{x}{2} × \frac{10 - x}{2} = 12$。
即：
$\frac{x(10 - x)}{2} = 12$
$x(10 - x) = 24$
$x^2 - 10x + 24 = 0$
$(x - 4)(x - 6) = 0$
解得 $x_1 = 4$，$x_2 = 6$。
因此，应将小棒截成 $4\ \mathrm{cm}$ 和 $6\ \mathrm{cm}$ 的两段。
(2) 假设能构面积为 $15\ \mathrm{cm}^2$ 的菱形，则：
$\frac{x(10 - x)}{2} = 15$
$x(10 - x) = 30$
$x^2 - 10x + 30 = 0$
计算判别式 $\Delta = (-10)^2 - 4 × 1 × 30 = 100 - 120 = -20 ＜ 0$。
由于判别式小于0，方程无实数解。
因此，不能构面积为 $15\ \mathrm{cm}^2$ 的菱形。