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1. 下列方程中，是一元一次方程的是()
A. $\frac{1}{x} = -1$
B. $x^2 = 4x + 5$
C. $8 - x = 1$
D. $x + y = 7$
A. $\frac{1}{x} = -1$
B. $x^2 = 4x + 5$
C. $8 - x = 1$
D. $x + y = 7$
答案
C
解析
A选项中方程的分母含有未知数，是分式方程，不是一元一次方程；B选项中方程未知数的最高次数是2，是一元二次方程，不是一元一次方程；C选项中方程符合一元一次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次数是1；D选项中方程含有两个未知数，是二元一次方程，不是一元一次方程。
2. 在解方程$\frac{x - 1}{3} + x = \frac{3x + 1}{2}$时，去分母正确的是()
A. $2x - 1 + 6x = 3(3x + 1)$
B. $2(x - 1) + 6x = 3(3x + 1)$
C. $2(x - 1) + x = 3(3x + 1)$
D. $(x - 1) + x = 3(x + 1)$
A. $2x - 1 + 6x = 3(3x + 1)$
B. $2(x - 1) + 6x = 3(3x + 1)$
C. $2(x - 1) + x = 3(3x + 1)$
D. $(x - 1) + x = 3(x + 1)$
答案
B
解析
方程两边同时乘以分母的最小公倍数6，
得到：$2(x - 1) + 6x = 3(3x + 1)$，
这与选项B相匹配。
得到：$2(x - 1) + 6x = 3(3x + 1)$，
这与选项B相匹配。
3. 方程$-3(★ - 9) = 5x - 1$，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是$x = 2$，那么★处的数字是()
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
答案
A
解析
将$x=2$代入方程$-3(★ - 9) = 5x - 1$中，得：
$-3(★ - 9) = 5× 2 - 1$
$-3(★ - 9) = 9$
$★ - 9 = -3$
$★ = 6$
$-3(★ - 9) = 5× 2 - 1$
$-3(★ - 9) = 9$
$★ - 9 = -3$
$★ = 6$
4. 若关于$x$的方程$6x + 3a = 22$和方程$3x + 5 = 11$的解相同，那么$a$的值为()
A. $\frac{10}{3}$
B. $\frac{3}{10}$
C. 10
D. 3
A. $\frac{10}{3}$
B. $\frac{3}{10}$
C. 10
D. 3
答案
A
解析
首先，解方程$3x + 5 = 11$，得$3x = 6$，所以$x = 2$。
因为两个方程的解相同，将$x = 2$代入方程$6x + 3a = 22$，得$6 × 2 + 3a = 22$，即$12 + 3a = 22$。
解得$3a = 10$，所以$a = \frac{10}{3}$。
5. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一. 书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短. 引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺. 木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余$4.5$尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余$1$尺. 问木长多少尺？设木长$x$尺，则可列方程为()
A. $\frac{1}{2}(x + 4.5) = x - 1$
B. $\frac{1}{2}(x + 4.5) = x + 1$
C. $\frac{1}{2}(x + 1) = x - 4.5$
D. $\frac{1}{2}(x - 1) = x + 4.5$
A. $\frac{1}{2}(x + 4.5) = x - 1$
B. $\frac{1}{2}(x + 4.5) = x + 1$
C. $\frac{1}{2}(x + 1) = x - 4.5$
D. $\frac{1}{2}(x - 1) = x + 4.5$
答案
A
解析
设木长$x$尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余$4.5$尺”，可得绳子长为$(x + 4.5)$尺。再根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余$1$尺”，此时绳子长度的一半为$(x - 1)$尺，所以可列方程为$\frac{1}{2}(x + 4.5) = x - 1$。
6. 若$-2x^{2m - 3} - 5m + 1 = 0$是关于$x$的一元一次方程，则$m =$.
答案
2
解析
根据题意，方程为关于$x$的一元一次方程，故$x$的最高次数为1，且系数不为0。
方程中$x$的指数为$2m-3$，所以有：
$2m - 3 = 1$
解方程得：
$2m = 4$
$m = 2$
同时需验证系数$-2 ≠ 0$，满足条件。
7. 当$m =$时，式子$3 + m$与式子$-2m + 1$的值相等.
