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3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的高，点 E，F 是 AD 上的点，若△ABC 的面积为 12 cm²，则图中阴影部分的面积为(
A.8 cm²
B.6 cm²
C.4 cm²
D.2 cm²
B
)A.8 cm²
B.6 cm²
C.4 cm²
D.2 cm²
答案
3. B
解析
【分析】
首先，观察图形可知△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是BC边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是△ABC的对称轴。根据轴对称的性质，对称轴两侧的对应图形面积相等，因此可以将阴影部分的面积转化为△ABD（或△ACD）的面积，而△ABD的面积是△ABC面积的一半，由此即可求出阴影部分的面积。
【解析】
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD是△ABC的对称轴（等腰三角形三线合一），BD=DC，
根据轴对称的性质，对称轴两侧的对应图形面积相等，
因此阴影部分的面积等于△ABD的面积。
又
∵AD是△ABC的高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$，
则$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一，轴对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题通过等腰三角形的对称轴性质，将不规则的阴影部分面积转化为规则三角形的面积，简化了计算过程，考查了学生对等腰三角形性质和轴对称性质的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
首先，观察图形可知△ABC是等腰三角形（AB=AC），AD是BC边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD是△ABC的对称轴。根据轴对称的性质，对称轴两侧的对应图形面积相等，因此可以将阴影部分的面积转化为△ABD（或△ACD）的面积，而△ABD的面积是△ABC面积的一半，由此即可求出阴影部分的面积。
【解析】
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD是△ABC的对称轴（等腰三角形三线合一），BD=DC，
根据轴对称的性质，对称轴两侧的对应图形面积相等，
因此阴影部分的面积等于△ABD的面积。
又
∵AD是△ABC的高，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}^2$，
则$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一，轴对称的性质，三角形面积计算
【点评】
本题通过等腰三角形的对称轴性质，将不规则的阴影部分面积转化为规则三角形的面积，简化了计算过程，考查了学生对等腰三角形性质和轴对称性质的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在△ABC 中，AC = BC，点 D 和 E 分别在 AB 和 AC 上，且 AD = AE，连接 DE，过点 A 的直线 GH 与 DE 平行.若∠C = 40°，则∠GAD 的度数为(
A.45°
B.45°
C.55°
D.70°
C
)A.45°
B.45°
C.55°
D.70°
答案
4. C
解析
【分析】
1. 首先根据AC=BC判断△ABC为等腰三角形，结合三角形内角和定理，计算出∠BAC的度数；
2. 再由AD=AE判断△ADE为等腰三角形，利用∠BAC的度数计算出∠ADE的度数；
3. 最后根据GH//DE，利用平行线的同位角相等的性质，得出∠GAD的度数，进而确定答案。
【解析】
1. 在△ABC中，
∵AC=BC，∠C=40°，
∴∠BAC=∠B=$\frac{180°-∠C}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$；
2. 在△ADE中，
∵AD=AE，∠DAE=∠BAC=70°，
∴∠ADE=$\frac{180°-∠DAE}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$；
3.
∵GH//DE，
∴∠GAD=∠ADE=55°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了基础几何知识点的应用，解题核心是熟练掌握等腰三角形、三角形内角和平行线的相关性质，通过逐步推导完成角度计算。
【难度系数】
0.6
1. 首先根据AC=BC判断△ABC为等腰三角形，结合三角形内角和定理，计算出∠BAC的度数；
2. 再由AD=AE判断△ADE为等腰三角形，利用∠BAC的度数计算出∠ADE的度数；
3. 最后根据GH//DE，利用平行线的同位角相等的性质，得出∠GAD的度数，进而确定答案。
【解析】
1. 在△ABC中，
∵AC=BC，∠C=40°，
∴∠BAC=∠B=$\frac{180°-∠C}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$；
2. 在△ADE中，
∵AD=AE，∠DAE=∠BAC=70°，
∴∠ADE=$\frac{180°-∠DAE}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$；
3.
