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10. 已知多项式 $ x^2 - ax - 10 $ 因式分解为 $ (x + m)(x + n) $，其中 $ a $，$ m $，$ n $ 为整数，则 $ a $ 的取值有(
A.$ 2 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.无数个
C
)A.$ 2 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.无数个
答案
10. C
解析
【分析】
解题思路：首先利用因式分解与多项式乘法的互逆关系，将因式分解的结果展开，与原多项式对比系数，得到关于m、n、a的关系式；接着找出所有满足乘积为-10的整数对(m,n)，计算对应的a的值，统计不同a的个数即可。
思考步骤：
1. 回忆多项式乘法法则，将(x+m)(x+n)展开，得到$x^2+(m+n)x+mn$；
2. 根据等式$x^2 - ax - 10=(x+m)(x+n)$，对应系数相等，得出$mn=-10$，$m+n=-a$；
3. 列举所有乘积为-10的整数因数对，注意因数的正负性，避免重复；
4. 对每一组因数对计算$m+n$的值，进而得到对应的a的值，统计不同a的数量，确定答案。
【解析】
1. 展开因式分解的结果：
$ (x+m)(x+n) = x^2 + (m+n)x + mn $
2. 对比原多项式$x^2 - ax - 10$，根据对应系数相等可得：
$ \begin{cases} mn = -10 \\ m + n = -a \end{cases} $
3. 找出所有满足$mn=-10$的整数对$(m,n)$，并计算对应的$a$：
当$m=1$，$n=-10$时，$m+n=1+(-10)=-9$，则$-a=-9$，解得$a=9$；
当$m=-1$，$n=10$时，$m+n=-1+10=9$，则$-a=9$，解得$a=-9$；
当$m=2$，$n=-5$时，$m+n=2+(-5)=-3$，则$-a=-3$，解得$a=3$；
当$m=-2$，$n=5$时，$m+n=-2+5=3$，则$-a=3$，解得$a=-3$；
交换$m$和$n$的位置，得到的$a$值与上述重复，无需重复计算。
4. 综上，$a$的取值为$9,-9,3,-3$，共4个。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解与多项式乘法互逆
2. 整数因数分解
【点评】
本题考查因式分解与多项式乘法的互逆应用，关键在于通过系数对应关系建立等式，再利用整数因数的组合找出所有可能的取值，需要注意因数的正负性，避免遗漏或重复计算，培养严谨的逻辑思维和分类讨论能力。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先利用因式分解与多项式乘法的互逆关系，将因式分解的结果展开，与原多项式对比系数，得到关于m、n、a的关系式；接着找出所有满足乘积为-10的整数对(m,n)，计算对应的a的值，统计不同a的个数即可。
思考步骤：
1. 回忆多项式乘法法则，将(x+m)(x+n)展开，得到$x^2+(m+n)x+mn$；
2. 根据等式$x^2 - ax - 10=(x+m)(x+n)$，对应系数相等，得出$mn=-10$，$m+n=-a$；
3. 列举所有乘积为-10的整数因数对，注意因数的正负性，避免重复；
4. 对每一组因数对计算$m+n$的值，进而得到对应的a的值，统计不同a的数量，确定答案。
【解析】
1. 展开因式分解的结果：
$ (x+m)(x+n) = x^2 + (m+n)x + mn $
2. 对比原多项式$x^2 - ax - 10$，根据对应系数相等可得：
$ \begin{cases} mn = -10 \\ m + n = -a \end{cases} $
3. 找出所有满足$mn=-10$的整数对$(m,n)$，并计算对应的$a$：
当$m=1$，$n=-10$时，$m+n=1+(-10)=-9$，则$-a=-9$，解得$a=9$；
当$m=-1$，$n=10$时，$m+n=-1+10=9$，则$-a=9$，解得$a=-9$；
当$m=2$，$n=-5$时，$m+n=2+(-5)=-3$，则$-a=-3$，解得$a=3$；
当$m=-2$，$n=5$时，$m+n=-2+5=3$，则$-a=3$，解得$a=-3$；
交换$m$和$n$的位置，得到的$a$值与上述重复，无需重复计算。
4. 综上，$a$的取值为$9,-9,3,-3$，共4个。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解与多项式乘法互逆
2. 整数因数分解
【点评】
本题考查因式分解与多项式乘法的互逆应用，关键在于通过系数对应关系建立等式，再利用整数因数的组合找出所有可能的取值，需要注意因数的正负性，避免遗漏或重复计算，培养严谨的逻辑思维和分类讨论能力。
