1. 下列各式中，是分式的是()

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{2}{π}$
C.$\dfrac{1}{a}$
D.$\dfrac{1}{x} = 2$

1. C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确分式的定义：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子$\dfrac{A}{B}$叫做分式。接下来我们逐个分析选项，判断是否符合分式的定义：
1. 先看分母是否含有字母，不含字母的不是分式；
2. 还要注意分式是代数式，不是等式，等式类的选项直接排除。
【解析】
根据分式的定义逐一分析选项：
选项A：$\dfrac{1}{2}$的分母是常数2，不含字母，属于整式，不是分式；
选项B：$\dfrac{2}{π}$中π是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
选项C：$\dfrac{1}{a}$的分母a是字母，且满足分式的定义形式，是分式；
选项D：$\dfrac{1}{x}=2$是等式，不是代数式，因此不是分式。
综上，符合分式定义的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题考查分式的基础概念，解题关键是准确把握分式的两个核心要点：一是分母含有字母，二是属于代数式（非等式），同时要注意π是常数而非字母，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

2. 下列分式的约分正确的是()

A.$\dfrac{2}{x + 2} = \dfrac{1}{x + 1}$
B.$\dfrac{y + 2}{x + 2} = \dfrac{y}{x}$
C.$\dfrac{x + y}{x - y} = -1$
D.$\dfrac{x^2 - y^2}{x + y} = x - y$

2. D

【分析】
这道题考查分式的约分，解题核心是明确分式约分的规则：只有当分子分母存在公因式时才能进行约分，不能随意约去分子分母中的单独项。我们可以逐个分析选项：
1. 对于选项A，分子2和分母$x+2$没有公因式，无法进行约分，所以A错误；
2. 对于选项B，分子$y+2$和分母$x+2$没有公因式，不能直接约去分子分母中的常数项2，所以B错误；
3. 对于选项C，分子$x+y$和分母$x-y$没有公因式，不能约分得到-1，只有当分子为$y-x$时才可化简为-1，所以C错误；
4. 对于选项D，先利用平方差公式将分子$x^2-y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，此时分子分母有公因式$x+y$，约去后得到$x-y$，符合约分规则，所以D正确。
【解析】
选项A：$\dfrac{2}{x + 2}$中，分子2与分母$x+2$无公因式，不能约分，故A错误；
选项B：$\dfrac{y + 2}{x + 2}$中，分子$y+2$与分母$x+2$无公因式，不能直接约去常数项2，故B错误；
选项C：$\dfrac{x + y}{x - y}$中，分子$x+y$与分母$x-y$无公因式，无法约分得到-1，故C错误；
选项D：由平方差公式可知$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，则$\dfrac{x^2 - y^2}{x + y}=\dfrac{(x+y)(x-y)}{x+y}$，约去公因式$x+y$（$x+y≠0$），化简得$x-y$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式的约分规则
2. 平方差公式分解因式
【点评】
本题重点考查分式约分的基本概念与操作方法，易错点在于学生易混淆“公因式”和“同类项”，错误地直接约去分子分母中的相同数字或字母项。解题时需牢记：约分的关键是找出分子分母的公因式，必要时可通过因式分解来确定公因式，确保约分的正确性。
【难度系数】
0.6

3. 对于分式$\dfrac{2 - x}{2x - 6}$，下列说法错误的是()

A.当$x = 2$时，分式的值为0
B.当$x = 3$时，分式无意义
C.当$x ＞ 2$时，分式的值为正数
D.当$x = \dfrac{8}{3}$时，分式的值为1

3. C

【分析】
要判断每个选项的正误，需结合分式的相关性质逐一分析：
1. 分式值为0的条件是分子为0且分母不为0；
2. 分式无意义的条件是分母为0；
3. 判断分式值的正负，需分析分子、分母的符号是否同号（正）或异号（负），同时要注意分母不能为0；
4. 求分式值为1时的x，可通过列方程求解，且需检验分母不为0。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：当$x=2$时，分子$2-x=2-2=0$，分母$2x-6=2×2-6=-2≠0$，满足分式值为0的条件，故A说法正确；
选项B：当$x=3$时，分母$2x-6=2×3-6=0$，分式无意义，故B说法正确；
选项C：当$x＞2$时，分两种情况：
① 当$2＜x＜3$时，$2-x＜0$，$2x-6=2(x-3)＜0$，分子分母同号，分式的值为正数；
② 当$x＞3$时，$2-x＜0$，$2x-6=2(x-3)＞0$，分子分母异号，分式的值为负数；
因此当$x＞2$时，分式的值不一定为正数，故C说法错误；
选项D：令$\dfrac{2 - x}{2x - 6}=1$，两边同乘$2x-6$（$2x-6≠0$）得：$2-x=2x-6$，移项合并同类项得$3x=8$，解得$x=\dfrac{8}{3}$。
检验：当$x=\dfrac{8}{3}$时，$2x-6=2×\dfrac{8}{3}-6=-\dfrac{2}{3}≠0$，故此时分式的值为1，D说法正确。
【答案】
C
【知识点】
分式的意义、分式的值的判断
【点评】
本题考查分式的核心性质，涵盖分式无意义、值为0、值的正负及特定值求解等知识点，解题时需注意分类讨论，避免因忽略分母不为0或未分情况分析导致错误。
【难度系数】
0.6

