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12. 解方程：(1)$\dfrac{4}{x} - \dfrac{2}{x - 3} = 0$。
(2)$\dfrac{x - 2}{x + 2} - \dfrac{16}{x^2 - 4} = 1$。
(2)$\dfrac{x - 2}{x + 2} - \dfrac{16}{x^2 - 4} = 1$。
答案
12. 解：(1)$\frac{4}{x}-\frac{2}{x - 3}=0$，
$4(x - 3) - 2x = 0$，
解得 $x = 6$。
经检验，当 $x = 6$ 时，$x(x - 3)≠0$，
所以 $x = 6$ 是原方程的根。
(2)$\frac{x - 2}{x + 2}-\frac{16}{x^2 - 4}=1$，
$(x - 2)^2 - 16 = x^2 - 4$，
解得 $x = - 2$。
经检验，当 $x = - 2$ 时，$x^2 - 4 = 0$，
所以 $x = - 2$ 是原方程的增根，
所以原方程无解。
$4(x - 3) - 2x = 0$，
解得 $x = 6$。
经检验，当 $x = 6$ 时，$x(x - 3)≠0$，
所以 $x = 6$ 是原方程的根。
(2)$\frac{x - 2}{x + 2}-\frac{16}{x^2 - 4}=1$，
$(x - 2)^2 - 16 = x^2 - 4$，
解得 $x = - 2$。
经检验，当 $x = - 2$ 时，$x^2 - 4 = 0$，
所以 $x = - 2$ 是原方程的增根，
所以原方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，之后必须检验所得的根是否使原分式方程的分母不为0，避免增根。
对于(1)：首先确定最简公分母为$x(x - 3)$，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，转化为整式方程后求解，最后检验分母是否不为0；
对于(2)：先将分母$x^2 - 4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边乘最简公分母转化为整式方程，求解后检验，若根使分母为0，则为增根，原方程无解。
【解析】
(1) $\dfrac{4}{x} - \dfrac{2}{x - 3} = 0$
方程两边同时乘最简公分母$x(x - 3)$，得：
$4(x - 3) - 2x = 0$
展开括号：$4x - 12 - 2x = 0$
合并同类项：$2x - 12 = 0$
解得：$x = 6$
经检验，当$x = 6$时，$x(x - 3)=6×(6-3)=18≠0$，
所以$x = 6$是原方程的根。
(2) $\dfrac{x - 2}{x + 2} - \dfrac{16}{x^2 - 4} = 1$
先对分母因式分解，$x^2 - 4=(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$(x - 2)^2 - 16 = x^2 - 4$
展开括号：$x^2 - 4x + 4 - 16 = x^2 - 4$
移项、合并同类项：$-4x - 12 = -4$
解得：$x = -2$
经检验，当$x = -2$时，$x^2 - 4=(-2)^2 - 4=0$，
所以$x = -2$是原方程的增根，原方程无解。
【答案】
(1)$x=6$；(2)无解
【知识点】
分式方程的解法、增根的判定、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式方程的求解，关键在于牢记“去分母转化为整式方程求解，最后必须检验”的步骤，尤其注意当分母是多项式时，先因式分解确定最简公分母，避免漏乘；检验时若根使分母为0，则为增根，原方程无解，切勿遗漏检验步骤。
【难度系数】
0.6
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，之后必须检验所得的根是否使原分式方程的分母不为0，避免增根。
对于(1)：首先确定最简公分母为$x(x - 3)$，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，转化为整式方程后求解，最后检验分母是否不为0；
对于(2)：先将分母$x^2 - 4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，确定最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边乘最简公分母转化为整式方程，求解后检验，若根使分母为0，则为增根，原方程无解。
【解析】
(1) $\dfrac{4}{x} - \dfrac{2}{x - 3} = 0$
方程两边同时乘最简公分母$x(x - 3)$，得：
