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2. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ A = ∠ B = 90^{\circ} $，$ AD = 3 $，$ AB = 7 $，$ BC = 2 $，点 $ P $ 在 $ AB $ 上，$ △ BPC $ 与 $ △ APD $ 相似。试确定点 $ P $ 的位置。
答案
解：①若△BPC∽△APD，则$\frac {BP}{BC}=\frac {AP}{AD}$
即$\frac {BP}2=\frac {7-BP}{3}$
∴BP=2.8
②若△BPC∽△ADP，则$\frac {BP}{BC}=\frac {AD}{AP}$
即$\frac {BP}{2}=\frac 3{7-BP}$
∴BP=1或BP=6
即$\frac {BP}2=\frac {7-BP}{3}$
∴BP=2.8
②若△BPC∽△ADP，则$\frac {BP}{BC}=\frac {AD}{AP}$
即$\frac {BP}{2}=\frac 3{7-BP}$
∴BP=1或BP=6
解析
【解析】
设$BP = x$，则$AP = AB - BP = 7 - x$。
因为$∠ A = ∠ B = 90^{\circ}$，$△ BPC$与$△ APD$相似，分两种情况讨论：
① 当$△ BPC ∽ △ APD$时，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BP}{BC}=\frac{AP}{AD}$，
代入数据：$\frac{x}{2}=\frac{7 - x}{3}$，
交叉相乘求解：$3x = 2(7 - x)$，
$3x = 14 - 2x$，
$5x = 14$，
解得$x = 2.8$，即$BP = 2.8$；
② 当$△ BPC ∽ △ ADP$时，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BP}{BC}=\frac{AD}{AP}$，
代入数据：$\frac{x}{2}=\frac{3}{7 - x}$，
交叉相乘整理：$x(7 - x) = 6$，即$x^2 - 7x + 6 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 6) = 0$，
解得$x = 1$或$x = 6$，即$BP = 1$或$BP = 6$。
【答案】
点P在AB上，到点B的距离为2.8，或1，或6（即到点A的距离为4.2，或6，或1）。
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想，方程的解法
【点评】
本题需根据相似三角形对应顶点的不确定性分类讨论，避免漏解，解题关键是利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，考查了对相似三角形性质的灵活运用能力。
设$BP = x$，则$AP = AB - BP = 7 - x$。
因为$∠ A = ∠ B = 90^{\circ}$，$△ BPC$与$△ APD$相似，分两种情况讨论：
① 当$△ BPC ∽ △ APD$时，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BP}{BC}=\frac{AP}{AD}$，
代入数据：$\frac{x}{2}=\frac{7 - x}{3}$，
交叉相乘求解：$3x = 2(7 - x)$，
$3x = 14 - 2x$，
$5x = 14$，
解得$x = 2.8$，即$BP = 2.8$；
② 当$△ BPC ∽ △ ADP$时，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BP}{BC}=\frac{AD}{AP}$，
代入数据：$\frac{x}{2}=\frac{3}{7 - x}$，
交叉相乘整理：$x(7 - x) = 6$，即$x^2 - 7x + 6 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 6) = 0$，
解得$x = 1$或$x = 6$，即$BP = 1$或$BP = 6$。
【答案】
点P在AB上，到点B的距离为2.8，或1，或6（即到点A的距离为4.2，或6，或1）。
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想，方程的解法
【点评】
本题需根据相似三角形对应顶点的不确定性分类讨论，避免漏解，解题关键是利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，考查了对相似三角形性质的灵活运用能力。
3. 一个二次函数的图像的对称轴是过点 $ (4, 0) $ 且与 $ y $ 轴平行的直线，它与 $ x $ 轴两个交点的横坐标、与 $ y $ 轴交点的纵坐标都是整数，且以坐标轴上三个交点为顶点的三角形面积为 $ 3 $。试写出这个二次函数的表达式。
答案
解：由三角形面积为3，得底边长与高的乘积为6
又三个点的坐标都是整数，对称轴过(4，0)
∴底边长是2，高是3或者底边长是6，高是1
即抛物线过点(3，0)、(5，0)、(0，±3)
或过点(1，0)、(7，0)、(0，±1)
①若抛物线过点(3，0)、(5，0)、(0，±3)
设$y=a(x-3)(x-5)=ax^2-8ax+15a$
∴15a=±3，$a=±\frac 15$
∴$y=\frac 15x^2-\frac 85x+3$或$y=-\frac 15x^2+\frac 85x-3$
