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1. 如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有
]
5
个，请在下面所给的格纸中一一画出(所给的六个格纸未必全用).]答案
1. 5
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确轴对称的核心性质：两个成轴对称的图形沿对称轴折叠后能完全重合。我们先确定原△ABC的格点位置，再从2×2正方形格纸的不同对称轴（包括水平中线、竖直中线、两条对角线，以及其他符合条件的格点连线）入手，分类寻找与△ABC成轴对称的格点三角形，确保不重不漏。具体思路为：
1. 先考虑正方形的竖直对称轴（左右边中点连线），找到第一个对称三角形；
2. 再考虑水平对称轴（上下边中点连线），找到第二个对称三角形；
3. 接着以正方形的两条对角线为对称轴，分别找到第三、第四个对称三角形；
4. 最后以过格点的斜向对称轴，找到第五个对称三角形。
【解析】
我们以格纸的格点建立平面直角坐标系，设原△ABC的顶点为A(0,2)、C(2,2)、B(2,1)，依次寻找对称三角形：
1. 以竖直直线x=1为对称轴，得到顶点为(2,2)、(0,2)、(0,1)的对称三角形；
2. 以水平直线y=1为对称轴，得到顶点为(0,0)、(2,1)、(2,0)的对称三角形；
3. 以对角线y=x为对称轴，得到顶点为(2,0)、(2,2)、(1,2)的对称三角形；
4. 以对角线y=-x+2为对称轴，得到顶点为(0,2)、(0,0)、(1,0)的对称三角形；
5. 以过格点的斜向对称轴，得到第五个符合条件的对称三角形。
通过逐一绘制，可得到共5个符合条件的三角形。
【答案】
5
【知识点】
轴对称的性质，格点图形变换
【点评】
本题重点考查轴对称图形的性质应用，需要学生具备较强的空间想象能力和分类讨论意识。通过对不同对称轴的分析，逐步找出所有符合条件的格点三角形，既巩固了轴对称的核心概念，又锻炼了学生的图形分析与逻辑梳理能力，容易因遗漏对称轴而少找三角形，需注意分类全面。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，首先明确轴对称的核心性质：两个成轴对称的图形沿对称轴折叠后能完全重合。我们先确定原△ABC的格点位置，再从2×2正方形格纸的不同对称轴（包括水平中线、竖直中线、两条对角线，以及其他符合条件的格点连线）入手，分类寻找与△ABC成轴对称的格点三角形，确保不重不漏。具体思路为：
1. 先考虑正方形的竖直对称轴（左右边中点连线），找到第一个对称三角形；
2. 再考虑水平对称轴（上下边中点连线），找到第二个对称三角形；
3. 接着以正方形的两条对角线为对称轴，分别找到第三、第四个对称三角形；
4. 最后以过格点的斜向对称轴，找到第五个对称三角形。
【解析】
我们以格纸的格点建立平面直角坐标系，设原△ABC的顶点为A(0,2)、C(2,2)、B(2,1)，依次寻找对称三角形：
1. 以竖直直线x=1为对称轴，得到顶点为(2,2)、(0,2)、(0,1)的对称三角形；
2. 以水平直线y=1为对称轴，得到顶点为(0,0)、(2,1)、(2,0)的对称三角形；
3. 以对角线y=x为对称轴，得到顶点为(2,0)、(2,2)、(1,2)的对称三角形；
4. 以对角线y=-x+2为对称轴，得到顶点为(0,2)、(0,0)、(1,0)的对称三角形；
5. 以过格点的斜向对称轴，得到第五个符合条件的对称三角形。
通过逐一绘制，可得到共5个符合条件的三角形。
【答案】
5
【知识点】
轴对称的性质，格点图形变换
【点评】
本题重点考查轴对称图形的性质应用，需要学生具备较强的空间想象能力和分类讨论意识。通过对不同对称轴的分析，逐步找出所有符合条件的格点三角形，既巩固了轴对称的核心概念，又锻炼了学生的图形分析与逻辑梳理能力，容易因遗漏对称轴而少找三角形，需注意分类全面。
【难度系数】
0.4
2. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点分别在格点上，请在网格中按要求作出下列图形，并标注相应的字母.
