重难点 2 工程问题
【典例 2】粉刷一个教室甲单独做 $ 6 $ 天完成，乙单独做 $ 4 $ 天完成。若甲先做 $ 1 $ 天，然后甲、乙合作完成此项工作，若甲、乙合做了 $ x $ 天，则所列方程为 （ $ B $ ）
A. $\frac{x}{6} + \frac{x + 1}{4} = 1$
B. $\frac{x + 1}{6} + \frac{x}{4} = 1$
C. $\frac{x - 1}{6} + \frac{x}{4} = 1$
D. $\frac{x + 1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{x}{4} = 1$
解析：甲、乙合做了 $ x $ 天，则甲一共做了 $ (x + 1) $ 天。
可设工程总量为 $ 1 $，则甲的工作效率为 $\frac{1}{6}$，乙的工作效率为 $\frac{1}{4}$，那么根据题意可得出方程 $\frac{x + 1}{6} + \frac{x}{4} = 1$，故选 $ B $。

B

甲单独完成需6天，效率为$\frac{1}{6}$。
乙单独完成需4天，效率为$\frac{1}{4}$。
甲先做1天，之后合作$x$天，故甲共工作$(x+1)$天，乙工作$x$天。
根据总工作量为1，列方程：
$\frac{x+1}{6} + \frac{x}{4} = 1$。

【对点训练】
2. 某车间 $ 56 $ 名工人，每人每天能生产螺栓 $ 16 $ 个或螺母 $ 24 $ 个，每个螺栓配两个螺母；设安排 $ x $ 名工人生产螺栓，才能使每天生产出来的螺栓和螺母刚好配套，下列方程中正确的是 ()
A. $ 2×16x = 24(56 - x) $
B. $ 2×24x = 16(56 - x) $
C. $ 16x = 24(56 - x) $
D. $ 24x = 16(56 - x) $

A

设安排$x$名工人生产螺栓，则生产螺母的人数为$56 - x$。
每天生产的螺栓数量为$16x$，螺母数量为$24(56 - x)$。
根据每个螺栓需要配两个螺母的条件，得方程：
$2 × 16x = 24(56 - x)$。

基础巩固
1. 一艘轮船从甲码头到乙码头顺水航行，用了 $ 2 $ 小时，从乙码头到甲码头逆水航行，用了 $ 2.5 $ 小时。已知水流速度为 $ 3 $ 千米/时。设轮船在静水中的速度为 $ x $ 千米/时，可列出的方程为()
A. $ 2x + 3 = 2.5x - 3 $
B. $ 2(x + 3) = 2.5(x - 3) $
C. $ 2x - 3 = 2.5(x - 3) $
D. $ 2(x - 3) = 2.5(x + 3) $
2. 已知某桥全长 $ 1000 $ 米，现有一列火车匀速从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用 $ 60 $ 秒，整列火车完全在桥上的时间是 $ 40 $ 秒。设火车的长度为 $ x $，所列方程正确的是 ()
A. $\frac{1000 - x}{40} = \frac{1000 + x}{60}$
B. $\frac{1000 + x}{40} = \frac{1000 - x}{60}$
C. $\frac{1000}{40} = \frac{1000 + x}{60}$
D. $\frac{1000 + x}{40} = \frac{1000}{60}$
3. 学校组织知识竞赛，共设 $ 20 $ 道选择题，各题分值相同。下表记录了甲、乙、丙三名参赛学生的得分情况。若参赛学生小亮只答对了 $ 16 $ 道选择题，则小亮的得分是 ()

A. $ 80 $
B. $ 76 $
C. $ 75 $
D. $ 70 $
4. 一项工程，甲单独做 $ 20 $ 天完成，乙单独做 $ 10 $ 天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共做了 $ 12 $ 天完成，则乙做了 天。
5. 在 $ 400 $ 米的环形跑道上，男生每分钟跑 $ 320 $ 米，女生每分钟跑 $ 280 $ 米，男、女生同时同地同向出发，$ t $ 分钟后第二次相遇，则 $ t = $ 分钟。
6. 如图，正方形 $ ABCD $ 的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在 $ A $ 处，乙在 $ C $ 处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒 $ 1 $ cm，乙的速度为每秒 $ 5 $ cm，已知正方形轨道 $ ABCD $ 的边长为 $ 2 $ cm，则乙第 $ 2024 $ 次追上甲时的位置是在正方形 $ ABCD $ 的哪条边上？

7. 如图，数轴上 $ A $，$ B $ 两点表示的数分别为 $ a $，$ b $，且点 $ A $ 在点 $ B $ 的左边，$|a| = 10$，$ a + b = 80 $，$ ab ＜ 0 $。
(1) 求 $ a $，$ b $ 的值；
(2) 现有一动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，以每秒 $ 3 $ 个单位长度的速度向右运动，同时另一动点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发，以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度向左运动。
① 设两个动点在数轴上的点 $ C $ 相遇，求点 $ C $ 表示的数；
② 经过多长时间，两个动点在数轴上相距 $ 20 $ 个单位长度？

1. B
2. A
3. B
4. 8
5. 20
6. DA边
7. (1)$a=-10$，$b=90$；(2)①50；②16秒或24秒

1. 顺水速度为$x+3$，逆水速度为$x-3$，路程相等，方程为$2(x+3)=2.5(x-3)$。
2. 火车完全通过路程$1000+x$，速度$\frac{1000+x}{60}$；完全在桥路程$1000-x$，速度$\frac{1000-x}{40}$，速度相等得$\frac{1000-x}{40}=\frac{1000+x}{60}$。
3. 甲全对100分，每题5分；乙18对2错88分，设答错扣$y$，$18×5 - 2y=88$，$y=1$；小亮16对4错，得分$16×5 - 4×1=76$。
4. 设乙做$x$天，甲做$12-x$天，$\frac{x}{10}+\frac{12-x}{20}=1$，解得$x=8$。
5. 速度差$320-280=40$，第二次相遇多跑$2×400=800$，$t=800÷40=20$。
6. 初始距离4cm，速度差4cm/s，第一次追上$t=1$s，之后每2s追上一次，第2024次时间$1+2023×2=4047$s，甲路程4047cm，$4047÷8=505$圈余7cm，在DA边。
7. (1)$a＜0$，$a=-10$，$b=90$；(2)①相遇时间$t=20$s，$C$表示$-10+3×20=50$；②相遇前$5t=80$，$t=16$；相遇后$5t=120$，$t=24$。