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1. 在$-3x$，$\dfrac{5}{x + y}$，$\dfrac{6}{π}$，$\dfrac{1}{m - 2}$，$\dfrac{x - 1}{3}$，$\dfrac{2}{3}$中，分式的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\dfrac{A}{B}$叫做分式。接下来我们逐个分析题目中的每个式子，判断其是否符合分式的定义，重点关注分母是否含有字母（注意π是常数，不是字母），从而确定分式的个数。
【解析】
根据分式的定义，对每个式子逐一判断：
1. $-3x$：是单项式，属于整式，不是分式；
2. $\dfrac{5}{x + y}$：分母含有字母$x$、$y$，符合分式的定义，是分式；
3. $\dfrac{6}{π}$：$π$是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\dfrac{1}{m - 2}$：分母含有字母$m$，符合分式的定义，是分式；
5. $\dfrac{x - 1}{3}$：分母是常数3，属于整式，不是分式；
6. $\dfrac{2}{3}$：是常数，属于整式，不是分式。
综上，符合分式定义的式子共有2个。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题核心考查分式的识别，解题关键是准确把握分式的定义，特别要注意区分常数（如π）与字母，避免将分母含常数的整式误判为分式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\dfrac{A}{B}$叫做分式。接下来我们逐个分析题目中的每个式子，判断其是否符合分式的定义，重点关注分母是否含有字母（注意π是常数，不是字母），从而确定分式的个数。
【解析】
根据分式的定义，对每个式子逐一判断：
1. $-3x$：是单项式，属于整式，不是分式；
2. $\dfrac{5}{x + y}$：分母含有字母$x$、$y$，符合分式的定义，是分式；
3. $\dfrac{6}{π}$：$π$是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\dfrac{1}{m - 2}$：分母含有字母$m$，符合分式的定义，是分式；
5. $\dfrac{x - 1}{3}$：分母是常数3，属于整式，不是分式；
6. $\dfrac{2}{3}$：是常数，属于整式，不是分式。
综上，符合分式定义的式子共有2个。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题核心考查分式的识别，解题关键是准确把握分式的定义，特别要注意区分常数（如π）与字母，避免将分母含常数的整式误判为分式。
【难度系数】
0.8
2. 若代数式$\dfrac{1}{3 - x}$有意义，则实数$x$的取值范围是(
A.$x ≠ 0$
B.$x ＜ 3$
C.$x ＞ 3$
D.$x ≠ 3$
D
)A.$x ≠ 0$
B.$x ＜ 3$
C.$x ＞ 3$
D.$x ≠ 3$
答案
2. D
解析
【分析】
要确定代数式$\dfrac{1}{3 - x}$有意义时实数$x$的取值范围，首先回忆分式有意义的条件：分式的分母不能为0。所以只需让该代数式的分母$3 - x$不等于0，解这个不等式就能得到$x$的取值范围，再对应选项选出正确答案。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，对于代数式$\dfrac{1}{3 - x}$，分母为$3 - x$，因此有：
$3 - x ≠ 0$
移项可得：
$x ≠ 3$
所以实数$x$的取值范围是$x ≠ 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基本条件，属于基础题型，只要牢记分母不为0这一核心点，就能轻松解决此类题目，需要学生熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.9
要确定代数式$\dfrac{1}{3 - x}$有意义时实数$x$的取值范围，首先回忆分式有意义的条件：分式的分母不能为0。所以只需让该代数式的分母$3 - x$不等于0，解这个不等式就能得到$x$的取值范围，再对应选项选出正确答案。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，对于代数式$\dfrac{1}{3 - x}$，分母为$3 - x$，因此有：
$3 - x ≠ 0$
移项可得：
$x ≠ 3$
所以实数$x$的取值范围是$x ≠ 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基本条件，属于基础题型，只要牢记分母不为0这一核心点，就能轻松解决此类题目，需要学生熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.9
3. 若分式$\dfrac{x - 2}{x - 3}$的值为0，则$x =$
2
。答案
3. 2
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需明确分式值为0的两个核心条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（分母为0时分式无意义）。我们先通过分子等于0求出x的候选值，再验证该值是否满足分母不为0的要求，从而确定最终的x值。
【解析】
要使分式$\dfrac{x - 2}{x - 3}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子为0：$x - 2 = 0$，解得$x = 2$；
2. 分母不为0：将$x = 2$代入分母$x - 3$，得$2 - 3 = -1 ≠ 0$，分式有意义。