∵GH//DE，
∴∠GAD=∠ADE=55°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了基础几何知识点的应用，解题核心是熟练掌握等腰三角形、三角形内角和平行线的相关性质，通过逐步推导完成角度计算。
【难度系数】
0.6
5. 若$(a - 1)^2 + |b - 2| = 0$，则以 a，b 为边长的等腰三角形的周长是
5
.答案
5. 5
解析
【分析】
首先，根据平方数和绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，由此可求出a和b的值。接着，因为是等腰三角形，需要分两种情况讨论：以a为腰长或以b为腰长，同时要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长。
【解析】
1. 求a、b的值：
因为$(a - 1)^2 ≥ 0$，$|b - 2| ≥ 0$，且$(a - 1)^2 + |b - 2| = 0$，根据非负数的性质，可得：
$a - 1 = 0$，解得$a = 1$；
$b - 2 = 0$，解得$b = 2$。
2. 分情况讨论等腰三角形的三边：
① 若腰长为$a=1$，则三角形三边为1，1，2。
由于$1 + 1 = 2$，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，故这种情况舍去。
② 若腰长为$b=2$，则三角形三边为2，2，1。
因为$2 + 1 ＞ 2$，$2 + 2 ＞ 1$，满足三角形三边关系，此时周长为$2 + 2 + 1 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
非负数的性质，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质及三角形三边关系，解题的关键是进行分类讨论后，务必验证三边是否能构成三角形，这是容易出错的地方，需格外注意。
【难度系数】
0.6
首先，根据平方数和绝对值的非负性，两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，由此可求出a和b的值。接着，因为是等腰三角形，需要分两种情况讨论：以a为腰长或以b为腰长，同时要根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况是否能构成三角形，最后计算符合条件的三角形周长。
【解析】
1. 求a、b的值：
因为$(a - 1)^2 ≥ 0$，$|b - 2| ≥ 0$，且$(a - 1)^2 + |b - 2| = 0$，根据非负数的性质，可得：
$a - 1 = 0$，解得$a = 1$；
$b - 2 = 0$，解得$b = 2$。
2. 分情况讨论等腰三角形的三边：
① 若腰长为$a=1$，则三角形三边为1，1，2。
由于$1 + 1 = 2$，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，故这种情况舍去。
② 若腰长为$b=2$，则三角形三边为2，2，1。
因为$2 + 1 ＞ 2$，$2 + 2 ＞ 1$，满足三角形三边关系，此时周长为$2 + 2 + 1 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
非负数的性质，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质及三角形三边关系，解题的关键是进行分类讨论后，务必验证三边是否能构成三角形，这是容易出错的地方，需格外注意。
【难度系数】
0.6
6. 如图：△ABC 为等边三角形，AD 平分∠BAC，△ADE 是等边三角形，下列结论中：①AD ⊥ BC；②EF = FD；③BE = BD；④∠ABE = 60°，正确的是
①②③④
.(填序号)答案
6. ①②③④
解析
【分析】
我们可以根据等边三角形的性质和全等三角形的判定，逐个分析每个结论：
1. 对于结论①：△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，根据等边三角形“三线合一”（角平分线、中线、高线重合）的性质，可直接得出AD⊥BC，故①正确。
2. 对于结论④和③：已知△ABC、△ADE都是等边三角形，可得AE=AD，AB为公共边，∠EAD=∠BAC=60°。通过角的运算，∠EAB=∠EAD-∠BAD=60°-30°=30°（AD平分∠BAC，等边三角形内角为60°，故∠BAD=30°），即∠EAB=∠BAD。结合AB为公共边，可利用SAS证明△EAB≌△DAB，从而得出BE=BD，∠ABE=∠ABD=60°，故③④正确。