4. 计算$(-\dfrac{3}{m})^2 · \dfrac{m}{9}$，结果是()

A.$-\dfrac{1}{m}$
B.$-m$
C.$\dfrac{1}{m}$
D.$m$

4. C

【分析】
这道题是分式的混合运算，解题时要遵循先乘方后乘法的运算顺序。首先处理$(-\dfrac{3}{m})^2$，根据分式乘方法则，分子分母分别乘方，负数的平方为正数，得到$\dfrac{9}{m^2}$；再将其与$\dfrac{m}{9}$相乘，根据分式乘法法则，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，然后通过约分化简，即可得到最终结果，再对应选项选出答案。
【解析】
1. 计算乘方：
$(-\dfrac{3}{m})^2 = \dfrac{(-3)^2}{m^2} = \dfrac{9}{m^2}$
2. 进行乘法运算：
$\dfrac{9}{m^2} · \dfrac{m}{9} = \dfrac{9×m}{m^2×9}$
3. 约分化简：
分子分母中的9约去，$m$与$m^2$约去一个$m$，得到$\dfrac{1}{m}$
【答案】
C
【知识点】
分式乘方运算，分式乘法运算，约分
【点评】
本题考查分式的混合运算，核心是掌握“先乘方，后乘法”的运算顺序，以及分式乘方、乘法的运算法则，计算过程中注意符号处理和约分的准确性，属于基础题型，有助于巩固分式运算的基本技能。
【难度系数】
0.8

5. 已知$a + b = 3$，$ab = 2$，则$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$的值为()

A.$\dfrac{2}{5}$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{9}{2}$
D.$-5$

5. B

【分析】
要计算$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$的值，首先观察到这是两个分式相加的形式，先对其通分，转化为含有$a^2+b^2$和$ab$的式子。已知$a+b=3$和$ab=2$，而$a^2+b^2$可以通过完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$变形得到$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，这样就能将所求式子转化为用已知条件表示的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
1. 对所求式子通分：
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a^2 + b^2}{ab}$
2. 利用完全平方公式变形$a^2+b^2$：
由完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，移项可得$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
3. 代入已知条件计算$a^2 + b^2$：
将$a+b=3$，$ab=2$代入上式，得$a^2 + b^2 = 3^2 - 2×2 = 9 - 4 = 5$
4. 代入通分后的式子计算最终结果：
将$a^2 + b^2=5$，$ab=2$代入$\dfrac{a^2 + b^2}{ab}$，得$\dfrac{5}{2}$
因此$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$的值为$\dfrac{5}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值、完全平方公式变形
【点评】
本题考查分式化简与完全平方公式的综合运用，核心是通过代数变形将未知代数式转化为已知条件的形式，体现了整体代入的数学思想，注重对基础公式和运算能力的考查，掌握相关公式变形是解题关键。
【难度系数】
0.8

6. 已知$\dfrac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x - 2}$，则$A$，$B$的值为()

A.$A = 3$，$B = -4$
B.$A = 4$，$B = -3$
C.$A = 1$，$B = 2$
D.$A = 2$，$B = 1$

6. C

【分析】
要解决这个问题，我们的思路是将等式右边的两个分式通分，使其分母与左边一致，然后根据分子相等建立关于A、B的方程组，通过解方程组求出A、B的值。具体步骤如下：首先对右边分式通分，合并分子后，利用多项式相等时对应系数相等的原则，列出二元一次方程组，最后解方程组得到A、B的值。
【解析】
1. 对等式右边的分式进行通分：
$\dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x - 2} = \dfrac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
2. 由于等式左右两边分母相同，因此分子相等，可得：
$3x - 4 = A(x-2) + B(x-1)$
3. 展开并整理右边的式子：
$A(x-2) + B(x-1) = Ax - 2A + Bx - B = (A+B)x + (-2A - B)$
4. 根据多项式相等时对应系数相等，列出方程组：
$\begin{cases}A + B = 3\\-2A - B = -4\end{cases}$
5. 解方程组：
将两个方程相加，得：$(A+B) + (-2A - B) = 3 + (-4)$
化简得：$-A = -1$，即$A = 1$
将$A = 1$代入$A + B = 3$，得$1 + B = 3$，解得$B = 2$
因此A=1，B=2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式通分、多项式相等条件、解二元一次方程组
【点评】
本题考查分式变形与二元一次方程组的综合应用，解题核心是利用通分后分子相等的关系，通过对应系数建立方程组求解。题目难度较低，需要学生熟练掌握分式通分法则和多项式相等的判定条件，计算过程中注意符号的准确性。
【难度系数】
0.8