综上，$x = 2$。
【答案】
2
【知识点】
分式值为0的条件
【点评】
本题重点考查分式值为0的条件，解题时必须兼顾分子为0和分母不为0两个要点，避免因忽略分母限制而出现错误。
【难度系数】
0.8
要解决分式值为0的问题，需明确分式值为0的两个核心条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（分母为0时分式无意义）。我们先通过分子等于0求出x的候选值，再验证该值是否满足分母不为0的要求，从而确定最终的x值。
【解析】
要使分式$\dfrac{x - 2}{x - 3}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子为0：$x - 2 = 0$，解得$x = 2$；
2. 分母不为0：将$x = 2$代入分母$x - 3$，得$2 - 3 = -1 ≠ 0$，分式有意义。
综上，$x = 2$。
【答案】
2
【知识点】
分式值为0的条件
【点评】
本题重点考查分式值为0的条件，解题时必须兼顾分子为0和分母不为0两个要点，避免因忽略分母限制而出现错误。
【难度系数】
0.8
4. 下列各式是最简分式的是(
A.$\dfrac{4y + 2x}{4a}$
B.$\dfrac{y - x}{x - y}$
C.$\dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$
D.$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$
C
)A.$\dfrac{4y + 2x}{4a}$
B.$\dfrac{y - x}{x - y}$
C.$\dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$
D.$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$
答案
4. C
解析
【分析】
要判断一个分式是否为最简分式，需明确最简分式的定义：分子与分母没有非零次的公因式（即分子分母互质）。解题思路是逐个分析选项，对每个选项的分子、分母进行因式分解，看是否存在公因式，若存在则可约分，不是最简分式；若不存在则是最简分式。
1. 对于选项A，先对分子提取公因式，看是否与分母有公因式；
2. 选项B中，注意分子分母是互为相反数的关系，可变形后看是否能约分；
3. 选项C，判断分子是否能因式分解，再看与分母是否有公因式；
4. 选项D，利用平方差公式分解分子，再看与分母是否有公因式。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$\dfrac{4y + 2x}{4a}=\dfrac{2(2y+x)}{4a}=\dfrac{2y+x}{2a}$，分子分母有公因式$2$，可约分，不是最简分式；
选项B：$\dfrac{y - x}{x - y}=\dfrac{-(x-y)}{x-y}=-1$，分子分母有公因式$x-y$，可约分，不是最简分式；
选项C：分子$x^2+1$在实数范围内无法因式分解，与分母$x-1$没有公因式，不能约分，是最简分式；
选项D：$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1$，分子分母有公因式$x+1$，可约分，不是最简分式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简分式定义，因式分解
【点评】
本题考查最简分式的判断，核心是理解最简分式的概念，同时需要熟练运用提取公因式、平方差公式等因式分解方法，还要注意互为相反数的整式也属于可约分的公因式情况，是分式基础题型。
【难度系数】
0.6
要判断一个分式是否为最简分式，需明确最简分式的定义：分子与分母没有非零次的公因式（即分子分母互质）。解题思路是逐个分析选项，对每个选项的分子、分母进行因式分解，看是否存在公因式，若存在则可约分，不是最简分式；若不存在则是最简分式。
1. 对于选项A，先对分子提取公因式，看是否与分母有公因式；
2. 选项B中，注意分子分母是互为相反数的关系，可变形后看是否能约分；
3. 选项C，判断分子是否能因式分解，再看与分母是否有公因式；
4. 选项D，利用平方差公式分解分子，再看与分母是否有公因式。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$\dfrac{4y + 2x}{4a}=\dfrac{2(2y+x)}{4a}=\dfrac{2y+x}{2a}$，分子分母有公因式$2$，可约分，不是最简分式；
选项B：$\dfrac{y - x}{x - y}=\dfrac{-(x-y)}{x-y}=-1$，分子分母有公因式$x-y$，可约分，不是最简分式；
选项C：分子$x^2+1$在实数范围内无法因式分解，与分母$x-1$没有公因式，不能约分，是最简分式；
选项D：$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1$，分子分母有公因式$x+1$，可约分，不是最简分式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简分式定义，因式分解
【点评】
本题考查最简分式的判断，核心是理解最简分式的概念，同时需要熟练运用提取公因式、平方差公式等因式分解方法，还要注意互为相反数的整式也属于可约分的公因式情况，是分式基础题型。
【难度系数】
0.6
5. 下列式子变形正确的是(
A.$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a + 1}{b + 1}$
B.$\dfrac{a^6}{a^3} = a^2$
C.$\dfrac{am}{bm} = \dfrac{a}{b}$
D.$\dfrac{0.2a}{b} = \dfrac{2a}{b}$
C
