1. 若等腰三角形有两条边的长度为 2 和 5，则此等腰三角形的周长为()

A.9
B.12
C.9 或 12
D.10

1. B

【分析】
要解决这道题，首先需明确等腰三角形的性质：两腰长度相等，同时要牢记三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”。题目给出两条边的长度为2和5，我们需要分两种情况讨论等腰三角形的腰长，再验证每种情况是否符合三边关系，进而求出周长。
1. 假设腰长为2，底边长为5，此时三边为2、2、5，计算两边之和：2+2=4，4＜5，不满足三角形三边关系，这种情况不成立；
2. 假设腰长为5，底边长为2，此时三边为5、5、2，验证三边关系：5+2＞5，5+5＞2，均满足，这种情况成立，可计算周长。
【解析】
分两种情况讨论：
情况一：当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时，
三边长度为2，2，5。
因为2+2=4＜5，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，所以这种情况舍去。
情况二：当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时，
三边长度为5，5，2。
验证三边关系：
5+2=7＞5，5+5=10＞2，均满足三角形三边关系。
此时周长为5+5+2=12。
综上，此等腰三角形的周长为12。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形的性质与三角形三边关系的综合应用，解题关键是运用分类讨论思想，同时必须验证每种情况是否符合三角形三边关系，避免因忽略三边关系而得出错误答案。
【难度系数】
0.7

2. 已知△ABC 是等腰三角形，若∠A = 40°，则△ABC 的顶角度数是()

A.40°
B.100°
C.40°或 100°
D.40°或 70°

2. C

【分析】
这道题是等腰三角形顶角度数的求解问题，已知∠A=40°，但题目未明确∠A是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：
1. 若∠A为顶角，那么顶角度数直接就是40°；
2. 若∠A为底角，根据等腰三角形“两底角相等”的性质，另一个底角也是40°，再结合三角形内角和为180°，可计算出顶角的度数。最后验证两种情况是否都符合三角形内角和定理，从而确定所有可能的顶角度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当∠A为△ABC的顶角时，顶角度数为40°；
② 当∠A为△ABC的底角时，
因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也为40°，
根据三角形内角和为180°，可得顶角的度数为：
180° - 40°×2 = 100°。
两种情况均满足三角形内角和定理，因此△ABC的顶角度数是40°或100°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形的性质与三角形内角和定理，解题的关键是考虑到已知角可能是顶角或底角两种情况，避免因漏解而选错答案，培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.6

3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC，垂足为 D.若 AB = 6，CD = 4，则△ABC 的周长为.

3. $ 20 $

【分析】
首先，根据已知条件AB=AC，可判断△ABC是等腰三角形。再结合AD⊥BC这一条件，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，由此可推出BD=CD。已知CD的长度，就能求出BC的长度，最后结合AB和AC的长度，即可计算出△ABC的周长。
【解析】
1. 由AB = AC，可知△ABC是等腰三角形。
2. 因为AD ⊥ BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可得BD = CD。
3. 已知CD = 4，所以BD = 4，因此BC = BD + CD = 4 + 4 = 8。
4. 已知AB = 6，且AC = AB = 6，所以△ABC的周长为：AB + AC + BC = 6 + 6 + 8 = 20。
【答案】
20
【知识点】
等腰三角形三线合一；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查等腰三角形的核心性质，解题的关键是灵活运用“三线合一”得出底边的长度，题目侧重基础性质的应用，属于基础题型，能帮助学生巩固等腰三角形的性质理解。
【难度系数】
0.8

4. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 为 BC 边的中点，∠BAD = 20°，则∠C =.