【难度系数】
0.6
11. 若 $ \frac{1}{2}a^3b + M = \frac{1}{2}ab(N + 2) $，则 $ M = $
$ab$
，$ N = $$a^{2}$
。答案
11. $ab$ $a^{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先将等式右边的式子展开，再根据等式两边同类项对应相等的原则来求解M和N。具体思考过程如下：
1. 首先利用乘法分配律把等式右边的$\frac{1}{2}ab(N + 2)$展开，得到两项式；
2. 将展开后的右边式子与左边的$\frac{1}{2}a^3b + M$对比，找到对应的同类项；
3. 根据同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也相同），分别对应求出N和M的值。
【解析】
1. 展开等式右边的式子：
根据乘法分配律，$\frac{1}{2}ab(N + 2)=\frac{1}{2}ab· N + \frac{1}{2}ab·2=\frac{1}{2}Nab + ab$
2. 对比等式左右两边的同类项：
原等式转化为$\frac{1}{2}a^3b + M = \frac{1}{2}Nab + ab$
对于含$a^3b$的项：左边是$\frac{1}{2}a^3b$，右边对应同类项是$\frac{1}{2}Nab$，两边同时除以$\frac{1}{2}ab$，可得$N=a^2$；
对于剩余项：左边是M，右边对应项是$ab$，因此$M=ab$。
【答案】
$ab$；$a^{2}$
【知识点】
1. 乘法分配律
2. 同类项的定义
【点评】
本题核心考查乘法分配律的应用与同类项的概念，解题关键是通过展开等式右侧，利用同类项对应相等的规则建立等量关系，进而求出未知项。需注意同类项要求所含字母、相同字母的指数均完全一致。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以先将等式右边的式子展开，再根据等式两边同类项对应相等的原则来求解M和N。具体思考过程如下：
1. 首先利用乘法分配律把等式右边的$\frac{1}{2}ab(N + 2)$展开，得到两项式；
2. 将展开后的右边式子与左边的$\frac{1}{2}a^3b + M$对比，找到对应的同类项；
3. 根据同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也相同），分别对应求出N和M的值。
【解析】
1. 展开等式右边的式子：
根据乘法分配律，$\frac{1}{2}ab(N + 2)=\frac{1}{2}ab· N + \frac{1}{2}ab·2=\frac{1}{2}Nab + ab$
2. 对比等式左右两边的同类项：
原等式转化为$\frac{1}{2}a^3b + M = \frac{1}{2}Nab + ab$
对于含$a^3b$的项：左边是$\frac{1}{2}a^3b$，右边对应同类项是$\frac{1}{2}Nab$，两边同时除以$\frac{1}{2}ab$，可得$N=a^2$；
对于剩余项：左边是M，右边对应项是$ab$，因此$M=ab$。
【答案】
$ab$；$a^{2}$
【知识点】
1. 乘法分配律
2. 同类项的定义
【点评】
本题核心考查乘法分配律的应用与同类项的概念，解题关键是通过展开等式右侧，利用同类项对应相等的规则建立等量关系，进而求出未知项。需注意同类项要求所含字母、相同字母的指数均完全一致。
【难度系数】
0.6
12. 因式分解与整式的乘法是互逆关系，请利用 $ a^2 + ab = a(a + b) $ 解决下列问题。
（1）简便计算：$ 8.7^2 + 8.7 × 1.3 $。
（2）判断 $ n^2 + n $（$ n $ 为整数）是奇数还是偶数。
（1）简便计算：$ 8.7^2 + 8.7 × 1.3 $。
（2）判断 $ n^2 + n $（$ n $ 为整数）是奇数还是偶数。
答案
12. 解：(1)原式$= 8.7×(8.7 + 1.3) = 87$。
(2)$n^{2} + n$（$n$为整数）是偶数。
(2)$n^{2} + n$（$n$为整数）是偶数。
解析
【分析】
（1）对于简便计算，观察式子$8.7^2 + 8.7 × 1.3$，发现它符合题目给出的$a^2 + ab = a(a + b)$的形式，其中$a=8.7$，$b=1.3$，因此可通过提取公因式8.7，将式子转化为更简便的乘法运算来计算。
（2）判断$n^2 + n$的奇偶性，先利用提取公因式法把式子变形为$n(n+1)$，由于$n$是整数，$n$和$n+1$是连续的两个整数，连续整数中必然存在一个偶数，而偶数与任何整数相乘的结果都是偶数，据此可判断该式的奇偶性。
【解析】
(1) 原式$= 8.7×(8.7 + 1.3)$
$=8.7×10$
$=87$
(2) 对$n^2 + n$进行因式分解：
$n^2 + n = n(n+1)$