)A.$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a + 1}{b + 1}$
B.$\dfrac{a^6}{a^3} = a^2$
C.$\dfrac{am}{bm} = \dfrac{a}{b}$
D.$\dfrac{0.2a}{b} = \dfrac{2a}{b}$
答案
5. C
解析
【分析】
要判断分式变形是否正确，需依据分式的基本性质和幂的运算法则来逐个分析选项：
1. 对于选项A，分式的基本性质是分子分母同时乘或除以同一个非0整式，而非同时加同一个数，比如取a=1，b=2时，$\dfrac{1}{2}≠\dfrac{2}{3}$，所以A的变形错误。
2. 对于选项B，根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除底数不变指数相减，$\dfrac{a^6}{a^3}$的结果应为$a^{6-3}=a^3$，不是$a^2$，所以B错误。
3. 对于选项C，$\dfrac{am}{bm}$有意义说明$m≠0$，根据分式基本性质，分子分母同时除以非0的m，可得到$\dfrac{a}{b}$，变形符合规则，C正确。
4. 对于选项D，将$\dfrac{0.2a}{b}$的分子乘10时，分母也应乘10，正确变形应为$\dfrac{2a}{10b}=\dfrac{a}{5b}$，而非$\dfrac{2a}{b}$，所以D错误。
【解析】
选项A：分式变形需遵循分子分母同时乘除同一个非0整式的规则，同时加1不符合该性质，故$\dfrac{a}{b} ≠ \dfrac{a + 1}{b + 1}$，A错误；
选项B：根据同底数幂除法法则，$\dfrac{a^6}{a^3}=a^{6-3}=a^3$，与$a^2$不符，B错误；
选项C：由$\dfrac{am}{bm}$有意义可知$m≠0$，根据分式基本性质，分子分母同除以$m$，得$\dfrac{am}{bm} = \dfrac{a}{b}$，C正确；
选项D：根据分式基本性质，$\dfrac{0.2a}{b}=\dfrac{0.2a×10}{b×10}=\dfrac{2a}{10b}=\dfrac{a}{5b}$，与$\dfrac{2a}{b}$不符，D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、同底数幂的除法
【点评】
本题重点考查分式基本性质和幂的运算法则的应用，解题时需注意分式变形的前提是分子分母同时进行相同的乘除运算（除数不为0），同时要准确掌握同底数幂的除法运算规则，避免出现概念混淆的错误。
【难度系数】
0.7
要判断分式变形是否正确，需依据分式的基本性质和幂的运算法则来逐个分析选项：
1. 对于选项A，分式的基本性质是分子分母同时乘或除以同一个非0整式，而非同时加同一个数，比如取a=1，b=2时，$\dfrac{1}{2}≠\dfrac{2}{3}$，所以A的变形错误。
2. 对于选项B，根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除底数不变指数相减，$\dfrac{a^6}{a^3}$的结果应为$a^{6-3}=a^3$，不是$a^2$，所以B错误。
3. 对于选项C，$\dfrac{am}{bm}$有意义说明$m≠0$，根据分式基本性质，分子分母同时除以非0的m，可得到$\dfrac{a}{b}$，变形符合规则，C正确。
4. 对于选项D，将$\dfrac{0.2a}{b}$的分子乘10时，分母也应乘10，正确变形应为$\dfrac{2a}{10b}=\dfrac{a}{5b}$，而非$\dfrac{2a}{b}$，所以D错误。
【解析】
选项A：分式变形需遵循分子分母同时乘除同一个非0整式的规则，同时加1不符合该性质，故$\dfrac{a}{b} ≠ \dfrac{a + 1}{b + 1}$，A错误；
选项B：根据同底数幂除法法则，$\dfrac{a^6}{a^3}=a^{6-3}=a^3$，与$a^2$不符，B错误；
选项C：由$\dfrac{am}{bm}$有意义可知$m≠0$，根据分式基本性质，分子分母同除以$m$，得$\dfrac{am}{bm} = \dfrac{a}{b}$，C正确；
选项D：根据分式基本性质，$\dfrac{0.2a}{b}=\dfrac{0.2a×10}{b×10}=\dfrac{2a}{10b}=\dfrac{a}{5b}$，与$\dfrac{2a}{b}$不符，D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、同底数幂的除法
【点评】
本题重点考查分式基本性质和幂的运算法则的应用，解题时需注意分式变形的前提是分子分母同时进行相同的乘除运算（除数不为0），同时要准确掌握同底数幂的除法运算规则，避免出现概念混淆的错误。
【难度系数】
0.7
6. 如果把分式$\dfrac{xy}{3x - y}$中的$x$，$y$都扩大为原来的3倍，那么分式的值(
A.缩小为原来的$\dfrac{1}{3}$
B.不变
C.扩大为原来的3倍
D.扩大为原来的9倍
C
)A.缩小为原来的$\dfrac{1}{3}$
B.不变
C.扩大为原来的3倍
D.扩大为原来的9倍
答案
6. C
解析
【分析】
要判断x、y都扩大为原来的3倍时分式值的变化，需先将变化后的x、y（即3x、3y）代入原分式，再通过化简将新分式与原分式对比，从而确定分式值的变化情况。具体思路为：第一步，用3x替换原分式中的x，3y替换原分式中的y，得到新分式；第二步，对新分式的分子分母进行化简；第三步，将化简后的结果与原分式比较，得出结论。
【解析】
将x、y都扩大为原来的3倍，即用$3x$代替$x$，$3y$代替$y$，代入原分式得：
$\frac{(3x)(3y)}{3×(3x) - 3y} = \frac{9xy}{9x - 3y} = \frac{9xy}{3(3x - y)} = 3×\frac{xy}{3x - y}$
可见新分式的值是原分式值的3倍，即分式的值扩大为原来的3倍。