3. 对于结论②：由AE=AD，∠EAB=∠BAD，根据等腰三角形三线合一的性质，AB是△ADE的角平分线，同时也是ED的中线，因此F是ED的中点，即EF=FD，故②正确。
【解析】
1. 证明①正确：
∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，
根据等边三角形三线合一的性质，AD既是角平分线也是高线，
∴AD⊥BC，故①正确。
2. 证明④和③正确：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AB（公共边），∠EAD=∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠DAC=30°，
∴∠EAB=∠EAD - ∠BAD=60°-30°=30°，即∠EAB=∠BAD，
在△EAB和△DAB中：
$\{\begin{array}{l}AE=AD\\∠EAB=∠DAB\\AB=AB\end{array} $
∴△EAB≌△DAB（SAS），
∴BE=BD，∠ABE=∠ABD=60°，故③④正确。
3. 证明②正确：
∵AE=AD，∠EAB=∠BAD，
根据等腰三角形三线合一的性质，AB为△ADE的角平分线，同时也是ED的中线，
∴F为ED的中点，即EF=FD，故②正确。
综上，正确的结论是①②③④。
【答案】
①②③④
【知识点】
等边三角形性质；全等三角形判定（SAS）；等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的三线合一性质，需要熟练掌握这些几何图形的基本性质，通过角的运算和全等证明来推导结论，注重对几何逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.4
我们可以根据等边三角形的性质和全等三角形的判定，逐个分析每个结论：
1. 对于结论①：△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，根据等边三角形“三线合一”（角平分线、中线、高线重合）的性质，可直接得出AD⊥BC，故①正确。
2. 对于结论④和③：已知△ABC、△ADE都是等边三角形，可得AE=AD，AB为公共边，∠EAD=∠BAC=60°。通过角的运算，∠EAB=∠EAD-∠BAD=60°-30°=30°（AD平分∠BAC，等边三角形内角为60°，故∠BAD=30°），即∠EAB=∠BAD。结合AB为公共边，可利用SAS证明△EAB≌△DAB，从而得出BE=BD，∠ABE=∠ABD=60°，故③④正确。
3. 对于结论②：由AE=AD，∠EAB=∠BAD，根据等腰三角形三线合一的性质，AB是△ADE的角平分线，同时也是ED的中线，因此F是ED的中点，即EF=FD，故②正确。
【解析】
1. 证明①正确：
∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，
根据等边三角形三线合一的性质，AD既是角平分线也是高线，
∴AD⊥BC，故①正确。
2. 证明④和③正确：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AB（公共边），∠EAD=∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠DAC=30°，
∴∠EAB=∠EAD - ∠BAD=60°-30°=30°，即∠EAB=∠BAD，
在△EAB和△DAB中：
$\{\begin{array}{l}AE=AD\\∠EAB=∠DAB\\AB=AB\end{array} $
∴△EAB≌△DAB（SAS），
∴BE=BD，∠ABE=∠ABD=60°，故③④正确。
3. 证明②正确：
∵AE=AD，∠EAB=∠BAD，
根据等腰三角形三线合一的性质，AB为△ADE的角平分线，同时也是ED的中线，
∴F为ED的中点，即EF=FD，故②正确。
综上，正确的结论是①②③④。
【答案】
①②③④
【知识点】
等边三角形性质；全等三角形判定（SAS）；等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的三线合一性质，需要熟练掌握这些几何图形的基本性质，通过角的运算和全等证明来推导结论，注重对几何逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.4
7. 已知：如图，AB = AC，AD = AE.说明：BD = CE.