$4(x - 3) - 2x = 0$
展开括号：$4x - 12 - 2x = 0$
合并同类项：$2x - 12 = 0$
解得：$x = 6$
经检验，当$x = 6$时，$x(x - 3)=6×(6-3)=18≠0$，
所以$x = 6$是原方程的根。
(2) $\dfrac{x - 2}{x + 2} - \dfrac{16}{x^2 - 4} = 1$
先对分母因式分解，$x^2 - 4=(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得：
$(x - 2)^2 - 16 = x^2 - 4$
展开括号：$x^2 - 4x + 4 - 16 = x^2 - 4$
移项、合并同类项：$-4x - 12 = -4$
解得：$x = -2$
经检验，当$x = -2$时，$x^2 - 4=(-2)^2 - 4=0$，
所以$x = -2$是原方程的增根，原方程无解。
【答案】
(1)$x=6$；(2)无解
【知识点】
分式方程的解法、增根的判定、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式方程的求解，关键在于牢记“去分母转化为整式方程求解，最后必须检验”的步骤，尤其注意当分母是多项式时，先因式分解确定最简公分母，避免漏乘；检验时若根使分母为0，则为增根，原方程无解，切勿遗漏检验步骤。
【难度系数】
0.6
13. 在某市的中考体育考试中，新增了三个可选的专项技能项目（足球、篮球、排球），其中篮球项目包括运球绕杆往返。为了有效提升学生的篮球专项技能，该校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每名学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三。
活动一：篮球单手运球往返跑动。
活动二：篮球双手交替运球往返跑动。
活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线$m$后返回起跑线。在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑。
小红在活动一中的速度是在活动二中速度的1.4倍，设小红在活动二中的速度为$x$米/秒。
(1)假设小红在两项活动中均未掉落球，那么小红在这两项活动中的用时相差多少秒？（用含$x$的式子表示）
(2)假设小红在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，不得不捡起篮球并返回至掉落点，这额外花费了4秒。最终，完成两项活动的总时间为28秒。请计算小红在活动一中的速度。
活动三：篮球运球绕杆往返跑动。
活动规则如下：沿图2规定路线$A \to B \to C ··· \to M$运球绕杆往返跑。
(3)假设这条路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三。小强表示：“我们两个一共用了42秒。”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完20米。”请计算这两名同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分。
活动一：篮球单手运球往返跑动。
活动二：篮球双手交替运球往返跑动。
活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线$m$后返回起跑线。在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑。
小红在活动一中的速度是在活动二中速度的1.4倍，设小红在活动二中的速度为$x$米/秒。
(1)假设小红在两项活动中均未掉落球，那么小红在这两项活动中的用时相差多少秒？（用含$x$的式子表示）
(2)假设小红在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，不得不捡起篮球并返回至掉落点，这额外花费了4秒。最终，完成两项活动的总时间为28秒。请计算小红在活动一中的速度。
活动三：篮球运球绕杆往返跑动。
活动规则如下：沿图2规定路线$A \to B \to C ··· \to M$运球绕杆往返跑。
(3)假设这条路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三。小强表示：“我们两个一共用了42秒。”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完20米。”请计算这两名同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分。
答案
13. 解：(1)$\frac{20×2}{x}-\frac{20×2}{1.4x}$
