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8. (1)在公式 $ V=π h^{2}(R-\frac{h}{3}) $ 中，已知 $ V,h $，则 $ R = $
(2)在公式 $ F=(\frac{m}{a}-\frac{1}{b})h $ 中，若所有字母都大于 0，则 $ m = $
$\frac{3V + π h^3}{3π h^2}$
。(2)在公式 $ F=(\frac{m}{a}-\frac{1}{b})h $ 中，若所有字母都大于 0，则 $ m = $
$\frac{abF + ah}{hb}$
。答案
8. (1)$\frac{3V + π h^3}{3π h^2}$ (2)$\frac{abF + ah}{hb}$
【解析】(1)$V = π h^2(R - \frac{h}{3})$，
解得$R = \frac{V}{π h^2} + \frac{h}{3} = \frac{3V + π h^3}{3π h^2}$。
(2)$F = (\frac{m}{a} - \frac{1}{b})h$，
解得$m = a(\frac{F}{h} + \frac{1}{b}) = \frac{abF + ah}{hb}$。
【解析】(1)$V = π h^2(R - \frac{h}{3})$，
解得$R = \frac{V}{π h^2} + \frac{h}{3} = \frac{3V + π h^3}{3π h^2}$。
(2)$F = (\frac{m}{a} - \frac{1}{b})h$，
解得$m = a(\frac{F}{h} + \frac{1}{b}) = \frac{abF + ah}{hb}$。
解析
【分析】
本题属于公式变形问题，核心思路是将要求解的字母视为未知数，其余字母当作已知数，利用等式的基本性质逐步对等式进行变形，最终将目标字母单独放在等式一侧。
对于(1)，已知$V,h$求$R$，首先需消除$R$所在括号外的系数$π h^2$，再通过移项得到$R$的表达式，最后通分合并即可；
对于(2)，已知所有字母大于0求$m$，先消除$m$所在括号外的系数$h$，再通过移项将含$m$的项单独放在一侧，最后两边乘$a$并通分整理得到$m$的表达式。
【解析】
(1) 已知$ V=π h^{2}(R-\frac{h}{3}) $，
两边同时除以$π h^2$（由$V$存在可知$h≠0$），得：
$\frac{V}{π h^2}=R-\frac{h}{3}$，
移项可得：
$R=\frac{V}{π h^2}+\frac{h}{3}$，
通分合并（公分母为$3π h^2$）：
$R=\frac{3V + π h^3}{3π h^2}$；
(2) 已知$F=(\frac{m}{a}-\frac{1}{b})h$，且所有字母都大于0，
两边同时除以$h$，得：
$\frac{F}{h}=\frac{m}{a}-\frac{1}{b}$，
移项可得：
$\frac{m}{a}=\frac{F}{h}+\frac{1}{b}$，
两边同时乘以$a$，得：
$m=a(\frac{F}{h}+\frac{1}{b})$，
通分计算（公分母为$hb$）：
$m=\frac{abF + ah}{hb}$。
【答案】
(1)$\frac{3V + π h^3}{3π h^2}$；(2)$\frac{abF + ah}{hb}$
【知识点】
公式变形、分式通分、一元一次方程求解
【点评】
本题考查代数中的公式变形，重点考查等式基本性质的应用与分式通分运算，属于基础题型，解题时需注意运算顺序与通分的准确性，避免因计算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.8
本题属于公式变形问题，核心思路是将要求解的字母视为未知数，其余字母当作已知数，利用等式的基本性质逐步对等式进行变形，最终将目标字母单独放在等式一侧。
对于(1)，已知$V,h$求$R$，首先需消除$R$所在括号外的系数$π h^2$，再通过移项得到$R$的表达式，最后通分合并即可；
对于(2)，已知所有字母大于0求$m$，先消除$m$所在括号外的系数$h$，再通过移项将含$m$的项单独放在一侧，最后两边乘$a$并通分整理得到$m$的表达式。
【解析】
(1) 已知$ V=π h^{2}(R-\frac{h}{3}) $，
两边同时除以$π h^2$（由$V$存在可知$h≠0$），得：
$\frac{V}{π h^2}=R-\frac{h}{3}$，
移项可得：
$R=\frac{V}{π h^2}+\frac{h}{3}$，
通分合并（公分母为$3π h^2$）：
$R=\frac{3V + π h^3}{3π h^2}$；
(2) 已知$F=(\frac{m}{a}-\frac{1}{b})h$，且所有字母都大于0，
两边同时除以$h$，得：
$\frac{F}{h}=\frac{m}{a}-\frac{1}{b}$，
移项可得：
$\frac{m}{a}=\frac{F}{h}+\frac{1}{b}$，
两边同时乘以$a$，得：
$m=a(\frac{F}{h}+\frac{1}{b})$，
通分计算（公分母为$hb$）：
$m=\frac{abF + ah}{hb}$。
【答案】