7. 某人上山和下山的路程都是$s$千米，上山的速度为$a$千米/时，下山的速度为$b$千米/时，则此人上下山全程的平均速度为()

A.$\dfrac{a + b}{2}$千米/时
B.$\dfrac{2s}{a + b}$千米/时
C.$\dfrac{2ab}{a + b}$千米/时
D.$\dfrac{s}{\dfrac{s}{a} + \dfrac{s}{b}}$千米/时

7. C

【分析】
要解决这道题，首先要明确平均速度的定义：平均速度=总路程÷总时间，不能错误地认为是上山速度和下山速度的算术平均值。解题思路如下：
1. 确定上下山的总路程：上山和下山路程都是$s$千米，总路程为两者之和；
2. 计算上下山的总时间：分别根据“时间=路程÷速度”算出上山时间和下山时间，再求和得到总时间；
3. 代入平均速度公式计算，最后对表达式化简，对比选项得到正确答案。
【解析】
1. 计算总路程：
上下山的总路程为：$s + s = 2s$（千米）
2. 计算总时间：
上山时间：$t_1=\frac{s}{a}$（小时）
下山时间：$t_2=\frac{s}{b}$（小时）
总时间：$t=t_1+t_2=\frac{s}{a}+\frac{s}{b}=s(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\frac{s(a+b)}{ab}$（小时）
3. 计算平均速度：
根据平均速度公式$v=\frac{总路程}{总时间}$，代入得：
$v=\frac{2s}{\frac{s(a+b)}{ab}}=\frac{2s× ab}{s(a+b)}=\frac{2ab}{a+b}$（千米/时）
对比选项，可知选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
平均速度计算、分式化简、行程问题公式
【点评】
本题易出错点是误将平均速度等同于速度的算术平均值，错选选项A。需牢记平均速度的核心定义：平均速度=总路程÷总时间，不能直接对速度求平均。解题过程中需熟练掌握分式运算的化简规则。
【难度系数】
0.6

8. 已知$a - b = 0(b ≠ 0)$，则分式$\dfrac{a + 2b}{a - 2b}$的值为。

8. $- 3$

【分析】
首先，根据已知条件$a - b = 0(b ≠ 0)$，可推导出$a = b$。接下来，将$a = b$代入所求分式$\dfrac{a + 2b}{a - 2b}$中，因为$b ≠ 0$，代入后分母不为0，分式有意义，通过化简计算即可得出分式的值。
【解析】
已知$a - b = 0(b ≠ 0)$，则$a = b$。
将$a = b$代入分式$\dfrac{a + 2b}{a - 2b}$：
$\begin{aligned}\dfrac{a + 2b}{a - 2b}&=\dfrac{b + 2b}{b - 2b}\\&=\dfrac{3b}{-b}\\&=-3\end{aligned}$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式求值、等式变形
【点评】
本题考查分式的基础求值，核心是利用已知等式进行等量代换，将分式中的两个未知数转化为单一未知数后化简计算。需注意$b ≠ 0$的条件保证分式有意义，计算时要留意符号的正确处理。
【难度系数】
0.9

9. 若分式$\dfrac{1 + x}{x - 4}$的值为2，则$x =$。

9. 9

【分析】
首先，题目给出分式$\dfrac{1 + x}{x - 4}$的值为2，解题思路是根据分式值的定义列出关于$x$的方程，再将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得的解是否使分式分母不为零，保证分式有意义。具体步骤为：先建立等式，去分母转化为整式方程，求解后验证解的有效性。
【解析】
根据题意，可列方程：
$\dfrac{1 + x}{x - 4} = 2$
方程两边同时乘以最简公分母$(x - 4)$（$x ≠ 4$），得：
$1 + x = 2(x - 4)$
展开右边括号：
$1 + x = 2x - 8$
移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边：
$x - 2x = -8 - 1$
合并同类项：
$-x = -9$
系数化为1：
$x = 9$
检验：将$x = 9$代入分母$x - 4$，得$9 - 4 = 5 ≠ 0$，所以$x = 9$是原分式方程的解。
【答案】
9
【知识点】
分式方程的解法、分式的值
【点评】
本题主要考查分式方程的求解，核心是根据分式值的条件列出方程，解分式方程时必须检验，避免出现增根。题目侧重基础概念和基本运算的考查，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

