13. 下列各式中，是分式方程的是()

A.$\dfrac{16x}{25} = \dfrac{1}{π}$
B.$\dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{x + y}{4} - \dfrac{1}{9} = 0$
D.$\dfrac{2}{x} + \dfrac{2x}{3}$

13. B

【分析】
要判断一个式子是否为分式方程，需紧扣分式方程的定义，满足两个关键条件：①是含有未知数的等式（即方程）；②分母中含有未知数。接下来我们逐一分析每个选项是否符合这两个条件。
【解析】
根据分式方程的定义逐一判断：
选项A：$\dfrac{16x}{25} = \dfrac{1}{π}$，分母为常数25和π（π是无理数常数），分母中不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
选项B：$\dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{2}$，既是含有未知数x的等式（方程），且分母中含有未知数x，符合分式方程的定义，是分式方程；
选项C：$\dfrac{x + y}{4} - \dfrac{1}{9} = 0$，分母为常数4和9，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
选项D：$\dfrac{2}{x} + \dfrac{2x}{3}$，只是一个代数式，不含有等号，不是方程，因此不是分式方程。
综上，只有选项B是分式方程。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题主要考查分式方程的识别，解题关键是准确把握分式方程的两个核心特征：一是必须是方程（含有等号的等式），二是分母中含有未知数，需注意区分整式方程、代数式与分式方程的不同。
【难度系数】
0.8

14. 方程$\dfrac{2}{x - 3} = \dfrac{3}{x}$的解为。

14. $x = 9$

【分析】
这是一道分式方程求解问题，解题核心是将分式方程转化为整式方程来解。首先确定两个分母$x-3$和$x$的最简公分母为$x(x-3)$，然后方程两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；接着解这个整式方程求出$x$的值；最后要检验所得的解是否使原方程的分母不为零，确保不是增根。
【解析】
1. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$x(x-3)$，得：
$2x = 3(x - 3)$
2. 去括号：
$2x = 3x - 9$
3. 移项：
$2x - 3x = -9$
4. 合并同类项：
$-x = -9$
5. 系数化为1：
$x = 9$
6. 检验：将$x = 9$代入原方程分母，$x-3=9-3=6≠0$，$x=9≠0$，分母均不为零，所以$x=9$是原方程的解。
【答案】
$x = 9$
【知识点】
分式方程求解
【点评】
本题是分式方程的基础题型，重点考查分式方程转化为整式方程的方法，以及分式方程必须检验的重要性，只要掌握去分母的正确方法和检验步骤，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

15. 解下列分式方程。
(1)$\dfrac{3}{x} = \dfrac{2}{x + 1}$。
(2)$\dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{1 - x}{2 - x} - 3$。

15. 解：(1)方程两边都乘 $x(x + 1)$，得 $3(x + 1) = 2x$，
$3x + 3 = 2x$，所以 $x = - 3$。
经检验，当 $x = - 3$ 时，$x(x + 1)≠0$，
所以 $x = - 3$ 是原方程的根。
(2)方程两边都乘 $(x - 2)$，得 $1 = - (1 - x) - 3(x - 2)$，
解得 $x = 2$。
当 $x = 2$ 时，$x - 2 = 0$，
所以 $x = 2$ 是原方程的增根，即原方程无解。