【答案】
C
【知识点】
分式的化简求值、分式的基本性质
【点评】
本题主要考查分式中字母取值变化对分式值的影响，解题核心是准确代入变化后的字母，并利用分式的基本性质进行化简，通过对比新分式与原分式的关系得出结论，属于基础题型，需注意代入时的替换准确性及化简步骤的规范性。
【难度系数】
0.8
要判断x、y都扩大为原来的3倍时分式值的变化，需先将变化后的x、y（即3x、3y）代入原分式，再通过化简将新分式与原分式对比，从而确定分式值的变化情况。具体思路为：第一步，用3x替换原分式中的x，3y替换原分式中的y，得到新分式；第二步，对新分式的分子分母进行化简；第三步，将化简后的结果与原分式比较，得出结论。
【解析】
将x、y都扩大为原来的3倍，即用$3x$代替$x$，$3y$代替$y$，代入原分式得：
$\frac{(3x)(3y)}{3×(3x) - 3y} = \frac{9xy}{9x - 3y} = \frac{9xy}{3(3x - y)} = 3×\frac{xy}{3x - y}$
可见新分式的值是原分式值的3倍，即分式的值扩大为原来的3倍。
【答案】
C
【知识点】
分式的化简求值、分式的基本性质
【点评】
本题主要考查分式中字母取值变化对分式值的影响，解题核心是准确代入变化后的字母，并利用分式的基本性质进行化简，通过对比新分式与原分式的关系得出结论，属于基础题型，需注意代入时的替换准确性及化简步骤的规范性。
【难度系数】
0.8
7. 若$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 2$，则$\dfrac{3x - xy - 3y}{2x + xy - 2y}$的值为
$\frac{7}{3}$
。答案
7. $\frac{7}{3}$
解析
【分析】
首先观察已知条件和所求分式的特点，直接求解x、y的值难度较大，因此考虑通过对已知条件变形得到x-y与xy的关系，再将所求分式中的x-y用含xy的式子整体代入，消去xy后求出分式的值。具体思路为：先对已知等式通分，得到y-x与xy的等量关系，进而推导x-y与xy的关系；再将所求分式的分子、分母分别整理为含x-y的形式，代入后约分得到结果。
【解析】
已知$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 2$，对左边通分：
$\dfrac{y - x}{xy} = 2$，
两边同乘$xy$（$x≠0,y≠0,xy≠0$）得：
$y - x = 2xy$，即$x - y = -2xy$。
对所求分式$\dfrac{3x - xy - 3y}{2x + xy - 2y}$变形：
分子：$3x - xy - 3y = 3(x - y) - xy$，
将$x - y = -2xy$代入分子：
$3×(-2xy) - xy = -6xy - xy = -7xy$；
分母：$2x + xy - 2y = 2(x - y) + xy$，
将$x - y = -2xy$代入分母：
$2×(-2xy) + xy = -4xy + xy = -3xy$；
则原式$=\dfrac{-7xy}{-3xy} = \dfrac{7}{3}$（$xy≠0$，可约分）。
【答案】
$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
分式化简求值，分式通分变形
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是运用整体代入思想，避免直接求解x、y的值，通过将已知条件转化为x-y与xy的关系，代入所求分式约分计算，简化了解题过程，这种整体代入的方法在分式求值问题中较为常用。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件和所求分式的特点，直接求解x、y的值难度较大，因此考虑通过对已知条件变形得到x-y与xy的关系，再将所求分式中的x-y用含xy的式子整体代入，消去xy后求出分式的值。具体思路为：先对已知等式通分，得到y-x与xy的等量关系，进而推导x-y与xy的关系；再将所求分式的分子、分母分别整理为含x-y的形式，代入后约分得到结果。
【解析】
已知$\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 2$，对左边通分：
$\dfrac{y - x}{xy} = 2$，
两边同乘$xy$（$x≠0,y≠0,xy≠0$）得：
$y - x = 2xy$，即$x - y = -2xy$。
对所求分式$\dfrac{3x - xy - 3y}{2x + xy - 2y}$变形：
分子：$3x - xy - 3y = 3(x - y) - xy$，
将$x - y = -2xy$代入分子：
$3×(-2xy) - xy = -6xy - xy = -7xy$；
分母：$2x + xy - 2y = 2(x - y) + xy$，
将$x - y = -2xy$代入分母：
$2×(-2xy) + xy = -4xy + xy = -3xy$；
则原式$=\dfrac{-7xy}{-3xy} = \dfrac{7}{3}$（$xy≠0$，可约分）。
【答案】
$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
分式化简求值，分式通分变形
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是运用整体代入思想，避免直接求解x、y的值，通过将已知条件转化为x-y与xy的关系，代入所求分式约分计算，简化了解题过程，这种整体代入的方法在分式求值问题中较为常用。
【难度系数】
0.6
8. 已知$\dfrac{3x - 2xy + 3y}{x + xy + y} = \dfrac{1}{2}$，则代数式$(x - 1)(y - 1)$的值为
1
。答案
8. 1
解析
【分析】