(1)$\frac{3V + π h^3}{3π h^2}$；(2)$\frac{abF + ah}{hb}$
【知识点】
公式变形、分式通分、一元一次方程求解
【点评】
本题考查代数中的公式变形，重点考查等式基本性质的应用与分式通分运算，属于基础题型，解题时需注意运算顺序与通分的准确性，避免因计算失误导致结果错误。
【难度系数】
0.8
9. 假期将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场上了解到每枝 $ A $ 种花卉比每枝 $ B $ 种花卉便宜 5 元，用 800 元购买 $ B $ 种花卉的数量是用 320 元购买 $ A $ 种花卉的数量的 2 倍。
（1）小华同学列的方程是 $ 2×\frac{320}{a}=\frac{800}{a + 5} $，你知道 $ a $ 代表什么吗？
（2）请你用不同于（1）中小华的方法，求用 320 元购买 $ A $ 种花卉的数量。
（3）插花时，技术小组成员小明发现自己单位时间内可完成 $ m $ 盆小盆栽的插花任务或完成 $ (9 - m) $ 盆大盆栽的插花任务，并且完成 35 盆小盆栽所用的时间与完成 10 盆大盆栽所用的时间相同，求 $ m $ 的值。
（1）小华同学列的方程是 $ 2×\frac{320}{a}=\frac{800}{a + 5} $，你知道 $ a $ 代表什么吗？
（2）请你用不同于（1）中小华的方法，求用 320 元购买 $ A $ 种花卉的数量。
（3）插花时，技术小组成员小明发现自己单位时间内可完成 $ m $ 盆小盆栽的插花任务或完成 $ (9 - m) $ 盆大盆栽的插花任务，并且完成 35 盆小盆栽所用的时间与完成 10 盆大盆栽所用的时间相同，求 $ m $ 的值。
答案
9. 解：(1)因为每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买B种花卉的数量是用320元购买A种花卉的数量的2倍，且$2×\frac{320}{a} = \frac{800}{a + 5}$，
所以a代表每枝A种花卉的价格。
(2)设用320元购买A种花卉的数量为x枝，则每枝A种花卉的价格为$\frac{320}{x}$元，每枝B种花卉的价格为$(\frac{320}{x} + 5)$元，
依题意，得$\frac{320}{x} + 5 = \frac{800}{2x}$，
解得$x = 16$，
经检验，$x = 16$是原分式方程的解，且符合题意。
答：用320元购买A种花卉的数量为16枝。
(3)依题意，得$\frac{35}{m} = \frac{10}{9 - m}$，
解得$m = 7$，
经检验，$m = 7$是原分式方程的解，且符合题意。
所以a代表每枝A种花卉的价格。
(2)设用320元购买A种花卉的数量为x枝，则每枝A种花卉的价格为$\frac{320}{x}$元，每枝B种花卉的价格为$(\frac{320}{x} + 5)$元，
依题意，得$\frac{320}{x} + 5 = \frac{800}{2x}$，
解得$x = 16$，
经检验，$x = 16$是原分式方程的解，且符合题意。
答：用320元购买A种花卉的数量为16枝。
(3)依题意，得$\frac{35}{m} = \frac{10}{9 - m}$，
解得$m = 7$，
经检验，$m = 7$是原分式方程的解，且符合题意。
解析
【分析】
1. 第(1)问：观察方程$2×\frac{320}{a}=\frac{800}{a + 5}$，$\frac{320}{a}$是用320元买A种花卉的数量（总价÷单价），$\frac{800}{a + 5}$是用800元买B种花卉的数量，结合“A种花卉比B种便宜5元”“B种数量是A种的2倍”的条件，可判断$a$是A种花卉的单价。
2. 第(2)问：换设数量为未知数，设320元买A种花卉的数量为$x$枝，先表示出A、B两种花卉的单价，再根据B种单价的两种表达式建立等量关系列方程，注意分式方程需检验。
3. 第(3)问：根据“工作时间=工作量÷工作效率”，利用小盆栽和大盆栽的工作时间相等建立方程，求解后检验即可。
【解析】
(1) 由每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，且用800元购买B种花卉的数量是用320元购买A种花卉数量的2倍，结合方程$2×\frac{320}{a}=\frac{800}{a + 5}$中$\frac{320}{a}$表示A种花卉购买数量、$\frac{800}{a + 5}$表示B种花卉购买数量，可知$a$代表每枝A种花卉的价格。
(2) 设用320元购买A种花卉的数量为$x$枝，
则每枝A种花卉的价格为$\frac{320}{x}$元，每枝B种花卉的价格为$(\frac{320}{x} + 5)$元，
依题意得：$\frac{320}{x} + 5 = \frac{800}{2x}$，
化简得：$\frac{320}{x} + 5 = \frac{400}{x}$，
移项得：$\frac{400}{x} - \frac{320}{x} = 5$，
即$\frac{80}{x} = 5$，
解得$x = 16$，
经检验，$x = 16$是原分式方程的解，且符合题意。