【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将其转化为整式方程求解，最后必须检验所得解是否使原分式方程分母不为0，防止出现增根。
对于(1)：先确定最简公分母为$x(x+1)$，方程两边同乘该最简公分母去掉分母，得到整式方程后求解，最后将解代入最简公分母检验，若不为0则是原方程的根。
对于(2)：注意到分母$x-2$与$2-x$互为相反数，去分母时要处理好符号，方程两边同乘$(x-2)$转化为整式方程，解出$x$后代入分母检验，若分母为0，则该解是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 解方程 $\dfrac{3}{x} = \dfrac{2}{x + 1}$：
方程两边都乘 $x(x + 1)$，得：
$3(x + 1) = 2x$
去括号得：$3x + 3 = 2x$
移项、合并同类项得：$x = -3$
经检验，当 $x = -3$ 时，$x(x + 1)=(-3)×(-3+1)=6≠0$，
所以 $x = -3$ 是原方程的根。
(2) 解方程 $\dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{1 - x}{2 - x} - 3$：
方程两边都乘 $(x - 2)$，得：
$1 = - (1 - x) - 3(x - 2)$
去括号得：$1 = -1 + x - 3x + 6$
移项、合并同类项得：$2x = 4$
解得：$x = 2$
当 $x = 2$ 时，$x - 2 = 0$，分式无意义，
所以 $x = 2$ 是原方程的增根，即原方程无解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=-3}$；(2) $\boldsymbol{原方程无解}$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 增根的判定
【点评】
本题考查分式方程的基础求解，重点在于严格遵循“去分母化整式—解整式方程—检验”的步骤，特别要注意分母互为相反数时的符号处理，检验环节是分式方程求解必不可少的步骤，能有效避免增根导致的错误。
【难度系数】
0.7

16. 已知关于$x$的分式方程$\dfrac{mx}{x^2 - 4} - \dfrac{2}{2 - x} = \dfrac{3}{x + 2}$。
(1)当$m = 3$时，求方程的根。
(2)若这个关于$x$的分式方程有增根，求$m$的值。

16. 解：(1)把 $m = 3$ 代入方程，得 $\frac{3x}{x^2 - 4}+\frac{2}{x - 2}=\frac{3}{x + 2}$，
去分母，得 $3x + 2x + 4 = 3x - 6$，解得 $x = - 5$。
检验：当 $x = - 5$ 时，$(x + 2)(x - 2)≠0$，
所以分式方程的根为 $x = - 5$。
(2)去分母，得 $mx + 2x + 4 = 3x - 6$，
因为原分式方程有增根，所以 $x = 2$ 或 $x = - 2$。
把 $x = 2$ 代入整式方程，得 $2m + 4 + 4 = 0$，
解得 $m = - 4$；
把 $x = - 2$ 代入整式方程，得 $- 2m = - 12$，解得 $m = 6$。
综上所述，$m$ 的值为 $- 4$ 或 $6$。

【分析】
(1)当$m=3$时，先将$m$的值代入原分式方程，把方程中分母的形式统一（将$\frac{2}{2-x}$变形为$\frac{2}{x-2}$），确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，两边同乘最简公分母把分式方程转化为整式方程，解整式方程后，必须检验所得的解是否使原分式方程的分母不为0，排除增根。
(2)对于分式方程有增根的情况，先明确增根是使原分式方程分母为0的$x$值，即$x=2$或$x=-2$。先将原分式方程去分母化为整式方程，再把这两个增根分别代入整式方程，即可求出对应的$m$值，最后综合两种情况得到$m$的取值。
【解析】
(1)把$m = 3$代入方程，得$\frac{3x}{x^2 - 4}+\frac{2}{x - 2}=\frac{3}{x + 2}$，
因为$x^2-4=(x+2)(x-2)$，两边同乘$(x+2)(x-2)$去分母，得：
$3x + 2(x+2) = 3(x-2)$，
展开得$3x + 2x + 4 = 3x - 6$，
移项合并同类项得$2x=-10$，解得$x = - 5$。
检验：当$x = - 5$时，$(x + 2)(x - 2)=(-5+2)(-5-2)=21≠0$，
所以分式方程的根为$x = - 5$。
(2)原方程整理为$\frac{mx}{(x+2)(x-2)}+\frac{2}{x-2}=\frac{3}{x+2}$，
两边同乘$(x+2)(x-2)$去分母，得$mx + 2(x+2) = 3(x-2)$，
化简得$mx + 2x + 4 = 3x - 6$。
因为原分式方程有增根，所以$(x+2)(x-2)=0$，即$x = 2$或$x = - 2$。
把$x = 2$代入整式方程，得$2m + 4 + 4 = 0$，解得$m = - 4$；
把$x = - 2$代入整式方程，得$-2m = - 12$，解得$m = 6$。
综上所述，$m$的值为$- 4$或$6$。
【答案】
(1)$x=-5$；(2)$m=-4$或$6$
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程的求解及增根的应用，解分式方程时必须检验，避免增根；处理增根问题时，需先确定增根，再代入去分母后的整式方程求参数，去分母时要注意符号变化，这是易错点。
【难度系数】
0.6