答案
7. 解:过点$ A $作$ A M ⊥ B C $于点$ M $
在$ △ A B C $中,$ A B = A C $,$ A M ⊥ B C $
所以$ B M = C M $(三线合一)
在$ △ A D E $中
因为$ A D = A E $,$ A M ⊥ D E $
所以$ D M = E M $(三线合一)
所以$ B M - D M = C M - E M $
即$ B D = C E $
在$ △ A B C $中,$ A B = A C $,$ A M ⊥ B C $
所以$ B M = C M $(三线合一)
在$ △ A D E $中
因为$ A D = A E $,$ A M ⊥ D E $
所以$ D M = E M $(三线合一)
所以$ B M - D M = C M - E M $
即$ B D = C E $
解析
【分析】
要证明$BD=CE$，观察图形可知$BD=BM-DM$，$CE=CM-EM$，因此可先证明$BM=CM$、$DM=EM$。已知$AB=AC$，$AD=AE$，这两个三角形均为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，过点$A$作$AM⊥BC$于$M$，就能分别在$△ ABC$和$△ ADE$中得到$BM=CM$、$DM=EM$，再通过线段的差即可推出$BD=CE$。
【解析】
过点$ A $作$ A M ⊥ B C $于点$ M $
在$ △ A B C $中，
因为$ A B = A C $，$ A M ⊥ B C $，
所以$ B M = C M $（等腰三角形三线合一）。
在$ △ A D E $中，
因为$ A D = A E $，$ A M ⊥ D E $，
所以$ D M = E M $（等腰三角形三线合一）。
所以$ B M - D M = C M - E M $，
即$ B D = C E $。
【答案】
$ BD = CE $得证
【知识点】
等腰三角形三线合一、线段和差
【点评】
本题考查等腰三角形性质的应用，通过构造辅助线利用“三线合一”将线段进行转化是解题关键，体现了转化思想在几何证明中的运用。
【难度系数】
0.6
要证明$BD=CE$，观察图形可知$BD=BM-DM$，$CE=CM-EM$，因此可先证明$BM=CM$、$DM=EM$。已知$AB=AC$，$AD=AE$，这两个三角形均为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，过点$A$作$AM⊥BC$于$M$，就能分别在$△ ABC$和$△ ADE$中得到$BM=CM$、$DM=EM$，再通过线段的差即可推出$BD=CE$。
【解析】
过点$ A $作$ A M ⊥ B C $于点$ M $
在$ △ A B C $中，
因为$ A B = A C $，$ A M ⊥ B C $，
所以$ B M = C M $（等腰三角形三线合一）。
在$ △ A D E $中，
因为$ A D = A E $，$ A M ⊥ D E $，
所以$ D M = E M $（等腰三角形三线合一）。
所以$ B M - D M = C M - E M $，
即$ B D = C E $。
【答案】
$ BD = CE $得证
【知识点】
等腰三角形三线合一、线段和差
【点评】
本题考查等腰三角形性质的应用，通过构造辅助线利用“三线合一”将线段进行转化是解题关键，体现了转化思想在几何证明中的运用。
【难度系数】
0.6
1. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的中线，BE ⊥ AC 于点 E.说明：∠CBE = ∠BAD.
答案
1. 解:因为$ A B = A C $
所以$ ∠ A B C = ∠ C $(等边对等角)
又因为$ A D $是$ B C $边上的中线
所以$ A D ⊥ B C $(三线合一)
所以$ ∠ A D B = 90 ^ { \circ } $
又因为$ B E ⊥ A C $
所以$ ∠ B E C = 90 ^ { \circ } $
所以$ ∠ A D B = ∠ B E C = 90 ^ { \circ } $
所以$ ∠ B A D + ∠ A B C = ∠ C B E + ∠ C = 90 ^ { \circ } $
所以$ ∠ C B E = ∠ B A D $.
所以$ ∠ A B C = ∠ C $(等边对等角)
又因为$ A D $是$ B C $边上的中线
所以$ A D ⊥ B C $(三线合一)
所以$ ∠ A D B = 90 ^ { \circ } $
又因为$ B E ⊥ A C $
所以$ ∠ B E C = 90 ^ { \circ } $
所以$ ∠ A D B = ∠ B E C = 90 ^ { \circ } $
所以$ ∠ B A D + ∠ A B C = ∠ C B E + ∠ C = 90 ^ { \circ } $
所以$ ∠ C B E = ∠ B A D $.