因为$n$为整数，$n$和$n+1$是连续整数，连续整数中必有一个是偶数，偶数与整数相乘的结果为偶数，所以$n^2 + n$（$n$为整数）是偶数。
【答案】
(1) $\boxed{87}$；(2) $\boxed{偶数}$
【知识点】
1. 提取公因式法因式分解
2. 整数奇偶性判断
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，既利用因式分解简化了计算，又结合整数性质判断了数的奇偶性，充分体现了因式分解在数学运算和数的性质探究中的工具作用，帮助学生深化对整式乘法与因式分解互逆关系的理解。
【难度系数】
0.8
（1）对于简便计算，观察式子$8.7^2 + 8.7 × 1.3$，发现它符合题目给出的$a^2 + ab = a(a + b)$的形式，其中$a=8.7$，$b=1.3$，因此可通过提取公因式8.7，将式子转化为更简便的乘法运算来计算。
（2）判断$n^2 + n$的奇偶性，先利用提取公因式法把式子变形为$n(n+1)$，由于$n$是整数，$n$和$n+1$是连续的两个整数，连续整数中必然存在一个偶数，而偶数与任何整数相乘的结果都是偶数，据此可判断该式的奇偶性。
【解析】
(1) 原式$= 8.7×(8.7 + 1.3)$
$=8.7×10$
$=87$
(2) 对$n^2 + n$进行因式分解：
$n^2 + n = n(n+1)$
因为$n$为整数，$n$和$n+1$是连续整数，连续整数中必有一个是偶数，偶数与整数相乘的结果为偶数，所以$n^2 + n$（$n$为整数）是偶数。
【答案】
(1) $\boxed{87}$；(2) $\boxed{偶数}$
【知识点】
1. 提取公因式法因式分解
2. 整数奇偶性判断
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，既利用因式分解简化了计算，又结合整数性质判断了数的奇偶性，充分体现了因式分解在数学运算和数的性质探究中的工具作用，帮助学生深化对整式乘法与因式分解互逆关系的理解。
【难度系数】
0.8
13. 在分解因式 $ x^2 + ax + b $ 时，甲看错了 $ a $ 的值，分解的结果是 $ (x - 3) · (x + 2) $，乙看错了 $ b $ 的值，分解的结果是 $ (x - 2)(x - 3) $，求 $ a + b $ 的值。
答案
13. 解：因为分解因式$x^{2} + ax + b$时，甲看错了$a$的值，
分解的结果是$(x - 3)(x + 2)$，
且$(x - 3)(x + 2) = x^{2} - x - 6$，
所以$b = - 6$。
因为乙看错了$b$的值，分解的结果是$(x - 2)(x - 3)$，
且$(x - 2)(x - 3) = x^{2} - 5x + 6$，
所以$a = - 5$，
所以$a + b = - 11$。
分解的结果是$(x - 3)(x + 2)$，
且$(x - 3)(x + 2) = x^{2} - x - 6$，
所以$b = - 6$。
因为乙看错了$b$的值，分解的结果是$(x - 2)(x - 3)$，
且$(x - 2)(x - 3) = x^{2} - 5x + 6$，
所以$a = - 5$，
所以$a + b = - 11$。
解析
【分析】
要解决这道题，关键是理解因式分解与整式乘法是互逆运算，并且抓住“甲看错$a$的值但$b$的值正确，乙看错$b$的值但$a$的值正确”这一核心条件。首先，甲分解的结果虽然$a$错了，但展开后的常数项就是原式中的$b$，所以先将甲的结果展开得到正确的$b$；然后，乙分解的结果虽然$b$错了，但展开后的一次项系数就是原式中的$a$，将乙的结果展开就能得到正确的$a$，最后代入计算$a+b$的值即可。
【解析】
解：因为分解因式$x^{2} + ax + b$时，甲看错了$a$的值，分解的结果是$(x - 3)(x + 2)$，
且$(x - 3)(x + 2) = x^{2} - x - 6$，
由于甲仅看错$a$，常数项$b$正确，所以$b = - 6$。
因为乙看错了$b$的值，分解的结果是$(x - 2)(x - 3)$，
且$(x - 2)(x - 3) = x^{2} - 5x + 6$，
由于乙仅看错$b$，一次项系数$a$正确，所以$a = - 5$。
则$a + b = -5 + (-6) = -11$。
【答案】
$-11$
【知识点】
因式分解与整式乘法互逆、二次三项式系数对应关系
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题核心是明确看错某一系数时另一系数不受影响，通过展开错误分解结果得到正确系数，考查学生对因式分解本质的理解和整式运算能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，关键是理解因式分解与整式乘法是互逆运算，并且抓住“甲看错$a$的值但$b$的值正确，乙看错$b$的值但$a$的值正确”这一核心条件。首先，甲分解的结果虽然$a$错了，但展开后的常数项就是原式中的$b$，所以先将甲的结果展开得到正确的$b$；然后，乙分解的结果虽然$b$错了，但展开后的一次项系数就是原式中的$a$，将乙的结果展开就能得到正确的$a$，最后代入计算$a+b$的值即可。