4. $ 70 ^ { \circ } $

【分析】
首先，由$AB = AC$可知$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角平分线、底边上的高互相重合，因为D是BC中点，所以AD既是中线也是顶角$∠ BAC$的平分线。已知$∠ BAD = 20°$，可求出$∠ BAC$的度数；再根据三角形内角和为$180°$，结合等腰三角形两底角相等的性质，即可算出$∠ C$的度数。
【解析】
1. 因为$AB = AC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B = ∠ C$。
2. 又因为点D为BC边的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分$∠ BAC$。
3. 已知$∠ BAD = 20°$，则$∠ BAC = 2∠ BAD = 2×20° = 40°$。
4. 根据三角形内角和定理，$∠ B + ∠ C + ∠ BAC = 180°$，结合$∠ B = ∠ C$，可得：
$∠ C = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = 70°$。
【答案】
$\boldsymbol{70°}$
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形内角和定理，等腰三角形性质
【点评】
本题考查等腰三角形的性质与三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质求出顶角的度数，再利用内角和计算底角，属于基础题型，注重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.9

5. 如图，△ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC 于点 D，若△ABC 的周长为 50，△ABD 的周长为 40，则 AD =.

5. 15

【分析】
首先，根据等腰三角形“三线合一”的性质，因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC。接下来，我们可以利用两个三角形的周长建立等式：△ABC的周长是AB+AC+BC=50，结合AB=AC、BC=2BD，可化简得到AB+BD=25；再结合△ABD的周长AB+BD+AD=40，用这个周长减去AB+BD的和，就能求出AD的长度。
【解析】
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=DC（等腰三角形三线合一）。
∵ △ABC的周长为50，
∴ AB+AC+BC=50，
又
∵ AB=AC，BC=BD+DC=2BD，
∴ 2AB+2BD=50，
两边同时除以2得：AB+BD=25。
∵ △ABD的周长为40，
∴ AB+BD+AD=40，
将AB+BD=25代入上式得：25+AD=40，
解得：AD=40-25=15。
【答案】
15
【知识点】
等腰三角形三线合一，三角形周长计算
【点评】
本题借助等腰三角形的性质将线段进行转化，通过整体代换的思想，利用两个三角形的周长关系求出AD的长度，解题关键是找到AB+BD这个整体的数值，进而简化计算。
【难度系数】
0.7

6. 如图，等腰三角形 ABC 中，AB = AC，BD 平分∠ABC，∠A = 36°，求∠1 的度数.

6. 解:在$ △ A B C $中,$ A B = A C $
所以$ ∠ A B C = ∠ C $
又因为$ ∠ A + ∠ A B C + ∠ C = 180 ^ { \circ } $,
$ ∠ A = 36 ^ { \circ } $
所以$ ∠ A B C = ∠ C = \frac { 1 } { 2 } × ( 180 ^ { \circ } - 36 ^ { \circ } ) = 72 ^ { \circ } $
又因为$ B D $平分$ ∠ A B C $
所以$ ∠ D B C = \frac { 1 } { 2 } ∠ A B C = 36 ^ { \circ } $
在$ △ B D C $中,$ ∠ D B C + ∠ 1 + ∠ C = 180 ^ { \circ } $
所以$ ∠ 1 = 180 ^ { \circ } - 36 ^ { \circ } - 72 ^ { \circ } $
所以$ ∠ 1 = 72 ^ { \circ } $

【分析】
首先，题目给出等腰三角形ABC且AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得出∠ABC=∠C。已知∠A=36°，结合三角形内角和为180°，先计算出∠ABC和∠C的度数；接着，BD平分∠ABC，依据角平分线的定义，求出∠DBC的度数；最后在△BDC中，再次利用三角形内角和定理，即可算出∠1的度数。
【解析】
解：在$△ ABC$中，$AB = AC$
所以$∠ ABC = ∠ C$
又因为$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$，$∠ A = 36°$
所以$∠ ABC = ∠ C = \frac{1}{2} × (180° - 36°) = 72°$
又因为$BD$平分$∠ ABC$
所以$∠ DBC = \frac{1}{2} ∠ ABC = 36°$
在$△ BDC$中，$∠ DBC + ∠ 1 + ∠ C = 180°$
所以$∠ 1 = 180° - 36° - 72°$
所以$∠ 1 = 72°$
【答案】
$\boldsymbol{72°}$
【知识点】
等腰三角形性质；三角形内角和定理；角平分线定义
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题，综合考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题关键是熟练运用这些知识点逐步推导角度。
【难度系数】
0.8

7. 聪明的亮亮用含有 30°角的两个完全相同的三角板拼成如图的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出所有的等腰三角形.