解析
【分析】
要证明∠CBE = ∠BAD，可按以下思路推导：
1. 由AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，先得到∠ABC=∠C；
2. 结合AD是BC边上的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质，推出AD⊥BC，得到∠ADB=90°；
3. 已知BE⊥AC，可得∠BEC=90°，此时△ABD和△BEC均为直角三角形；
4. 根据直角三角形两锐角互余，得到∠BAD+∠ABC=90°，∠CBE+∠C=90°；
5. 最后结合∠ABC=∠C，利用等角的余角相等，即可证得∠CBE=∠BAD。
【解析】
证明：
因为$AB = AC$，
所以$∠ABC = ∠C$（等边对等角）。
又因为$AD$是$BC$边上的中线，
所以$AD ⊥ BC$（等腰三角形三线合一），
所以$∠ADB = 90 ^ { \circ }$。
又因为$BE ⊥ AC$，
所以$∠BEC = 90 ^ { \circ }$，
所以$∠ADB = ∠BEC = 90 ^ { \circ }$。
因此$∠BAD + ∠ABC = 90 ^ { \circ }$，$∠CBE + ∠C = 90 ^ { \circ }$（直角三角形两锐角互余）。
又因为$∠ABC = ∠C$，
所以$∠CBE = ∠BAD$（等角的余角相等）。
【答案】
$\boldsymbol{∠CBE = ∠BAD}$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和直角三角形的性质，解题关键是通过等腰三角形的性质建立角的关联，再结合直角三角形两锐角互余完成角的转化，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8
要证明∠CBE = ∠BAD，可按以下思路推导：
1. 由AB=AC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，先得到∠ABC=∠C；
2. 结合AD是BC边上的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质，推出AD⊥BC，得到∠ADB=90°；
3. 已知BE⊥AC，可得∠BEC=90°，此时△ABD和△BEC均为直角三角形；
4. 根据直角三角形两锐角互余，得到∠BAD+∠ABC=90°，∠CBE+∠C=90°；
5. 最后结合∠ABC=∠C，利用等角的余角相等，即可证得∠CBE=∠BAD。
【解析】
证明：
因为$AB = AC$，
所以$∠ABC = ∠C$（等边对等角）。
又因为$AD$是$BC$边上的中线，
所以$AD ⊥ BC$（等腰三角形三线合一），
所以$∠ADB = 90 ^ { \circ }$。
又因为$BE ⊥ AC$，
所以$∠BEC = 90 ^ { \circ }$，
所以$∠ADB = ∠BEC = 90 ^ { \circ }$。
因此$∠BAD + ∠ABC = 90 ^ { \circ }$，$∠CBE + ∠C = 90 ^ { \circ }$（直角三角形两锐角互余）。
又因为$∠ABC = ∠C$，
所以$∠CBE = ∠BAD$（等角的余角相等）。
【答案】
$\boldsymbol{∠CBE = ∠BAD}$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和直角三角形的性质，解题关键是通过等腰三角形的性质建立角的关联，再结合直角三角形两锐角互余完成角的转化，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知在△ABC 中，∠ABC = 65°，AB = AC，∠BAD = 20°，AD = AE，求∠EDC 的度数.
答案
2. 解:在$ △ A B C $中,$ A B = A C $
所以$ ∠ C = ∠ B = 65 ^ { \circ } $
$ ∠ B A C = 180 ^ { \circ } - ( ∠ B + ∠ C ) = 50 ^ { \circ } $
又因为$ ∠ B A D = 20 ^ { \circ } $
所以$ ∠ D A E = ∠ B A C - ∠ B A D = 30 ^ { \circ } $
在$ △ A D E $中,$ A D = A E $
所以$ ∠ A D E = ∠ A E D = 75 ^ { \circ } $
所以$ ∠ D E C = 180 ^ { \circ } - ∠ A E D = 105 ^ { \circ } $
在$ △ D E C $中,
$ ∠ E D C + ∠ C + ∠ D E C = 180 ^ { \circ } $
$ ∠ E D C + 65 ^ { \circ } + 105 ^ { \circ } = 180 ^ { \circ } $
所以$ ∠ E D C = 10 ^ { \circ } $
所以$ ∠ C = ∠ B = 65 ^ { \circ } $
$ ∠ B A C = 180 ^ { \circ } - ( ∠ B + ∠ C ) = 50 ^ { \circ } $
又因为$ ∠ B A D = 20 ^ { \circ } $