要计算代数式$(x - 1)(y - 1)$的值，先将其展开可得$xy - x - y + 1$，即$xy - (x+y) + 1$，因此核心是找到$x+y$与$xy$的数量关系。已知分式等式，可通过交叉相乘去分母，整理等式得到$x+y$和$xy$的关系，再代入展开后的式子计算即可。
【解析】
1. 对已知等式$\dfrac{3x - 2xy + 3y}{x + xy + y} = \dfrac{1}{2}$交叉相乘去分母：
$2(3x - 2xy + 3y) = x + xy + y$
2. 展开左边并整理等式：
$6x - 4xy + 6y = x + xy + y$
移项合并同类项得：
$6x + 6y - x - y = xy + 4xy$
$5(x + y) = 5xy$
两边同时除以5，得：
$x + y = xy$
3. 展开所求代数式：
$(x - 1)(y - 1) = xy - x - y + 1 = xy - (x + y) + 1$
4. 将$x + y = xy$代入上式：
原式$= xy - xy + 1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
分式化简求值、整体代入思想、代数式展开
【点评】
本题主要考查分式等式的变形与整体代入思想的运用，解题关键是通过已知等式推导出$x+y$与$xy$的等量关系，再将所求代数式转化为含$x+y$和$xy$的形式进行整体代入计算，计算过程中需注意移项和合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.6
要计算代数式$(x - 1)(y - 1)$的值，先将其展开可得$xy - x - y + 1$，即$xy - (x+y) + 1$，因此核心是找到$x+y$与$xy$的数量关系。已知分式等式，可通过交叉相乘去分母，整理等式得到$x+y$和$xy$的关系，再代入展开后的式子计算即可。
【解析】
1. 对已知等式$\dfrac{3x - 2xy + 3y}{x + xy + y} = \dfrac{1}{2}$交叉相乘去分母：
$2(3x - 2xy + 3y) = x + xy + y$
2. 展开左边并整理等式：
$6x - 4xy + 6y = x + xy + y$
移项合并同类项得：
$6x + 6y - x - y = xy + 4xy$
$5(x + y) = 5xy$
两边同时除以5，得：
$x + y = xy$
3. 展开所求代数式：
$(x - 1)(y - 1) = xy - x - y + 1 = xy - (x + y) + 1$
4. 将$x + y = xy$代入上式：
原式$= xy - xy + 1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
分式化简求值、整体代入思想、代数式展开
【点评】
本题主要考查分式等式的变形与整体代入思想的运用，解题关键是通过已知等式推导出$x+y$与$xy$的等量关系，再将所求代数式转化为含$x+y$和$xy$的形式进行整体代入计算，计算过程中需注意移项和合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.6
9. 下列等式成立的是(
A.$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{a} = \dfrac{3}{2a}$
B.$\dfrac{a}{a - 1} + \dfrac{1}{1 - a} = \dfrac{a + 1}{a - 1}$
C.$\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{1}{x + 1} = 1$
D.$\dfrac{1}{(m - 2)^2} - \dfrac{m - 1}{(m - 2)^2} = \dfrac{m - 2}{(m - 2)^2}$
C
)A.$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{a} = \dfrac{3}{2a}$
B.$\dfrac{a}{a - 1} + \dfrac{1}{1 - a} = \dfrac{a + 1}{a - 1}$
C.$\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{1}{x + 1} = 1$
D.$\dfrac{1}{(m - 2)^2} - \dfrac{m - 1}{(m - 2)^2} = \dfrac{m - 2}{(m - 2)^2}$
答案
9. C
解析
【分析】
这道题考查分式的加减运算，解题思路是根据同分母分式加减法则（分母不变，分子相加减），逐个对选项进行计算，将计算结果与选项右侧的式子对比，判断等式是否成立。具体来说，先处理分母是否相同，若分母互为相反数则先转化为同分母，再进行分子的加减运算，最后化简结果验证等式。
【解析】
对各选项逐一计算：
选项A：$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{a} = \dfrac{1+2}{a} = \dfrac{3}{a}$，与右侧$\dfrac{3}{2a}$不相等，等式不成立；
选项B：先统一分母，$\dfrac{1}{1-a}=-\dfrac{1}{a-1}$，则$\dfrac{a}{a-1} + \dfrac{1}{1-a} = \dfrac{a}{a-1} - \dfrac{1}{a-1} = \dfrac{a-1}{a-1}=1$，与右侧$\dfrac{a+1}{a-1}$不相等，等式不成立；
选项C：$\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x+1}{x+1}=1$，与右侧结果相等，等式成立；