【解析】
解：因为分解因式$x^{2} + ax + b$时，甲看错了$a$的值，分解的结果是$(x - 3)(x + 2)$，
且$(x - 3)(x + 2) = x^{2} - x - 6$，
由于甲仅看错$a$，常数项$b$正确，所以$b = - 6$。
因为乙看错了$b$的值，分解的结果是$(x - 2)(x - 3)$，
且$(x - 2)(x - 3) = x^{2} - 5x + 6$，
由于乙仅看错$b$，一次项系数$a$正确，所以$a = - 5$。
则$a + b = -5 + (-6) = -11$。
【答案】
$-11$
【知识点】
因式分解与整式乘法互逆、二次三项式系数对应关系
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，解题核心是明确看错某一系数时另一系数不受影响，通过展开错误分解结果得到正确系数，考查学生对因式分解本质的理解和整式运算能力。
【难度系数】
0.6
14. 如图 1，某工人师傅在一个边长为 $ a $ 的正方形的 $ 4 $ 个角截去了 $ 4 $ 个边长为 $ b $ 的正方形，再沿图 1 中的虚线把图中的①，②两个长方形剪下来，拼成了如图 2 所示的一个长方形。试根据图 1 与图 2，写出一个关于因式分解的等式。
答案
14. 解：题图1中阴影部分的面积为$a^{2} - 4b^{2}$，题图1中①，②是两个完全一样的小长方形，长为$a - 2b$，宽为$b$，因此题图2中的大长方形的长为$a + 2b$，宽为$a - 2b$，故题图2中阴影部分的面积为$(a + 2b)(a - 2b)$。由于题图1与题图2中阴影部分的面积相等，故$a^{2} - 4b^{2} = (a + 2b)(a - 2b)$。
解析
【分析】
要得到关于因式分解的等式，我们可以利用“图形变换前后阴影部分的面积不变”这一核心思路推导：
1. 先计算图1阴影面积：用边长为$a$的大正方形面积减去4个边长为$b$的小正方形面积；
2. 再分析图2拼接后长方形的长和宽：图1的①、②是完全相同的长方形，拼接后新长方形的长为$a+2b$，宽为$a-2b$，进而算出图2阴影面积；
3. 最后根据两个图形阴影面积相等建立等式，即可得到因式分解的式子。
【解析】
1. 计算图1中阴影部分的面积：
大正方形面积为$a^2$，4个小正方形的总面积为$4b^2$，因此阴影部分面积为$a^2 - 4b^2$。
2. 计算图2中阴影部分的面积：
由图形拼接可知，新长方形的长为$a+2b$，宽为$a-2b$，根据长方形面积公式，阴影部分面积为$(a+2b)(a-2b)$。
3. 由于图形变换前后阴影部分面积相等，因此可得等式：
$a^{2} - 4b^{2} = (a + 2b)(a - 2b)$
【答案】
$a^{2} - 4b^{2} = (a + 2b)(a - 2b)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，图形面积计算
【点评】
本题借助“数形结合”思想，通过图形面积的两种不同表达形式推导平方差公式，直观展现了因式分解的几何意义，既考查了图形面积计算能力，也帮助理解代数公式的本质。
【难度系数】
0.8
要得到关于因式分解的等式，我们可以利用“图形变换前后阴影部分的面积不变”这一核心思路推导：
1. 先计算图1阴影面积：用边长为$a$的大正方形面积减去4个边长为$b$的小正方形面积；
2. 再分析图2拼接后长方形的长和宽：图1的①、②是完全相同的长方形，拼接后新长方形的长为$a+2b$，宽为$a-2b$，进而算出图2阴影面积；
3. 最后根据两个图形阴影面积相等建立等式，即可得到因式分解的式子。
【解析】
1. 计算图1中阴影部分的面积：
大正方形面积为$a^2$，4个小正方形的总面积为$4b^2$，因此阴影部分面积为$a^2 - 4b^2$。
2. 计算图2中阴影部分的面积：
由图形拼接可知，新长方形的长为$a+2b$，宽为$a-2b$，根据长方形面积公式，阴影部分面积为$(a+2b)(a-2b)$。
3. 由于图形变换前后阴影部分面积相等，因此可得等式：
$a^{2} - 4b^{2} = (a + 2b)(a - 2b)$
【答案】
$a^{2} - 4b^{2} = (a + 2b)(a - 2b)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，图形面积计算
【点评】
本题借助“数形结合”思想，通过图形面积的两种不同表达形式推导平方差公式，直观展现了因式分解的几何意义，既考查了图形面积计算能力，也帮助理解代数公式的本质。
【难度系数】
0.8
