1. 下列说法中，错误的是()。

A.四个角都相等的四边形是正方形
B.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C.有一组邻边相等的矩形是正方形
D.有一个角是直角的菱形是正方形

1. A

2. 正方形的边长为 4，则它的对角线长为。

2. $4\sqrt{2}$

3. 已知：如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线相交于点 $O$，$AO = BO = CO = DO$，$AC⊥BD$。求证：四边形 $ABCD$ 是正方形。

3. 因为 $AO = BO = CO = DO$，所以 $AC = BD$，所以四边形 $ABCD$ 是矩形。因为 $AC⊥ BD$，所以四边形 $ABCD$ 是正方形。

证明：
∵ $AO = BO = CO = DO$，
∴ 四边形 $ABCD$ 的对角线互相平分且相等，
∴ 四边形 $ABCD$ 是矩形。
∵ $AC ⊥ BD$，
∴ 矩形 $ABCD$ 是正方形。

4. 已知：如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$D$是 $BC$ 的中点，$DE⊥AB$于点 $E$，$DF⊥AC$于点 $F$。
(1) 求证：$△ BDE≌△ CDF$。
(2) 若$∠ A = 90^{\circ}$，则四边形 $AEDF$ 是正方形。请说明理由。

4. (1) 因为 $AB = AC$，所以 $∠ B = ∠ C$。因为 $DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，所以 $∠ BED = ∠ CFD = 90^{\circ}$。因为 $D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BD = CD$。所以 $△ BDE≌△ CDF(AAS)$。
(2) 因为 $DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，所以 $∠ AED = ∠ AFD = 90^{\circ}$。又因为 $∠ A = 90^{\circ}$，所以四边形 $AEDF$ 是矩形。因为 $△ BDE≌△ CDF$，所以 $DE = DF$，所以四边形 $AEDF$ 是正方形。另解：连结 $AD$，由等腰三角形的三线合一与角平分线的性质可得 $DE = DF$。