选项D：$\dfrac{1}{(m - 2)^2} - \dfrac{m - 1}{(m - 2)^2} = \dfrac{1-(m-1)}{(m - 2)^2} = \dfrac{2-m}{(m - 2)^2} = \dfrac{-(m-2)}{(m - 2)^2} = \dfrac{-1}{m-2}$，与右侧$\dfrac{m - 2}{(m - 2)^2}$不相等，等式不成立。
【答案】
C
【知识点】
同分母分式加减运算、分式化简
【点评】
本题聚焦基础的分式加减运算，核心是熟练掌握同分母分式的加减法则，尤其要注意分母互为相反数时的转化技巧，计算后需及时化简结果，避免因符号处理不当或化简不彻底导致错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查分式的加减运算，解题思路是根据同分母分式加减法则（分母不变，分子相加减），逐个对选项进行计算，将计算结果与选项右侧的式子对比，判断等式是否成立。具体来说，先处理分母是否相同，若分母互为相反数则先转化为同分母，再进行分子的加减运算，最后化简结果验证等式。
【解析】
对各选项逐一计算：
选项A：$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{a} = \dfrac{1+2}{a} = \dfrac{3}{a}$，与右侧$\dfrac{3}{2a}$不相等，等式不成立；
选项B：先统一分母，$\dfrac{1}{1-a}=-\dfrac{1}{a-1}$，则$\dfrac{a}{a-1} + \dfrac{1}{1-a} = \dfrac{a}{a-1} - \dfrac{1}{a-1} = \dfrac{a-1}{a-1}=1$，与右侧$\dfrac{a+1}{a-1}$不相等，等式不成立；
选项C：$\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x+1}{x+1}=1$，与右侧结果相等，等式成立；
选项D：$\dfrac{1}{(m - 2)^2} - \dfrac{m - 1}{(m - 2)^2} = \dfrac{1-(m-1)}{(m - 2)^2} = \dfrac{2-m}{(m - 2)^2} = \dfrac{-(m-2)}{(m - 2)^2} = \dfrac{-1}{m-2}$，与右侧$\dfrac{m - 2}{(m - 2)^2}$不相等，等式不成立。
【答案】
C
【知识点】
同分母分式加减运算、分式化简
【点评】
本题聚焦基础的分式加减运算，核心是熟练掌握同分母分式的加减法则，尤其要注意分母互为相反数时的转化技巧，计算后需及时化简结果，避免因符号处理不当或化简不彻底导致错误。
【难度系数】
0.7
10. 小明在计算$\dfrac{m^2}{m + 1} ÷ \dfrac{ⓧ}{m + 1}$时，把运算符号“$÷$”看成了“$+$”，得到的计算结果是$m$，则这道题的正确结果是(
A.$\dfrac{1}{m - 1}$
B.$\dfrac{1}{m}$
C.$m - 1$
D.$m$
D
)A.$\dfrac{1}{m - 1}$
B.$\dfrac{1}{m}$
C.$m - 1$
D.$m$
答案
10. D
解析
【分析】
首先，我们需要利用小明错误的运算求出被遮挡的代数式。小明将除法看成加法，得到$\dfrac{m^2}{m + 1} + \dfrac{ⓧ}{m + 1} = m$，由于两个分式分母相同，可通过分子相加等于结果乘以分母的关系求出ⓧ；之后将求出的ⓧ代入原式的正确除法运算中，根据分式除法法则（除以一个分式等于乘以它的倒数）进行计算，化简后即可得到正确结果。
【解析】
设被遮挡的代数式为$A$，根据题意可得：
$\dfrac{m^2}{m + 1} + \dfrac{A}{m + 1} = m$
因为分母相同，分子相加等于等式右边乘以分母，即：
$m^2 + A = m(m + 1)$
展开右边得：$m^2 + A = m^2 + m$
移项解得：$A = m^2 + m - m^2 = m$
将$A=m$代入正确的原式：
$\dfrac{m^2}{m + 1} ÷ \dfrac{m}{m + 1} = \dfrac{m^2}{m + 1} × \dfrac{m + 1}{m}$
约分后得：$m$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，分式的乘除运算
【点评】
本题考查分式的运算法则的应用，解题核心是先通过错误运算求出未知代数式，再代入正确运算求解，需要熟练掌握分式加减、乘除的运算规则，计算过程中注意约分的准确性。
【难度系数】
0.6
首先，我们需要利用小明错误的运算求出被遮挡的代数式。小明将除法看成加法，得到$\dfrac{m^2}{m + 1} + \dfrac{ⓧ}{m + 1} = m$，由于两个分式分母相同，可通过分子相加等于结果乘以分母的关系求出ⓧ；之后将求出的ⓧ代入原式的正确除法运算中，根据分式除法法则（除以一个分式等于乘以它的倒数）进行计算，化简后即可得到正确结果。
【解析】
设被遮挡的代数式为$A$，根据题意可得：
$\dfrac{m^2}{m + 1} + \dfrac{A}{m + 1} = m$
因为分母相同，分子相加等于等式右边乘以分母，即：
$m^2 + A = m(m + 1)$
展开右边得：$m^2 + A = m^2 + m$
移项解得：$A = m^2 + m - m^2 = m$
将$A=m$代入正确的原式：
$\dfrac{m^2}{m + 1} ÷ \dfrac{m}{m + 1} = \dfrac{m^2}{m + 1} × \dfrac{m + 1}{m}$
约分后得：$m$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，分式的乘除运算
【点评】
本题考查分式的运算法则的应用，解题核心是先通过错误运算求出未知代数式，再代入正确运算求解，需要熟练掌握分式加减、乘除的运算规则，计算过程中注意约分的准确性。
【难度系数】
0.6
11. 某单位全体员工在植树节义务植树240棵。原计划每小时植树$m$棵，实际每小时植树的棵数比原计划每小时植树的棵数多10，那么实际比原计划提前了