7. 解:图中的等腰三角形有:$ △ A B E $、$ △ D C E $和$ △ E B C $

【分析】
要找出图中的等腰三角形，需根据等腰三角形的判定定理（等角对等边），结合两个完全相同的含30°角的三角板的角度特征来分析：
1. 首先明确三角板的角度：含30°角的直角三角板，直角为90°，另一个锐角为60°，即∠BAC=∠CDB=30°，∠ABC=∠DCB=90°，∠ACB=∠DBC=60°；
2. 分析△EBC：∠ACB=∠DBC=60°，根据等角对等边，可得EB=EC，故△EBC是等腰三角形；
3. 分析△ABE：先利用三角形外角性质，∠AEB=∠ACB+∠DBC=120°，再结合三角形内角和定理，∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=180°-30°-120°=30°，则∠BAE=∠ABE，根据等角对等边，AE=BE，故△ABE是等腰三角形；
4. 分析△DCE：同理，∠DEC=∠AEB=120°，∠DCE=180°-∠CDE-∠DEC=180°-30°-120°=30°，则∠CDE=∠DCE，根据等角对等边，DE=CE，故△DCE是等腰三角形。
【解析】
已知两个三角板是完全相同的含30°角的直角三角板，因此：
∠BAC=∠CDB=30°，∠ABC=∠DCB=90°，∠ACB=∠DBC=60°。
1. 对于△EBC：
∵ ∠ACB=∠DBC=60°，
∴ EB=EC（等角对等边），
∴ △EBC是等腰三角形；
2. 对于△ABE：
∵ ∠AEB是△EBC的外角，
∴ ∠AEB=∠ACB+∠DBC=60°+60°=120°，
在△ABE中，∠ABE=180°-∠BAC-∠AEB=180°-30°-120°=30°，
∴ ∠BAC=∠ABE，
∴ AE=BE（等角对等边），
∴ △ABE是等腰三角形；
3. 对于△DCE：
∵ ∠DEC=∠AEB=120°（对顶角相等），
在△DCE中，∠DCE=180°-∠CDB-∠DEC=180°-30°-120°=30°，
∴ ∠CDB=∠DCE，
∴ DE=CE（等角对等边），
∴ △DCE是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形为△ABE、△DCE和△EBC。
【答案】
$△ABE$、$△DCE$和$△EBC$
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题关键是结合三角板的角度特征，利用三角形内角和、外角性质找出相等的角，再根据“等角对等边”判定等腰三角形，需要注意全面观察图形，避免遗漏。
【难度系数】
0.7

8. 如图，A，B 是 4×5 的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位 1，请在图中清晰地标出使以 A，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置.

8. 解:如图所示有7个格点符合要求
分析:①$ A B = A C $时,点$ C $可以在$ C _ { 1 } $,$ C _ { 2 } $处
②$ B A = B C $时,点$ C $可以在$ C _ { 3 } $、$ C _ { 4 } $、$ C _ { 5 } $处
③$ C A = C B $时点$ C $可以在$ C _ { 6 } $,$ C _ { 7 } $处.

【分析】
要找出所有使△ABC为等腰三角形的格点C，需根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①AB为腰，A为顶点（AB=AC）；②AB为腰，B为顶点（BA=BC）；③AB为底边（CA=CB）。先通过勾股定理计算AB的长度，再分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧找格点，或作AB的垂直平分线找格点，确保不重不漏地找出所有符合条件的点。
【解析】
1. 计算AB的长度：
由网格可知，A、B两点横向距离为3，纵向距离为1，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
2. 分情况寻找格点C：
① 当$AB=AC$时，以点A为圆心，$\sqrt{10}$为半径画弧，与网格格点的交点为$C_1$、$C_2$；
② 当$BA=BC$时，以点B为圆心，$\sqrt{10}$为半径画弧，与网格格点的交点为$C_3$、$C_4$、$C_5$；
③ 当$CA=CB$时，作AB的垂直平分线，垂直平分线与网格格点的交点为$C_6$、$C_7$。
综上，共有7个符合要求的格点C，位置如图所示。
【答案】
共有7个符合要求的格点C，位置如图所示（分别为$C_1$、$C_2$、$C_3$、$C_4$、$C_5$、$C_6$、$C_7$）
【知识点】
等腰三角形定义、勾股定理、垂直平分线性质
【点评】
本题考查等腰三角形的分类讨论，需结合网格特征，运用勾股定理和垂直平分线性质寻找格点，重点培养分类讨论思想与空间想象能力，解题时要注意分类全面，避免遗漏或重复。
【难度系数】
0.3

