素养提升
8. （应用意识）制造企业有一座对生产设备进行水循环冷却的冷却塔，冷却塔的顶部有一个进水口，$ 3 $ 小时恰好可以注满这座空塔，底部有一个出水口，$ 7 $ 小时恰好可以放完满塔的水。为了保证安全，塔内剩余水量不得少于全塔水量的 $\frac{1}{4}$，出水口一直打开，保证水的循环，进水口根据水位情况定时对冷却塔进行补水。假设每次恰好在剩余水量为满水量的 $ m $ 倍时开始补水，补满后关闭进水口。
(1) 当 $ m = \frac{1}{4} $ 时，请问：两次补水之间相隔多长时间？每次补水需要多长时间？
(2) 能否找到适当的 $ m $ 值，使得两次补水的间隔时间和每次的补水时间一样长？如果能，请求出 $ m $ 值；如果不能，请你分析两次补水的间隔时间和每次的补水时间之间的数量关系，并表示出来。

(1)两次补水间隔时间为$\frac{21}{4}$小时，每次补水时间为$\frac{63}{16}$小时；(2)不能，$t = \frac{3}{4}T$

(1)设满塔水量为1，进水效率为$\frac{1}{3}$/小时，出水效率为$\frac{1}{7}$/小时。
间隔时间：从满水到剩余$\frac{1}{4}$，仅出水，$1 - \frac{1}{7}t_1 = \frac{1}{4}$，解得$t_1 = 7×\frac{3}{4} = \frac{21}{4}$小时。
补水时间：从$\frac{1}{4}$补满，净进水效率$\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{4}{21}$，需补水$1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，则$\frac{4}{21}t_2 = \frac{3}{4}$，解得$t_2 = \frac{63}{16}$小时。
(2)设间隔时间为$T$，补水时间为$t$。间隔时仅出水：$1 - \frac{1}{7}T = m$，得$T = 7(1 - m)$；补水时净效率$\frac{4}{21}$，$t = \frac{1 - m}{\frac{4}{21}} = \frac{21(1 - m)}{4}$。若$T = t$，则$7(1 - m) = \frac{21(1 - m)}{4}$，因$1 - m ≠ 0$，等式不成立，故不存在$m$。数量关系：$t = \frac{3}{4}T$。