$\frac{2400}{m(m + 10)}$
小时完成任务。(用含$m$的代数式表示)答案
11. $\frac{2400}{m(m + 10)}$
解析
【分析】
要解决这个问题，关键是明确“提前的时间=原计划完成任务的时间-实际完成任务的时间”。首先根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，分别计算原计划和实际完成植树任务的时间：原计划每小时植树$m$棵，总棵树为240棵，所以原计划时间为$\frac{240}{m}$小时；实际每小时植树$(m+10)$棵，因此实际时间为$\frac{240}{m+10}$小时。最后用原计划时间减去实际时间，通过通分计算出两者的差值，即为提前的时间。
【解析】
1. 计算原计划完成任务的时间：
已知工作总量为240棵，原计划工作效率为每小时$m$棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得原计划时间为$\frac{240}{m}$小时。
2. 计算实际完成任务的时间：
实际每小时植树的棵数为$(m+10)$棵，同理可得实际时间为$\frac{240}{m+10}$小时。
3. 计算提前的时间：
提前的时间 = 原计划时间 - 实际时间，即：
$\frac{240}{m} - \frac{240}{m+10}$
通分，公分母为$m(m+10)$，则：
$=\frac{240(m+10)}{m(m+10)} - \frac{240m}{m(m+10)}$
$=\frac{240(m+10)-240m}{m(m+10)}$
展开分子并化简：
$=\frac{240m + 2400 - 240m}{m(m+10)}$
$=\frac{2400}{m(m+10)}$
【答案】
$\frac{2400}{m(m + 10)}$
【知识点】
列代数式、分式加减运算、工程问题时间计算
【点评】
本题主要考查列代数式及分式的加减运算，核心是理解“提前时间”的计算逻辑，掌握分式通分的运算方法。题目贴近实际生活，难度适中，需要注意运算过程中符号的处理和通分的准确性，是对基础代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，关键是明确“提前的时间=原计划完成任务的时间-实际完成任务的时间”。首先根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，分别计算原计划和实际完成植树任务的时间：原计划每小时植树$m$棵，总棵树为240棵，所以原计划时间为$\frac{240}{m}$小时；实际每小时植树$(m+10)$棵，因此实际时间为$\frac{240}{m+10}$小时。最后用原计划时间减去实际时间，通过通分计算出两者的差值，即为提前的时间。
【解析】
1. 计算原计划完成任务的时间：
已知工作总量为240棵，原计划工作效率为每小时$m$棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得原计划时间为$\frac{240}{m}$小时。
2. 计算实际完成任务的时间：
实际每小时植树的棵数为$(m+10)$棵，同理可得实际时间为$\frac{240}{m+10}$小时。
3. 计算提前的时间：
提前的时间 = 原计划时间 - 实际时间，即：
$\frac{240}{m} - \frac{240}{m+10}$
通分，公分母为$m(m+10)$，则：
$=\frac{240(m+10)}{m(m+10)} - \frac{240m}{m(m+10)}$
$=\frac{240(m+10)-240m}{m(m+10)}$
展开分子并化简：
$=\frac{240m + 2400 - 240m}{m(m+10)}$
$=\frac{2400}{m(m+10)}$
【答案】
$\frac{2400}{m(m + 10)}$
【知识点】
列代数式、分式加减运算、工程问题时间计算
【点评】
本题主要考查列代数式及分式的加减运算，核心是理解“提前时间”的计算逻辑，掌握分式通分的运算方法。题目贴近实际生活，难度适中，需要注意运算过程中符号的处理和通分的准确性，是对基础代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
12. 先化简，再求值。
(1)$\dfrac{x^2 - 1}{x^2} ÷ \dfrac{x - 1}{x} + \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x}$，其中$x = \dfrac{1}{2}$。
(2)$(\dfrac{x - 1}{x} - \dfrac{x - 2}{x + 1}) ÷ \dfrac{2x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}$，其中$x$满足$x^2 - x - 1 = 0$。
(1)$\dfrac{x^2 - 1}{x^2} ÷ \dfrac{x - 1}{x} + \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x}$，其中$x = \dfrac{1}{2}$。
(2)$(\dfrac{x - 1}{x} - \dfrac{x - 2}{x + 1}) ÷ \dfrac{2x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}$，其中$x$满足$x^2 - x - 1 = 0$。
答案
12. 解：(1)原式 $=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x^2}·\frac{x}{x - 1}+\frac{(x - 2)^2}{x(x - 2)}$
$=\frac{x + 1}{x}+\frac{x - 2}{x}=\frac{2x - 1}{x}$。
