一、选择题
1. 在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图1所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为$AB = 1m$，又测得镜子与旗杆底部的距离$BC = 6m$，已知人的眼睛距离地面的高度为$h = 1.70m$，则旗杆的高度大约是()
A. $3.53m$
B. $7.70m$
C. $8.25m$
D. $10.20m$

解：设旗杆的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
由镜面反射的性质可知$ ∠ ABD = ∠ CBE $，
又$ ∠ A = ∠ C = 90° $，
因此$ △ ABD ∼ △ CBE $。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$ \frac{AD}{CE} = \frac{AB}{BC} $
将$ AD=1.70 \, \mathrm{m} $，$ AB=1 \, \mathrm{m} $，$ BC=6 \, \mathrm{m} $代入得：
$ \frac{1.70}{x} = \frac{1}{6} $
解得$ x = 1.70 × 6 = 10.20 $。
答：旗杆的高度大约是$ 10.20 \, \mathrm{m} $，故选D。

2. 如图2，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网$5m$的位置上，则球拍击球的高度$h$应为()

A.$0.9m$
B.$1.8m$
C.$2.7m$
D.$6m$

C

由题意可知，击球高度与网高所在的两个三角形相似。已知网高为0.9m，落地点离网5m，击球点到网的水平距离为10m，则落地点到击球点的水平距离为$5+10=15m$。根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{5}{15}=\frac{0.9}{h}$，解得$h=2.7m$。

3. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比(黄金比约为$0.618$)，已知这本书的长为$20cm$，则它的宽约为()

A.$12.36cm$
B.$13.6cm$
C.$32.36cm$
D.$7.64cm$

A

已知书的宽与长之比为黄金比（约0.618），长为20cm，因此宽≈20×0.618=12.36cm。

4. 如图3，身高为$1.6m$的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影$BA$由$B$向$A$走去，当走到$C$点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得$BC = 3.2m$，$CA = 0.8m$，则树的高度为()

A.$4.8m$
B.$6.4m$
C.$8m$
D.$10m$

C

设树的高度为$ h $米。
由题意，学生与大树均垂直于地面，故$ CD // BE $（$ CD $为学生身高，$ BE $为树高），可得$ △ ACD ∼ △ ABE $。
根据相似三角形对应边成比例：$ \frac{CD}{BE} = \frac{CA}{BA} $。
已知$ CD = 1.6m $，$ BC = 3.2m $，$ CA = 0.8m $，则$ BA = BC + CA = 3.2 + 0.8 = 4m $。
代入得：$ \frac{1.6}{h} = \frac{0.8}{4} $，解得$ h = 8 $。

5. 如图4，在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 5$，$BC = 4$。点$P$是边$AC$上一动点，过点$P$作$PQ// AB$，交$BC$于点$Q$，$D$为线段$PQ$的中点，当$BD$平分$∠ ABC$时，$AP$的长度为()



A.$\frac{8}{13}$
B.$\frac{15}{13}$
C.$\frac{25}{13}$
D.$\frac{32}{13}$

B

1. 在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
2. 设$AP=x$，则$CP=3-x$。
3. 因为$PQ// AB$，所以$△ CPQ∽△ CAB$，根据相似三角形性质得$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}=\frac{PQ}{AB}$，即$\frac{3-x}{3}=\frac{CQ}{4}=\frac{PQ}{5}$。
4. 计算得：$CQ=\frac{4(3-x)}{3}$，$PQ=\frac{5(3-x)}{3}$，则$QB=BC-CQ=4-\frac{4(3-x)}{3}=\frac{4x}{3}$。
5. 因为$D$是$PQ$中点，所以$QD=\frac{1}{2}PQ=\frac{5(3-x)}{6}$。
6. 因为$BD$平分$∠ ABC$，$PQ// AB$，所以$∠ QBD=∠ ABD=∠ QDB$，故$QB=QD$。
7. 列方程$\frac{4x}{3}=\frac{5(3-x)}{6}$，解得$x=\frac{15}{13}$，即$AP=\frac{15}{13}$。

二、填空题
1. 如图5，路灯距地面高度$CO$为$8$米，身高$1.6$米的小明从距离灯的底部(点$O$)$20$米的点$A$处，沿$AO$所在的直线行走$14$米到点$B$时，人影的长度变化是(填“增大”或“减小”)米(线段$AM$，$BN$分别表示人影长)。

解：
设小明在点A处的人影长$AM=x$米，
∵小明身高与路灯均垂直于地面，即$AA'// CO$，
∴$△ AA'M ∽ △ OCM$，
则$\frac{AA'}{CO}=\frac{AM}{AM+AO}$，代入数据得：
$\frac{1.6}{8}=\frac{x}{x+20}$，
解得$x=5$。
设小明在点B处的人影长$BN=y$米，
$OB=AO-AB=20-14=6$米，
同理$△ BB'N ∽ △ OCN$，
则$\frac{BB'}{CO}=\frac{BN}{BN+OB}$，代入数据得：
$\frac{1.6}{8}=\frac{y}{y+6}$，
解得$y=1.5$。
∵$5＞1.5$，故人影长度减小，
减小的长度为$5-1.5=3.5$米。
答：减小，3.5。