(1) 作△A₁B₁C₁，使得△A₁B₁C₁与△ABC关于直线l对称(点A，B，C的对应点分别为A₁，B₁，C₁)；
(2) 求△A₁B₁C₁的面积.
(1) 作△A₁B₁C₁，使得△A₁B₁C₁与△ABC关于直线l对称(点A，B，C的对应点分别为A₁，B₁，C₁)；
(2) 求△A₁B₁C₁的面积.
答案
2. 解：（1）如图，△A₁B₁C₁即为所求；
$（2）S_{△A₁B₁C₁}=3×4 - \frac{1}{2}×3×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×4×2$
=12 - 3 - 1 - 4
=4
解析
【分析】
1. 作轴对称图形思路：要得到△ABC关于直线l的对称图形△A₁B₁C₁，需先确定A、B、C三点关于直线l的对称点。由于直线l是竖直直线，可通过测量每个点到直线l的水平距离，在直线l另一侧取等距离的点，即为对应对称点，最后依次连接对称点即可。
2. 求面积思路：轴对称图形与原图形面积相等，因此可通过计算△ABC的面积得到△A₁B₁C₁的面积。采用割补法，将△ABC放入一个长为4、宽为3的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可算出△ABC的面积。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别过点A、B、C作直线l的垂线，确定每个点到直线l的水平距离；
② 在直线l的另一侧，取与原点点到直线l距离相等的位置，得到对称点A₁、B₁、C₁；
③ 依次连接A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 面积计算：
因为△A₁B₁C₁与△ABC关于直线l对称，所以$S_{△A₁B₁C₁}=S_{△ABC}$。
将△ABC置于长为4、宽为3的矩形中，矩形面积为$3×4=12$；
减去周围三个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×3×2=3$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×4×2=4$；
则$S_{△ABC}=12 - 3 - 1 - 4=4$，即$S_{△A₁B₁C₁}=4$。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求；
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
轴对称图形作图、割补法求面积
【点评】
本题重点考查轴对称图形的作图技巧和格点三角形面积的计算方法。作轴对称图形的核心是准确找到各顶点的对称点；割补法是计算格点图形面积的常用方法，通过将不规则图形转化为规则图形的面积差，能高效完成计算。
【难度系数】
0.7
1. 作轴对称图形思路：要得到△ABC关于直线l的对称图形△A₁B₁C₁，需先确定A、B、C三点关于直线l的对称点。由于直线l是竖直直线，可通过测量每个点到直线l的水平距离，在直线l另一侧取等距离的点，即为对应对称点，最后依次连接对称点即可。
2. 求面积思路：轴对称图形与原图形面积相等，因此可通过计算△ABC的面积得到△A₁B₁C₁的面积。采用割补法，将△ABC放入一个长为4、宽为3的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可算出△ABC的面积。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别过点A、B、C作直线l的垂线，确定每个点到直线l的水平距离；
② 在直线l的另一侧，取与原点点到直线l距离相等的位置，得到对称点A₁、B₁、C₁；
③ 依次连接A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 面积计算：
因为△A₁B₁C₁与△ABC关于直线l对称，所以$S_{△A₁B₁C₁}=S_{△ABC}$。
将△ABC置于长为4、宽为3的矩形中，矩形面积为$3×4=12$；
减去周围三个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×3×2=3$，$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×4×2=4$；
则$S_{△ABC}=12 - 3 - 1 - 4=4$，即$S_{△A₁B₁C₁}=4$。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求；
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
轴对称图形作图、割补法求面积
【点评】
本题重点考查轴对称图形的作图技巧和格点三角形面积的计算方法。作轴对称图形的核心是准确找到各顶点的对称点；割补法是计算格点图形面积的常用方法，通过将不规则图形转化为规则图形的面积差，能高效完成计算。
【难度系数】
0.7
3. 如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C，D，连接CD，交OA于M，交OB于N.