10. 在公式$f = \dfrac{uv}{u + v}$中，已知$f$和$u$，且$f ≠ u$，那么$v =$。

10. $\frac{fu}{u - f}$

【分析】
本题是分式形式的公式变形问题，目标是将$v$用已知的$f$和$u$表示出来。解题思路是先通过去分母消除分式结构，再通过移项把含$v$的项集中到等式一侧，接着提取公因式$v$，最后利用$f≠u$的条件将$v$的系数化为1，完成变形。
【解析】
已知公式$f = \dfrac{uv}{u + v}$，且$f ≠ u$，求解$v$：
1. 去分母：两边同时乘以$(u + v)$（$u + v≠0$，否则原式无意义），得：
$f(u + v) = uv$
2. 展开左边：
$fu + fv = uv$
3. 移项：将含$v$的项移到等式一侧，不含$v$的项移到另一侧：
$uv - fv = fu$
4. 提取公因式$v$：
$v(u - f) = fu$
5. 系数化为1：因为$f ≠ u$，所以$u - f ≠ 0$，两边同时除以$(u - f)$，得：
$v = \dfrac{fu}{u - f}$
【答案】
$\frac{fu}{u - f}$
【知识点】
分式的恒等变形
【点评】
本题考查分式的恒等变形能力，涉及去分母、移项、提取公因式等基础代数运算技巧。解题时需注意$f≠u$的条件，它保证了最终表达式的分母不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.6

11. (1)化简：$\dfrac{x - 1}{x - 3} - \dfrac{2}{x - 3}$。
(2)化简：$\dfrac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1} ÷ \dfrac{x - 1}{x + 1}$。
(3)先化简，再求值：$(\dfrac{1}{a^2 - 2a} - \dfrac{1}{a^2 - 4a + 4}) ÷ \dfrac{2}{a^2 - 2a}$，其中$a = 5$。

11. 解：(1)$\frac{x - 1}{x - 3}-\frac{2}{x - 3}=\frac{x - 3}{x - 3}=1$。
(2)$\frac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}÷\frac{x - 1}{x + 1}=\frac{x(x - 1)}{(x + 1)^2}·\frac{x + 1}{x - 1}=\frac{x}{x + 1}$。
(3)$(\frac{1}{a^2 - 2a}-\frac{1}{a^2 - 4a + 4})÷\frac{2}{a^2 - 2a}$
$=[\frac{1}{a(a - 2)}-\frac{1}{(a - 2)^2}]·\frac{a(a - 2)}{2}$
$=\frac{a - 2 - a}{a(a - 2)^2}·\frac{a(a - 2)}{2}=\frac{- 2}{a(a - 2)^2}·\frac{a(a - 2)}{2}$
$=-\frac{1}{a - 2}$。
当 $a = 5$ 时，原式 $=-\frac{1}{5 - 2}=-\frac{1}{3}$。

【分析】
1. 第(1)问是同分母分式减法，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，化简分子后约分即可得到结果。
2. 第(2)问是分式除法运算，先将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），再对分子分母因式分解，约去公因式得到最简分式。
3. 第(3)问是分式化简求值，先处理括号内的异分母分式减法，先对分母因式分解找最简公分母，通分后计算分子，再将除法转乘法，约分得到最简式，最后代入a的值计算。
【解析】
(1) $\dfrac{x - 1}{x - 3} - \dfrac{2}{x - 3}$
$=\dfrac{(x - 1) - 2}{x - 3}$
$=\dfrac{x - 3}{x - 3}$
$=1$
(2) $\dfrac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1} ÷ \dfrac{x - 1}{x + 1}$
$=\dfrac{x(x - 1)}{(x + 1)^2} · \dfrac{x + 1}{x - 1}$
$=\dfrac{x}{x + 1}$
(3) $(\dfrac{1}{a^2 - 2a} - \dfrac{1}{a^2 - 4a + 4}) ÷ \dfrac{2}{a^2 - 2a}$
$=[\dfrac{1}{a(a - 2)} - \dfrac{1}{(a - 2)^2}] · \dfrac{a(a - 2)}{2}$
$=\dfrac{(a - 2) - a}{a(a - 2)^2} · \dfrac{a(a - 2)}{2}$
$=\dfrac{-2}{a(a - 2)^2} · \dfrac{a(a - 2)}{2}$
$=-\dfrac{1}{a - 2}$
当$a = 5$时，原式$=-\dfrac{1}{5 - 2}=-\dfrac{1}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；
(2) $\boldsymbol{\dfrac{x}{x + 1}}$；
(3) 化简结果为$\boldsymbol{-\dfrac{1}{a - 2}}$，求值结果为$\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}}$。
【知识点】
1. 分式的加减运算；
2. 分式的乘除运算；
3. 分式的化简求值。
【点评】
本题考查分式的混合运算及化简求值，解题关键是熟练掌握分式运算法则，运算时先对分子分母因式分解便于约分，严格遵循运算顺序，代入数值时注意计算准确。
【难度系数】
0.8