$=\frac{40}{x}-\frac{200}{7x}$
$=\frac{280}{7x}-\frac{200}{7x}$
$=\frac{80}{7x}$。
答：小红在这两项活动中的用时相差 $\frac{80}{7x}$ 秒。
(2)$\frac{20×2}{x}+\frac{20×2}{1.4x}+4 = 28$，
化简得 $\frac{40}{x}+\frac{200}{7x}=24$，
方程两边同乘 $7x$，得 $280 + 200 = 24×7x$，
整理，得 $168x = 480$，
解得 $x = \frac{20}{7}$，
检验：当 $x = \frac{20}{7}$ 时，$7x≠0$，
所以原分式方程的解为 $x = \frac{20}{7}$，
所以 $1.4x = 1.4×\frac{20}{7}=4$。
答：小红在活动一中的速度为 $4$ 米/秒。
(3)设小红跑了 $y$ 秒，则小强跑了 $(42 - y)$ 秒，
所以 $\frac{36}{y}=\frac{20}{42 - y}$，
方程两边同乘 $y(42 - y)$，得 $36(42 - y) = 20y$，
整理，得 $56y = 1512$，
解得 $y = 27$，
检验：当 $y = 27$ 时，$y(42 - y)≠0$，
所以原分式方程的解为 $y = 27$，
所以 $42 - y = 42 - 27 = 15$。
答：小红同学跑了 $27$ 秒，小强同学跑了 $15$ 秒。
$=\frac{40}{x}-\frac{200}{7x}$
$=\frac{280}{7x}-\frac{200}{7x}$
$=\frac{80}{7x}$。
答：小红在这两项活动中的用时相差 $\frac{80}{7x}$ 秒。
(2)$\frac{20×2}{x}+\frac{20×2}{1.4x}+4 = 28$，
化简得 $\frac{40}{x}+\frac{200}{7x}=24$，
方程两边同乘 $7x$，得 $280 + 200 = 24×7x$，
整理，得 $168x = 480$，
解得 $x = \frac{20}{7}$，
检验：当 $x = \frac{20}{7}$ 时，$7x≠0$，
所以原分式方程的解为 $x = \frac{20}{7}$，
所以 $1.4x = 1.4×\frac{20}{7}=4$。
答：小红在活动一中的速度为 $4$ 米/秒。
(3)设小红跑了 $y$ 秒，则小强跑了 $(42 - y)$ 秒，
所以 $\frac{36}{y}=\frac{20}{42 - y}$，
方程两边同乘 $y(42 - y)$，得 $36(42 - y) = 20y$，
整理，得 $56y = 1512$，
解得 $y = 27$，
检验：当 $y = 27$ 时，$y(42 - y)≠0$，
所以原分式方程的解为 $y = 27$，
所以 $42 - y = 42 - 27 = 15$。
答：小红同学跑了 $27$ 秒，小强同学跑了 $15$ 秒。
解析
【分析】
1. 对于第(1)问：首先明确活动一和活动二的往返路程均为40米，根据“时间=路程÷速度”，分别求出活动二用时$\frac{40}{x}$秒、活动一用时$\frac{40}{1.4x}$秒，由于活动一速度更快用时更少，用活动二用时减去活动一用时，再对分式通分化简即可得到用时差。
2. 对于第(2)问：根据总时间的构成（活动一用时+活动二用时+额外花费的4秒=28秒）列出分式方程，先化简方程中的分式，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验解的合理性，再计算活动一的速度。
3. 对于第(3)问：设小红用时$y$秒，则小强用时$(42-y)$秒，根据“速度=路程÷时间”得出小红的速度，结合小红所说的条件找到等量关系，列出分式方程，去分母转化为整式方程求解，检验后得出两人各自的用时。
【解析】
(1) 由题意可知，活动一和活动二的往返路程均为$20×2=40$米。
小红在活动二中的用时为$\frac{40}{x}$秒，在活动一中的速度为$1.4x$米/秒，所以活动一用时为$\frac{40}{1.4x}$秒。
则两项活动的用时相差：
$\frac{40}{x}-\frac{40}{1.4x}$
$=\frac{40}{x}-\frac{200}{7x}$
$=\frac{280}{7x}-\frac{200}{7x}$
$=\frac{80}{7x}$。
答：小红在这两项活动中的用时相差 $\frac{80}{7x}$ 秒。
(2) 根据题意列方程：
$\frac{40}{x}+\frac{40}{1.4x}+4 = 28$，
化简得 $\frac{40}{x}+\frac{200}{7x}=24$，
方程两边同乘 $7x$，得 $280 + 200 = 24×7x$，
整理，得 $168x = 480$，
解得 $x = \frac{20}{7}$，