所以$ ∠ D A E = ∠ B A C - ∠ B A D = 30 ^ { \circ } $
在$ △ A D E $中,$ A D = A E $
所以$ ∠ A D E = ∠ A E D = 75 ^ { \circ } $
所以$ ∠ D E C = 180 ^ { \circ } - ∠ A E D = 105 ^ { \circ } $
在$ △ D E C $中,
$ ∠ E D C + ∠ C + ∠ D E C = 180 ^ { \circ } $
$ ∠ E D C + 65 ^ { \circ } + 105 ^ { \circ } = 180 ^ { \circ } $
所以$ ∠ E D C = 10 ^ { \circ } $
解析
【分析】
首先，题目中给出$AB=AC$、$AD=AE$，可先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，先求出$△ ABC$的顶角$∠ BAC$；接着结合已知$∠ BAD$的度数，计算出$∠ DAE$的度数；再在等腰$△ ADE$中，利用三角形内角和求出$∠ AED$的度数，进而得到$∠ DEC$的度数；最后在$△ DEC$中，根据三角形内角和定理，求出$∠ EDC$的度数。整个思路是从已知的等腰三角形条件入手，逐步推导各角的度数，最终得到目标角的度数。
【解析】
解:在$ △ A B C $中,$ A B = A C $
所以$ ∠ C = ∠ B = 65 ^ { \circ } $
$ ∠ B A C = 180 ^ { \circ } - ( ∠ B + ∠ C ) = 180°-(65°+65°)=50 ^ { \circ } $
又因为$ ∠ B A D = 20 ^ { \circ } $
所以$ ∠ D A E = ∠ B A C - ∠ B A D = 50°-20°=30 ^ { \circ } $
在$ △ A D E $中,$ A D = A E $
所以$ ∠ A D E = ∠ A E D = \frac{180°-30°}{2}=75 ^ { \circ } $
所以$ ∠ D E C = 180 ^ { \circ } - ∠ A E D = 180°-75°=105 ^ { \circ } $
在$ △ D E C $中,
$ ∠ E D C + ∠ C + ∠ D E C = 180 ^ { \circ } $
$ ∠ E D C + 65 ^ { \circ } + 105 ^ { \circ } = 180 ^ { \circ } $
所以$ ∠ E D C = 180°-65°-105°=10 ^ { \circ } $
【答案】
$\boldsymbol{10°}$
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查等腰三角形的性质与三角形内角和定理的综合运用，解题关键是利用等腰三角形“等边对等角”的性质，逐步推导相关角的度数，需要注意角度之间的和差关系，理清各角之间的联系。
【难度系数】
0.6
首先，题目中给出$AB=AC$、$AD=AE$，可先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，先求出$△ ABC$的顶角$∠ BAC$；接着结合已知$∠ BAD$的度数，计算出$∠ DAE$的度数；再在等腰$△ ADE$中，利用三角形内角和求出$∠ AED$的度数，进而得到$∠ DEC$的度数；最后在$△ DEC$中，根据三角形内角和定理，求出$∠ EDC$的度数。整个思路是从已知的等腰三角形条件入手，逐步推导各角的度数，最终得到目标角的度数。
【解析】
解:在$ △ A B C $中,$ A B = A C $
所以$ ∠ C = ∠ B = 65 ^ { \circ } $
$ ∠ B A C = 180 ^ { \circ } - ( ∠ B + ∠ C ) = 180°-(65°+65°)=50 ^ { \circ } $
又因为$ ∠ B A D = 20 ^ { \circ } $
所以$ ∠ D A E = ∠ B A C - ∠ B A D = 50°-20°=30 ^ { \circ } $
在$ △ A D E $中,$ A D = A E $
所以$ ∠ A D E = ∠ A E D = \frac{180°-30°}{2}=75 ^ { \circ } $
所以$ ∠ D E C = 180 ^ { \circ } - ∠ A E D = 180°-75°=105 ^ { \circ } $
在$ △ D E C $中,
$ ∠ E D C + ∠ C + ∠ D E C = 180 ^ { \circ } $
$ ∠ E D C + 65 ^ { \circ } + 105 ^ { \circ } = 180 ^ { \circ } $
所以$ ∠ E D C = 180°-65°-105°=10 ^ { \circ } $
【答案】
$\boldsymbol{10°}$
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查等腰三角形的性质与三角形内角和定理的综合运用，解题关键是利用等腰三角形“等边对等角”的性质，逐步推导相关角的度数，需要注意角度之间的和差关系，理清各角之间的联系。
【难度系数】
0.6