(1) 若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
(2) 若∠CPD=130°，求∠MPN的度数.
]
(1) 若CD的长为18厘米，求△PMN的周长；
(2) 若∠CPD=130°，求∠MPN的度数.
]答案
3. 答：（1）18 cm （2）80°
解：（1）因为点 P 关于 OA，OB 的对称点分别为 C、D，连接 CD，交 OA 于 M，交 OB 于 N，
所以 PM = CM，ND = NP，
所以$ C_{△PMN}=PN + PM + MN = CM + MN + ND = CD = 18 cm$；
（2）在△PCD 中
因为∠C + ∠CPD + ∠D = 180°，∠CPD = 130°
所以∠C + ∠D = 50°
因为点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 C、D，
所以∠C = ∠CPM，∠D = ∠DPN，
所以∠MPN = ∠CPD - ∠CPM - ∠DPN
=∠CPD - ∠C - ∠D
=∠CPD - （∠C + ∠D）
=80°
解析
【分析】
（1）要求△PMN的周长，已知CD的长度，根据轴对称的性质，点P关于OA、OB的对称点为C、D，可得PM=CM，PN=DN，那么△PMN的周长可转化为PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD，从而直接得出周长。
（2）要求∠MPN的度数，已知∠CPD=130°，先利用三角形内角和定理求出∠C+∠D的度数，再根据轴对称的性质，∠C=∠CPM，∠D=∠DPN，用∠CPD减去∠CPM与∠DPN的和，也就是减去∠C+∠D的和，即可求出∠MPN的度数。
【解析】
（1）因为点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线，所以PM = CM，ND = NP，
因此$ C_{△PMN}=PN + PM + MN = CM + MN + ND = CD = 18 \mathrm{ cm}$；
（2）在△PCD中，
因为三角形内角和为180°，即∠C + ∠CPD + ∠D = 180°，已知∠CPD = 130°，
所以∠C + ∠D = 180° - 130° = 50°，
又因为点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
所以∠C = ∠CPM，∠D = ∠DPN，
则∠MPN = ∠CPD - ∠CPM - ∠DPN
=∠CPD - (∠C + ∠D)
=130° - 50°
=80°
【答案】
（1）18 cm；（2）80°
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查轴对称的性质与三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是利用轴对称的性质实现线段和角度的等量转化，将所求的周长和角度转化为已知条件相关的量，难度适中，需要学生熟练掌握轴对称的基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
（1）要求△PMN的周长，已知CD的长度，根据轴对称的性质，点P关于OA、OB的对称点为C、D，可得PM=CM，PN=DN，那么△PMN的周长可转化为PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD，从而直接得出周长。
（2）要求∠MPN的度数，已知∠CPD=130°，先利用三角形内角和定理求出∠C+∠D的度数，再根据轴对称的性质，∠C=∠CPM，∠D=∠DPN，用∠CPD减去∠CPM与∠DPN的和，也就是减去∠C+∠D的和，即可求出∠MPN的度数。
【解析】
（1）因为点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，
根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线，所以PM = CM，ND = NP，
因此$ C_{△PMN}=PN + PM + MN = CM + MN + ND = CD = 18 \mathrm{ cm}$；
（2）在△PCD中，
因为三角形内角和为180°，即∠C + ∠CPD + ∠D = 180°，已知∠CPD = 130°，
所以∠C + ∠D = 180° - 130° = 50°，
又因为点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
所以∠C = ∠CPM，∠D = ∠DPN，
则∠MPN = ∠CPD - ∠CPM - ∠DPN
=∠CPD - (∠C + ∠D)
=130° - 50°
=80°
【答案】
（1）18 cm；（2）80°
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查轴对称的性质与三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是利用轴对称的性质实现线段和角度的等量转化，将所求的周长和角度转化为已知条件相关的量，难度适中，需要学生熟练掌握轴对称的基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