检验：当 $x = \frac{20}{7}$ 时，$7x≠0$，
所以原分式方程的解为 $x = \frac{20}{7}$，
则活动一中的速度为 $1.4x = 1.4×\frac{20}{7}=4$（米/秒）。
答：小红在活动一中的速度为 $4$ 米/秒。
(3) 设小红跑了 $y$ 秒，则小强跑了 $(42 - y)$ 秒，
根据题意列方程：
$\frac{36}{y}=\frac{20}{42 - y}$，
方程两边同乘 $y(42 - y)$，得 $36(42 - y) = 20y$，
整理，得 $56y = 1512$，
解得 $y = 27$，
检验：当 $y = 27$ 时，$y(42 - y)≠0$，
所以原分式方程的解为 $y = 27$，
则小强用时为 $42 - y = 42 - 27 = 15$（秒）。
答：小红同学跑了 $27$ 秒，小强同学跑了 $15$ 秒。
【答案】
(1) $\frac{80}{7x}$秒；
(2) 4米/秒；
(3) 小红27秒，小强15秒。
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、分式的运算
【点评】
本题结合中考体育训练的实际场景，考查了分式的化简及分式方程的应用，解题核心是准确把握路程、速度、时间三者的关系，找准等量关系列方程，同时要牢记分式方程必须检验解的合理性，有助于提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
1. 对于第(1)问：首先明确活动一和活动二的往返路程均为40米，根据“时间=路程÷速度”，分别求出活动二用时$\frac{40}{x}$秒、活动一用时$\frac{40}{1.4x}$秒，由于活动一速度更快用时更少，用活动二用时减去活动一用时，再对分式通分化简即可得到用时差。
2. 对于第(2)问：根据总时间的构成（活动一用时+活动二用时+额外花费的4秒=28秒）列出分式方程，先化简方程中的分式，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验解的合理性，再计算活动一的速度。
3. 对于第(3)问：设小红用时$y$秒，则小强用时$(42-y)$秒，根据“速度=路程÷时间”得出小红的速度，结合小红所说的条件找到等量关系，列出分式方程，去分母转化为整式方程求解，检验后得出两人各自的用时。
【解析】
(1) 由题意可知，活动一和活动二的往返路程均为$20×2=40$米。
小红在活动二中的用时为$\frac{40}{x}$秒，在活动一中的速度为$1.4x$米/秒，所以活动一用时为$\frac{40}{1.4x}$秒。
则两项活动的用时相差：
$\frac{40}{x}-\frac{40}{1.4x}$
$=\frac{40}{x}-\frac{200}{7x}$
$=\frac{280}{7x}-\frac{200}{7x}$
$=\frac{80}{7x}$。
答：小红在这两项活动中的用时相差 $\frac{80}{7x}$ 秒。
(2) 根据题意列方程：
$\frac{40}{x}+\frac{40}{1.4x}+4 = 28$，
化简得 $\frac{40}{x}+\frac{200}{7x}=24$，
方程两边同乘 $7x$，得 $280 + 200 = 24×7x$，
整理，得 $168x = 480$，
解得 $x = \frac{20}{7}$，
检验：当 $x = \frac{20}{7}$ 时，$7x≠0$，
所以原分式方程的解为 $x = \frac{20}{7}$，
则活动一中的速度为 $1.4x = 1.4×\frac{20}{7}=4$（米/秒）。
答：小红在活动一中的速度为 $4$ 米/秒。
(3) 设小红跑了 $y$ 秒，则小强跑了 $(42 - y)$ 秒，
根据题意列方程：
$\frac{36}{y}=\frac{20}{42 - y}$，
方程两边同乘 $y(42 - y)$，得 $36(42 - y) = 20y$，
整理，得 $56y = 1512$，
解得 $y = 27$，
检验：当 $y = 27$ 时，$y(42 - y)≠0$，
所以原分式方程的解为 $y = 27$，
则小强用时为 $42 - y = 42 - 27 = 15$（秒）。
答：小红同学跑了 $27$ 秒，小强同学跑了 $15$ 秒。
【答案】
(1) $\frac{80}{7x}$秒；
(2) 4米/秒；
(3) 小红27秒，小强15秒。
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、分式的运算
【点评】
本题结合中考体育训练的实际场景，考查了分式的化简及分式方程的应用，解题核心是准确把握路程、速度、时间三者的关系，找准等量关系列方程，同时要牢记分式方程必须检验解的合理性，有助于提升学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