答：用320元购买A种花卉的数量为16枝。
(3) 依题意得：$\frac{35}{m} = \frac{10}{9 - m}$，
交叉相乘得：$35(9 - m) = 10m$，
展开得：$315 - 35m = 10m$，
移项合并同类项得：$45m = 315$，
解得$m = 7$，
经检验，$m = 7$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】
(1) $a$代表每枝A种花卉的价格；
(2) 16枝；
(3) $m=7$
【知识点】
分式方程的应用、数量关系应用
【点评】
本题是分式方程实际应用的综合题，涵盖购物场景和工作场景的常见数量关系，重点考查学生建立数学模型解决实际问题的能力，同时强调分式方程验根的必要性，帮助学生巩固实际问题与数学转化的思维。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：观察方程$2×\frac{320}{a}=\frac{800}{a + 5}$，$\frac{320}{a}$是用320元买A种花卉的数量（总价÷单价），$\frac{800}{a + 5}$是用800元买B种花卉的数量，结合“A种花卉比B种便宜5元”“B种数量是A种的2倍”的条件，可判断$a$是A种花卉的单价。
2. 第(2)问：换设数量为未知数，设320元买A种花卉的数量为$x$枝，先表示出A、B两种花卉的单价，再根据B种单价的两种表达式建立等量关系列方程，注意分式方程需检验。
3. 第(3)问：根据“工作时间=工作量÷工作效率”，利用小盆栽和大盆栽的工作时间相等建立方程，求解后检验即可。
【解析】
(1) 由每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，且用800元购买B种花卉的数量是用320元购买A种花卉数量的2倍，结合方程$2×\frac{320}{a}=\frac{800}{a + 5}$中$\frac{320}{a}$表示A种花卉购买数量、$\frac{800}{a + 5}$表示B种花卉购买数量，可知$a$代表每枝A种花卉的价格。
(2) 设用320元购买A种花卉的数量为$x$枝，
则每枝A种花卉的价格为$\frac{320}{x}$元，每枝B种花卉的价格为$(\frac{320}{x} + 5)$元，
依题意得：$\frac{320}{x} + 5 = \frac{800}{2x}$，
化简得：$\frac{320}{x} + 5 = \frac{400}{x}$，
移项得：$\frac{400}{x} - \frac{320}{x} = 5$，
即$\frac{80}{x} = 5$，
解得$x = 16$，
经检验，$x = 16$是原分式方程的解，且符合题意。
答：用320元购买A种花卉的数量为16枝。
(3) 依题意得：$\frac{35}{m} = \frac{10}{9 - m}$，
交叉相乘得：$35(9 - m) = 10m$，
展开得：$315 - 35m = 10m$，
移项合并同类项得：$45m = 315$，
解得$m = 7$，
经检验，$m = 7$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】
(1) $a$代表每枝A种花卉的价格；
(2) 16枝；
(3) $m=7$
【知识点】
分式方程的应用、数量关系应用
【点评】
本题是分式方程实际应用的综合题，涵盖购物场景和工作场景的常见数量关系，重点考查学生建立数学模型解决实际问题的能力，同时强调分式方程验根的必要性，帮助学生巩固实际问题与数学转化的思维。
【难度系数】
0.7
10. 化学实验室一容器内的 $ a $ 克盐水中含盐 $ b $ 克（盐水的浓度 $ =\frac{\mathrm{含盐质量}}{\mathrm{盐水质量}}×100\% $）。
（1）若加入 4 克盐，食盐水的浓度怎么变化？为什么？（用数学的方法书写过程）
（2）若 $ a = 50 $，$ b = 5 $，加多少克盐可使该容器内的盐水浓度提高到原来的 2 倍？
（3）若 $ a = 50 $，$ b = 5 $，则需要蒸发多少克水，才使该容器内的盐水浓度提高到原来的 2 倍？
（1）若加入 4 克盐，食盐水的浓度怎么变化？为什么？（用数学的方法书写过程）
（2）若 $ a = 50 $，$ b = 5 $，加多少克盐可使该容器内的盐水浓度提高到原来的 2 倍？
（3）若 $ a = 50 $，$ b = 5 $，则需要蒸发多少克水，才使该容器内的盐水浓度提高到原来的 2 倍？
答案
10. 解：(1)由题意可得，容器内原有盐水的浓度为$\frac{b}{a}×100\%$，
加入4克盐后，容器中盐水的浓度为$\frac{b + 4}{a + 4}×100\%$。
因为$\frac{b + 4}{a + 4} - \frac{b}{a} = \frac{a(b + 4) - b(a + 4)}{a(a + 4)} = \frac{4a - 4b}{a^2 + 4a} ＞ 0$，
所以加盐后食盐水的浓度变大。
(2)设加入x克盐后，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍，
