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1. 下列各式中，与 $2-\sqrt{3}$ 的积为有理数的是 (
A.$2+\sqrt{3}$
B.$2-\sqrt{3}$
C.$-2+\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
A
)A.$2+\sqrt{3}$
B.$2-\sqrt{3}$
C.$-2+\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
1. A
2. 已知 $xy=\sqrt{2}$，$x-y=5\sqrt{2}-1$，则 $(x+1)(y-1)$ 的值是 (
A.$6\sqrt{2}$
B.$-4\sqrt{2}$
C.$6\sqrt{2}-1$
D.$6\sqrt{2}-2$
B
)A.$6\sqrt{2}$
B.$-4\sqrt{2}$
C.$6\sqrt{2}-1$
D.$6\sqrt{2}-2$
答案
2. B
3. 已知 $x=3+2\sqrt{2}$，$y=3-2\sqrt{2}$，则 $x^{2}y-xy^{2}=$
$4\sqrt{2}$
。答案
3. $4\sqrt{2}$.
4. 若 $m=2\sqrt{5}-2$，则 $m^{2}+4m+4$ 的值为
20
。答案
4. 20.
5. 计算：$\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=$
2
。答案
5. 2.
6. 计算：$(1-\sqrt{2})^{2025}×(1+\sqrt{2})^{2026}=$
$-\sqrt{2}-1$
。答案
6. $-\sqrt{2}-1$.
7. 若 $x=\sqrt{3}$，$y=\sqrt{2}$，试用只含 $x$，$y$ 的式子表示 $\sqrt{54}=$
$x^{3}y$
。答案
7. $x^{3}y$.
8. 计算：
（1）$(\sqrt{\frac{8}{27}}+2\sqrt{3})×\sqrt{3}$；
（2）$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}$；
（3）$(3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{27})÷2\sqrt{3}$；
（4）$(5\sqrt{3}-2\sqrt{5})^{2}$。
（1）$(\sqrt{\frac{8}{27}}+2\sqrt{3})×\sqrt{3}$；
（2）$\sqrt{48}÷\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{12}$；
（3）$(3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{27})÷2\sqrt{3}$；
（4）$(5\sqrt{3}-2\sqrt{5})^{2}$。
答案
8. (1) $\frac{2}{3}\sqrt{2}+6$；(2) $4-\sqrt{6}$；(3) $\frac{25}{6}$；(4) $95-20\sqrt{15}$.
9. 我国南宋时期的数学家秦九韶，在他的著作《数书九章》，曾提出利用三角形的三边求面积的公式。若一个三角形的三边长分别为 $a=\sqrt{2}$，$b=2$，$c=\sqrt{5}$，利用秦九韶公式 $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^{2}b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}]}$，求这个三角形的面积。
答案
9. 解：$\because$三角形的三边长分别为$\sqrt{2}$，2，$\sqrt{5}$，$\therefore S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^{2}b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}]}=\sqrt{\frac{1}{4}[2×4-(\frac{2+4-5}{2})^{2}]}=\frac{\sqrt{31}}{4}$.
已知 $a=\sqrt{2}+1$，求 $a^{3}-a^{2}-3a+2026$ 的值。
答案
解：$\because a=\sqrt{2}+1$，$\therefore (a-1)^{2}=(\sqrt{2})^{2}$，即$a^{2}=2a+1$，$\therefore$原式$=a(2a+1)-(2a+1)-3a+2026=2a^{2}-4a+2025=2(2a+1)-4a+2025=2027$.