17. 某校计划购买甲、乙两种品牌的消毒液。乙品牌消毒液每桶的价格比甲品牌每桶的价格少25元，已知用2000元购买甲品牌的数量与用1500元购买乙品牌的数量相同。设甲品牌消毒液每桶的价格是$x$元，根据题意可列方程()

A.$\dfrac{2000}{x} = \dfrac{1500}{x - 25}$
B.$\dfrac{1500}{x} = \dfrac{2000}{x + 25}$
C.$\dfrac{1500}{x + 25} = \dfrac{2000}{x}$
D.$\dfrac{1500}{x} = \dfrac{2000}{x - 25}$

17. A

【分析】
首先，我们需要明确题目中的核心等量关系：用2000元购买甲品牌消毒液的数量与用1500元购买乙品牌消毒液的数量相同。
步骤1：根据设甲品牌消毒液每桶价格为$x$元，结合“乙品牌消毒液每桶的价格比甲品牌每桶的价格少25元”，可得出乙品牌消毒液每桶的价格为$(x-25)$元。
步骤2：依据“数量=总价÷单价”的基本关系，分别表示出购买两种品牌消毒液的数量：购买甲品牌的数量为$\dfrac{2000}{x}$，购买乙品牌的数量为$\dfrac{1500}{x-25}$。
步骤3：由于两种购买数量相同，将这两个数量表达式用等号连接，即可列出对应的方程。
【解析】
设甲品牌消毒液每桶的价格是$x$元，
则乙品牌消毒液每桶的价格是$(x - 25)$元。
根据“数量 = 总价÷单价”的公式：
购买甲品牌消毒液的数量为$\dfrac{2000}{x}$，
购买乙品牌消毒液的数量为$\dfrac{1500}{x - 25}$。
因为两种品牌的购买数量相同，所以可列方程：
$\dfrac{2000}{x} = \dfrac{1500}{x - 25}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用、单价总价数量关系
【点评】
本题重点考查分式方程在实际购物问题中的应用，解题关键是准确捕捉题目中的等量关系，正确表示出两种消毒液的购买数量，同时要注意根据题意精准推导乙品牌消毒液的单价表达式。
【难度系数】
0.8

18. 在公式$\dfrac{1}{m} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$中，用含有$m$，$b$的代数式表示$a$，则$a =$。

18. $\frac{mb}{b - m}$

【分析】
要想用含$m$、$b$的代数式表示$a$，需将方程中含$a$的项单独分离出来。首先把不含$a$的$\dfrac{1}{b}$移到等式左边，得到只含$\dfrac{1}{a}$的等式；接着对等式右边的分式进行通分计算，得到一个最简分式；最后通过取倒数（或交叉相乘）的方式，即可求出$a$的表达式。
【解析】
1. 移项：将$\dfrac{1}{b}$移到等式左边，得：
$\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{m} - \dfrac{1}{b}$
2. 通分计算右边的分式：
$\dfrac{1}{m} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b - m}{mb}$
3. 两边取倒数（或交叉相乘：$1 × mb = a × (b - m)$），得：
$a = \dfrac{mb}{b - m}$
【答案】
$\frac{mb}{b - m}$
【知识点】
分式的恒等变形、通分运算
【点评】
本题属于分式的基础变形题，主要考查分式的移项、通分运算能力。解题核心是准确分离出含未知数$a$的项，再通过分式运算化简求解，只要掌握基本的分式运算规则，就能顺利解决。
【难度系数】
0.8