由题意可得，$\frac{b + x}{a + x}×100\% = \frac{2b}{a}×100\%$。
当$a = 50$，$b = 5$时，$\frac{5 + x}{50 + x} = \frac{10}{50}$，
解得$x = \frac{25}{4}$。
经检验，$x = \frac{25}{4}$是原分式方程的根，且符合题意。
答：加入$\frac{25}{4}$克盐，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍。
(3)设蒸发y克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍，
由题意可得$\frac{b}{a - y}×100\% = \frac{2b}{a}×100\%$，
当$a = 50$，$b = 5$时，$\frac{5}{50 - y} = \frac{10}{50}$，
解得$y = 25$。
经检验，$y = 25$是原分式方程的根，且符合题意。
答：蒸发25克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍。
加入4克盐后，容器中盐水的浓度为$\frac{b + 4}{a + 4}×100\%$。
因为$\frac{b + 4}{a + 4} - \frac{b}{a} = \frac{a(b + 4) - b(a + 4)}{a(a + 4)} = \frac{4a - 4b}{a^2 + 4a} ＞ 0$，
所以加盐后食盐水的浓度变大。
(2)设加入x克盐后，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍，
由题意可得，$\frac{b + x}{a + x}×100\% = \frac{2b}{a}×100\%$。
当$a = 50$，$b = 5$时，$\frac{5 + x}{50 + x} = \frac{10}{50}$，
解得$x = \frac{25}{4}$。
经检验，$x = \frac{25}{4}$是原分式方程的根，且符合题意。
答：加入$\frac{25}{4}$克盐，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍。
(3)设蒸发y克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍，
由题意可得$\frac{b}{a - y}×100\% = \frac{2b}{a}×100\%$，
当$a = 50$，$b = 5$时，$\frac{5}{50 - y} = \frac{10}{50}$，
解得$y = 25$。
经检验，$y = 25$是原分式方程的根，且符合题意。
答：蒸发25克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍。
解析
【分析】
1. 第(1)问：先根据浓度公式写出原浓度和加盐后的浓度，利用作差法比较两者大小。通过通分化简差式，结合盐水质量大于含盐质量的实际情况，判断差的正负，从而确定浓度变化。
2. 第(2)问：加盐后盐和盐水的质量均增加，设加盐量为$x$，根据“浓度变为原来的2倍”列分式方程，代入已知数值求解后，需检验根的合理性。
3. 第(3)问：蒸发水时盐的质量不变，盐水质量减少，设蒸发水量为$y$，同样依据浓度关系列分式方程，代入数值求解后检验。
【解析】
(1) 由题意可得，容器内原有盐水的浓度为$\frac{b}{a}×100\%$，
加入4克盐后，容器中盐水的浓度为$\frac{b + 4}{a + 4}×100\%$。
计算两者的差：
$\frac{b + 4}{a + 4} - \frac{b}{a} = \frac{a(b + 4) - b(a + 4)}{a(a + 4)} = \frac{ab + 4a - ab - 4b}{a(a + 4)} = \frac{4(a - b)}{a(a + 4)}$
因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$a - b ＞ 0$，$a(a + 4) ＞ 0$，则$\frac{4(a - b)}{a(a + 4)} ＞ 0$，
即$\frac{b + 4}{a + 4}×100\% ＞ \frac{b}{a}×100\%$，所以加盐后食盐水的浓度变大。
(2) 设加入$x$克盐后，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍，
根据题意列方程：$\frac{b + x}{a + x}×100\% = \frac{2b}{a}×100\%$
当$a = 50$，$b = 5$时，代入方程得：$\frac{5 + x}{50 + x} = \frac{2×5}{50}$
化简得：$\frac{5 + x}{50 + x} = \frac{1}{5}$
交叉相乘：$5(5 + x) = 50 + x$
展开：$25 + 5x = 50 + x$
移项：$5x - x = 50 - 25$
合并同类项：$4x = 25$
解得：$x = \frac{25}{4}$
经检验，$x = \frac{25}{4}$是原分式方程的根，且符合题意。