答案
$-\frac{2}{3}$
解析
由题意得$3 + m = -2m + 1$，移项得$m + 2m = 1 - 3$，合并同类项得$3m = -2$，系数化为1得$m = -\frac{2}{3}$。
8. 某商店老板将一件进价为$600$元的商品先提价$50\%$，再打$9$折出售，则出售这件商品所获利润是元.
答案
出售这件商品所获利润是$210$元（填写$210$）
解析
本题可先根据进价求出提价后的价格，再根据打折情况求出实际售价，最后根据利润公式求出利润。
1. 计算提价$50\%$后的价格：
已知商品进价为$600$元，提价$50\%$，则提价后的价格为$600×(1 + 50\%)=600×1.5 = 900$元。
2. 计算打$9$折后的实际售价：
打$9$折就是按提价后价格的$90\%$出售，所以实际售价为$900×0.9 = 810$元。
3. 计算出售这件商品所获的利润：
利润$=$实际售价$-$进价，即$810 - 600 = 210$元。
9. 设$a$，$b$，$c$，$d$为实数，现规定一种新的运算：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$，则满足等式$\begin{vmatrix}\frac{x}{2}&\frac{x + 1}{3}\\2&1\end{vmatrix} = 1$的$x$的值为 ______ .
答案
$-10$
解析
根据题中的新定义运算，将等式进行转换：
$\begin{vmatrix}\frac{x}{2}&\frac{x + 1}{3}\\2&1\end{vmatrix} = 1$可转换为$\frac{x}{2} × 1 - \frac{x + 1}{3} × 2 = 1$，
等式两边同时乘$6$得：
$3x - 4(x + 1) = 6$，
去括号：
$3x - 4x - 4 = 6$，
移项：
$3x - 4x = 6 + 4$，
合并同类项：
$-x = 10$，
系数化为$1$：
$x = -10$。
$\begin{vmatrix}\frac{x}{2}&\frac{x + 1}{3}\\2&1\end{vmatrix} = 1$可转换为$\frac{x}{2} × 1 - \frac{x + 1}{3} × 2 = 1$，
等式两边同时乘$6$得：
$3x - 4(x + 1) = 6$，
去括号：
$3x - 4x - 4 = 6$，
移项：
$3x - 4x = 6 + 4$，
合并同类项：
$-x = 10$，
系数化为$1$：
$x = -10$。
三、解答题
10. 解方程：
（1）$3x - 4 = 6 - 2x$；
（2）$\frac{x - 1}{3} = 2 - \frac{3x + 1}{2}$.
10. 解方程：
（1）$3x - 4 = 6 - 2x$；
（2）$\frac{x - 1}{3} = 2 - \frac{3x + 1}{2}$.
答案
（1）的答案对应$x = 2$，（2）的答案对应$x = 1$（本题为解答题，按题目要求仅给出解题过程和结果，不涉及选项填空）。
解析
（1）对于方程$3x - 4 = 6 - 2x$：
移项，把含$x$的项移到等号左边，常数项移到等号右边，得$3x + 2x = 6 + 4$。
合并同类项，$5x = 10$。
系数化为$1$，两边同时除以$5$，解得$x = 2$。
（2）对于方程$\frac{x - 1}{3} = 2 - \frac{3x + 1}{2}$：
去分母，方程两边同时乘以$6$，得$2(x - 1) = 12 - 3(3x + 1)$。
去括号，$2x - 2 = 12 - 9x - 3$。
移项，$2x + 9x = 12 - 3 + 2$。
合并同类项，$11x = 11$。
系数化为$1$，两边同时除以$11$，解得$x = 1$。
移项，把含$x$的项移到等号左边，常数项移到等号右边，得$3x + 2x = 6 + 4$。
合并同类项，$5x = 10$。
系数化为$1$，两边同时除以$5$，解得$x = 2$。
（2）对于方程$\frac{x - 1}{3} = 2 - \frac{3x + 1}{2}$：
去分母，方程两边同时乘以$6$，得$2(x - 1) = 12 - 3(3x + 1)$。
去括号，$2x - 2 = 12 - 9x - 3$。
移项，$2x + 9x = 12 - 3 + 2$。
合并同类项，$11x = 11$。
系数化为$1$，两边同时除以$11$，解得$x = 1$。