②若抛物线过点(1，0)、(7，0)、(0，±1)
设$y=b(x-1)(x-7)=bx^2-8bx+7b$
∴7b=±1，$b=±\frac 17$
∴$y=\frac 17x^2-\frac 87x+1$或$y=-\frac 17x^2+\frac 87x-1$
又三个点的坐标都是整数，对称轴过(4，0)
∴底边长是2，高是3或者底边长是6，高是1
即抛物线过点(3，0)、(5，0)、(0，±3)
或过点(1，0)、(7，0)、(0，±1)
①若抛物线过点(3，0)、(5，0)、(0，±3)
设$y=a(x-3)(x-5)=ax^2-8ax+15a$
∴15a=±3，$a=±\frac 15$
∴$y=\frac 15x^2-\frac 85x+3$或$y=-\frac 15x^2+\frac 85x-3$
②若抛物线过点(1，0)、(7，0)、(0，±1)
设$y=b(x-1)(x-7)=bx^2-8bx+7b$
∴7b=±1，$b=±\frac 17$
∴$y=\frac 17x^2-\frac 87x+1$或$y=-\frac 17x^2+\frac 87x-1$
解析
【解析】
已知二次函数图像对称轴是过点$(4,0)$且与$y$轴平行的直线，即对称轴为直线$x=4$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，由三角形面积为3，可得底边长与高的乘积为6。
结合三个交点坐标均为整数及对称轴$x=4$，分析得两种情况：
1. 底边长为2，高为3：抛物线与$x$轴交点为$(3,0)$、$(5,0)$，与$y$轴交点为$(0,\pm3)$；
2. 底边长为6，高为1：抛物线与$x$轴交点为$(1,0)$、$(7,0)$，与$y$轴交点为$(0,\pm1)$。
分情况求解析式：
① 当抛物线过$(3,0)$、$(5,0)$、$(0,\pm3)$时，设交点式$y=a(x-3)(x-5)=ax^2-8ax+15a$，将$(0,\pm3)$代入得$15a=\pm3$，解得$a=\pm\frac{1}{5}$，因此解析式为$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$或$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$；
② 当抛物线过$(1,0)$、$(7,0)$、$(0,\pm1)$时，设交点式$y=b(x-1)(x-7)=bx^2-8bx+7b$，将$(0,\pm1)$代入得$7b=\pm1$，解得$b=\pm\frac{1}{7}$，因此解析式为$y=\frac{1}{7}x^2-\frac{8}{7}x+1$或$y=-\frac{1}{7}x^2+\frac{8}{7}x-1$。
【答案】
$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$、$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$、$y=\frac{1}{7}x^2-\frac{8}{7}x+1$、$y=-\frac{1}{7}x^2+\frac{8}{7}x-1$
【知识点】
二次函数对称轴、二次函数交点式、三角形面积公式
【点评】
本题需结合二次函数对称轴性质、整数条件分析交点坐标，利用交点式求解二次函数解析式，考察对二次函数性质的综合运用能力，解题关键是根据面积和整数条件确定交点的可能坐标。
已知二次函数图像对称轴是过点$(4,0)$且与$y$轴平行的直线，即对称轴为直线$x=4$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，由三角形面积为3，可得底边长与高的乘积为6。
结合三个交点坐标均为整数及对称轴$x=4$，分析得两种情况：
1. 底边长为2，高为3：抛物线与$x$轴交点为$(3,0)$、$(5,0)$，与$y$轴交点为$(0,\pm3)$；
2. 底边长为6，高为1：抛物线与$x$轴交点为$(1,0)$、$(7,0)$，与$y$轴交点为$(0,\pm1)$。
分情况求解析式：
① 当抛物线过$(3,0)$、$(5,0)$、$(0,\pm3)$时，设交点式$y=a(x-3)(x-5)=ax^2-8ax+15a$，将$(0,\pm3)$代入得$15a=\pm3$，解得$a=\pm\frac{1}{5}$，因此解析式为$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$或$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$；
② 当抛物线过$(1,0)$、$(7,0)$、$(0,\pm1)$时，设交点式$y=b(x-1)(x-7)=bx^2-8bx+7b$，将$(0,\pm1)$代入得$7b=\pm1$，解得$b=\pm\frac{1}{7}$，因此解析式为$y=\frac{1}{7}x^2-\frac{8}{7}x+1$或$y=-\frac{1}{7}x^2+\frac{8}{7}x-1$。
【答案】
$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$、$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$、$y=\frac{1}{7}x^2-\frac{8}{7}x+1$、$y=-\frac{1}{7}x^2+\frac{8}{7}x-1$
【知识点】
二次函数对称轴、二次函数交点式、三角形面积公式
【点评】
本题需结合二次函数对称轴性质、整数条件分析交点坐标，利用交点式求解二次函数解析式，考察对二次函数性质的综合运用能力，解题关键是根据面积和整数条件确定交点的可能坐标。