答：加入$\frac{25}{4}$克盐，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍。
(3) 设蒸发$y$克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍，
根据题意列方程：$\frac{b}{a - y}×100\% = \frac{2b}{a}×100\%$
当$a = 50$，$b = 5$时，代入方程得：$\frac{5}{50 - y} = \frac{2×5}{50}$
化简得：$\frac{5}{50 - y} = \frac{1}{5}$
交叉相乘：$5×5 = 50 - y$
计算：$25 = 50 - y$
解得：$y = 25$
经检验，$y = 25$是原分式方程的根，且符合题意。
答：蒸发25克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍。
【答案】
(1) 加盐后食盐水的浓度变大，理由见解析；
(2) $\frac{25}{4}$克；
(3) 25克。
【知识点】
分式的应用、浓度问题、分式方程解法
【点评】
本题结合浓度公式与分式知识，考查了作差法比较分式大小以及分式方程的实际应用。解题关键是明确加盐、蒸发水过程中盐和盐水质量的变化，注意分式方程求解后必须检验根的合理性，培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：先根据浓度公式写出原浓度和加盐后的浓度，利用作差法比较两者大小。通过通分化简差式，结合盐水质量大于含盐质量的实际情况，判断差的正负，从而确定浓度变化。
2. 第(2)问：加盐后盐和盐水的质量均增加，设加盐量为$x$，根据“浓度变为原来的2倍”列分式方程，代入已知数值求解后，需检验根的合理性。
3. 第(3)问：蒸发水时盐的质量不变，盐水质量减少，设蒸发水量为$y$，同样依据浓度关系列分式方程，代入数值求解后检验。
【解析】
(1) 由题意可得，容器内原有盐水的浓度为$\frac{b}{a}×100\%$，
加入4克盐后，容器中盐水的浓度为$\frac{b + 4}{a + 4}×100\%$。
计算两者的差：
$\frac{b + 4}{a + 4} - \frac{b}{a} = \frac{a(b + 4) - b(a + 4)}{a(a + 4)} = \frac{ab + 4a - ab - 4b}{a(a + 4)} = \frac{4(a - b)}{a(a + 4)}$
因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$a - b ＞ 0$，$a(a + 4) ＞ 0$，则$\frac{4(a - b)}{a(a + 4)} ＞ 0$，
即$\frac{b + 4}{a + 4}×100\% ＞ \frac{b}{a}×100\%$，所以加盐后食盐水的浓度变大。
(2) 设加入$x$克盐后，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍，
根据题意列方程：$\frac{b + x}{a + x}×100\% = \frac{2b}{a}×100\%$
当$a = 50$，$b = 5$时，代入方程得：$\frac{5 + x}{50 + x} = \frac{2×5}{50}$
化简得：$\frac{5 + x}{50 + x} = \frac{1}{5}$
交叉相乘：$5(5 + x) = 50 + x$
展开：$25 + 5x = 50 + x$
移项：$5x - x = 50 - 25$
合并同类项：$4x = 25$
解得：$x = \frac{25}{4}$
经检验，$x = \frac{25}{4}$是原分式方程的根，且符合题意。
答：加入$\frac{25}{4}$克盐，可使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍。
(3) 设蒸发$y$克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍，
根据题意列方程：$\frac{b}{a - y}×100\% = \frac{2b}{a}×100\%$
当$a = 50$，$b = 5$时，代入方程得：$\frac{5}{50 - y} = \frac{2×5}{50}$
化简得：$\frac{5}{50 - y} = \frac{1}{5}$
交叉相乘：$5×5 = 50 - y$
计算：$25 = 50 - y$
解得：$y = 25$
经检验，$y = 25$是原分式方程的根，且符合题意。
答：蒸发25克水，可使容器内的盐水浓度提高到原来的2倍。
【答案】
(1) 加盐后食盐水的浓度变大，理由见解析；
(2) $\frac{25}{4}$克；
(3) 25克。
【知识点】
分式的应用、浓度问题、分式方程解法
【点评】
本题结合浓度公式与分式知识，考查了作差法比较分式大小以及分式方程的实际应用。解题关键是明确加盐、蒸发水过程中盐和盐水质量的变化，注意分式方程求解后必须检验根的合理性，培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