1. 判断题.
(1)直角三角形是轴对称图形.()
(2)等腰直角三角形是轴对称图形.()
(3)如果一个三角形是轴对称图形，那么它一定是等腰三角形.()
(4)有两个角相等的三角形是等腰三角形.()

1. (1)$ × $ (2)$ \checkmark $ (3)$ \checkmark $ (4)$ \checkmark $

【分析】
我们需要结合轴对称图形的定义和等腰三角形的判定、性质来逐一判断每个小题：
1. 对于(1)，轴对称图形要求沿某条直线对折后直线两旁的部分能完全重合，普通直角三角形（如含30°、60°的直角三角形）找不到这样的对称轴，只有等腰直角三角形才是轴对称图形，所以普通直角三角形不是轴对称图形，该说法错误。
2. 对于(2)，等腰直角三角形沿斜边的中线（同时也是高、角平分线）所在直线对折，直线两旁的部分能完全重合，符合轴对称图形的定义，该说法正确。
3. 对于(3)，三角形是轴对称图形，说明存在一条对称轴，对称轴两侧的部分完全重合，必然有两条边长度相等，满足等腰三角形的定义，所以这个三角形一定是等腰三角形，该说法正确。
4. 对于(4)，根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，有两个角相等的三角形，对应的两条边也相等，符合等腰三角形的定义，该说法正确。
【解析】
(1) 直角三角形包含普通直角三角形和等腰直角三角形，普通直角三角形没有对称轴，不是轴对称图形，故判断为$×$；
(2) 等腰直角三角形有一条对称轴（斜边的中线所在直线），沿该直线对折后两边完全重合，是轴对称图形，故判断为$\checkmark$；
(3) 轴对称三角形的对称轴两侧部分完全重合，可推出三角形有两条边相等，符合等腰三角形的定义，故判断为$\checkmark$；
(4) 根据“等角对等边”的判定定理，有两个角相等的三角形，对应的两条边相等，属于等腰三角形，故判断为$\checkmark$。
【答案】
(1)$ × $ (2)$ \checkmark $ (3)$ \checkmark $ (4)$ \checkmark $
【知识点】
轴对称图形定义、等腰三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题重点考查轴对称图形的定义与等腰三角形的核心判定、性质，需要准确区分普通直角三角形与等腰直角三角形的差异，熟练运用等腰三角形的判定定理，避免因概念混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.6

2. 若等腰三角形的一个内角为 70°，则另外两个内角的度数分别为()

A.55°，55°
B.70°，40°
C.55°，55°或 70°，40°
D.以上都不正确

2. C

【分析】
这道题需要结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，关键是分情况讨论已知的70°内角是顶角还是底角：
1. 先明确等腰三角形的核心性质：两底角相等，且三角形内角和为180°；
2. 题目仅给出一个内角为70°，这个角既可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，因此要分两种情况计算另外两个角的度数；
3. 分别算出两种情况的角度后，对比选项即可得出正确答案。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当70°的内角为等腰三角形的顶角时：
根据三角形内角和为180°，且等腰三角形两底角相等，
则底角的度数为：$(180° - 70°)÷2 = 55°$，
此时另外两个内角的度数为55°，55°；
② 当70°的内角为等腰三角形的底角时：
则另一个底角也为70°，
顶角的度数为：$180° - 70°×2 = 40°$，
此时另外两个内角的度数为70°，40°；
综上，另外两个内角的度数分别为55°，55°或70°，40°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形的基础应用，易错点是容易忽略已知角可能是顶角或底角的两种情况，解题时需严谨分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.8