当 $x = \frac{1}{2}$ 时，原式 $= 0$。
(2)原式 $=\frac{x^2 - 1 - x^2 + 2x}{x(x + 1)}·\frac{(x + 1)^2}{x(2x - 1)}=\frac{x + 1}{x^2}$。
因为 $x^2 - x - 1 = 0$，
所以 $x^2 = x + 1$，
所以原式 $= 1$。
$=\frac{x + 1}{x}+\frac{x - 2}{x}=\frac{2x - 1}{x}$。
当 $x = \frac{1}{2}$ 时，原式 $= 0$。
(2)原式 $=\frac{x^2 - 1 - x^2 + 2x}{x(x + 1)}·\frac{(x + 1)^2}{x(2x - 1)}=\frac{x + 1}{x^2}$。
因为 $x^2 - x - 1 = 0$，
所以 $x^2 = x + 1$，
所以原式 $= 1$。
解析
【分析】
对于(1)，解题思路是：先依据分式除法法则将除法转化为乘法，再对分子分母进行因式分解，约去公因式，接着进行同分母分式的加法运算，最后代入给定的x值计算结果。
对于(2)，解题思路是：先计算括号内的分式减法，通过通分求出差，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简形式，最后利用已知方程变形得到$x^2=x+1$，通过整体代入求出结果，避免求解x的复杂值。
【解析】
(1)原式 $=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x^2}·\frac{x}{x - 1}+\frac{(x - 2)^2}{x(x - 2)}$
$=\frac{x + 1}{x}+\frac{x - 2}{x}$
$=\frac{(x + 1)+(x - 2)}{x}$
$=\frac{2x - 1}{x}$
当 $x = \frac{1}{2}$ 时，原式 $=\frac{2×\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}}=\frac{1 - 1}{\frac{1}{2}}=0$。
(2)原式 $=[\frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 1)}-\frac{x(x - 2)}{x(x + 1)}]÷\frac{x(2x - 1)}{(x + 1)^2}$
$=\frac{x^2 - 1 - x^2 + 2x}{x(x + 1)}·\frac{(x + 1)^2}{x(2x - 1)}$
$=\frac{2x - 1}{x(x + 1)}·\frac{(x + 1)^2}{x(2x - 1)}$
$=\frac{x + 1}{x^2}$
因为 $x^2 - x - 1 = 0$，所以 $x^2 = x + 1$，
将 $x^2 = x + 1$ 代入得：原式 $=\frac{x + 1}{x + 1}=1$。
【答案】
(1)化简得$\frac{2x - 1}{x}$，值为$0$；(2)化简得$\frac{x + 1}{x^2}$，值为$1$。
【知识点】
分式化简求值，因式分解，整体代入思想
【点评】
本题考查分式的化简求值，第一小问侧重分式的基本运算，通过因式分解约分简化计算过程；第二小问巧妙运用整体代入思想，借助已知方程变形避开求解无理数x的繁琐，解题时需注意分式有意义的条件，保证分母不为0。
【难度系数】
0.6
对于(1)，解题思路是：先依据分式除法法则将除法转化为乘法，再对分子分母进行因式分解，约去公因式，接着进行同分母分式的加法运算，最后代入给定的x值计算结果。
对于(2)，解题思路是：先计算括号内的分式减法，通过通分求出差，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简形式，最后利用已知方程变形得到$x^2=x+1$，通过整体代入求出结果，避免求解x的复杂值。
【解析】
(1)原式 $=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x^2}·\frac{x}{x - 1}+\frac{(x - 2)^2}{x(x - 2)}$
$=\frac{x + 1}{x}+\frac{x - 2}{x}$
$=\frac{(x + 1)+(x - 2)}{x}$
$=\frac{2x - 1}{x}$
当 $x = \frac{1}{2}$ 时，原式 $=\frac{2×\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}}=\frac{1 - 1}{\frac{1}{2}}=0$。
(2)原式 $=[\frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 1)}-\frac{x(x - 2)}{x(x + 1)}]÷\frac{x(2x - 1)}{(x + 1)^2}$
$=\frac{x^2 - 1 - x^2 + 2x}{x(x + 1)}·\frac{(x + 1)^2}{x(2x - 1)}$
$=\frac{2x - 1}{x(x + 1)}·\frac{(x + 1)^2}{x(2x - 1)}$
$=\frac{x + 1}{x^2}$
因为 $x^2 - x - 1 = 0$，所以 $x^2 = x + 1$，
将 $x^2 = x + 1$ 代入得：原式 $=\frac{x + 1}{x + 1}=1$。
【答案】
(1)化简得$\frac{2x - 1}{x}$，值为$0$；(2)化简得$\frac{x + 1}{x^2}$，值为$1$。
【知识点】
分式化简求值，因式分解，整体代入思想
【点评】
本题考查分式的化简求值，第一小问侧重分式的基本运算，通过因式分解约分简化计算过程；第二小问巧妙运用整体代入思想，借助已知方程变形避开求解无理数x的繁琐，解题时需注意分式有意义的条件，保证分母不为0。
【难度系数】
0.6
