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4. 如图，已知平面直角坐标系中有点 $ A(-2, 0) $、$ B(4, 0) $，点 $ P $ 在一次函数 $ y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2} $ 的图像上，且 $ △ ABP $ 是直角三角形。求点 $ P $ 的坐标。
答案
解：(1)若∠PAB=90°
则P 点的横坐标为-2，代入$y=\frac {1} {2}x+\frac {5} {2}$
解得：$y=\frac {3} {2}$，则P(-2，$\frac {3} {2})$
(2)若∠PBA=90°
则P 点的横坐标为4，代入$y=\frac {1} {2}x+\frac {5} {2}$
解得：$y=\frac {9} {2}$，则P(4，$\frac {9} {2})$
(3)若∠APB=90°，则设P(x，$\frac 12x+\frac {5}{2})$
在直角三角形中$PA^2+PB^2=AB^2$
∴$(x+2)^2+(\frac x{2}+\frac 52)^2+(x-4)^2+(\frac x{2}+\frac 52)^2=6^2$
$x_{1}= 1 $，$x_{2}=-\frac {7}{5}$
∴P(1，3)或$P(-\frac {7}{5}$，$\frac {9}{5})$
综上所述点P 的坐标为：(-2，$\frac {3} {2})$，(4，$\frac 92)$，(1，3)，$(-\frac {7}{5}$，$\frac {9}{5})$
则P 点的横坐标为-2，代入$y=\frac {1} {2}x+\frac {5} {2}$
解得：$y=\frac {3} {2}$，则P(-2，$\frac {3} {2})$
(2)若∠PBA=90°
则P 点的横坐标为4，代入$y=\frac {1} {2}x+\frac {5} {2}$
解得：$y=\frac {9} {2}$，则P(4，$\frac {9} {2})$
(3)若∠APB=90°，则设P(x，$\frac 12x+\frac {5}{2})$
在直角三角形中$PA^2+PB^2=AB^2$
∴$(x+2)^2+(\frac x{2}+\frac 52)^2+(x-4)^2+(\frac x{2}+\frac 52)^2=6^2$
$x_{1}= 1 $，$x_{2}=-\frac {7}{5}$
∴P(1，3)或$P(-\frac {7}{5}$，$\frac {9}{5})$
综上所述点P 的坐标为：(-2，$\frac {3} {2})$，(4，$\frac 92)$，(1，3)，$(-\frac {7}{5}$，$\frac {9}{5})$
解析
【解析】
分三种情况讨论：
1. 若$\boldsymbol{∠ PAB=90°}$：
此时$P$点横坐标为$-2$，将$x=-2$代入$y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$，
解得$y=\dfrac{3}{2}$，则$P(-2,\dfrac{3}{2})$。
2. 若$\boldsymbol{∠ PBA=90°}$：
此时$P$点横坐标为$4$，将$x=4$代入$y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$，
解得$y=\dfrac{9}{2}$，则$P(4,\dfrac{9}{2})$。
3. 若$\boldsymbol{∠ APB=90°}$：
设$P(x,\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2})$，已知$AB=4-(-2)=6$，根据勾股定理$PA^2+PB^2=AB^2$，可得：
$(x+2)^2+(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2})^2+(x-4)^2+(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2})^2=6^2$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\dfrac{7}{5}$。
当$x=1$时，$y=\dfrac{1}{2}×1+\dfrac{5}{2}=3$，即$P(1,3)$；
当$x=-\dfrac{7}{5}$时，$y=\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{7}{5})+\dfrac{5}{2}=\dfrac{9}{5}$，即$P(-\dfrac{7}{5},\dfrac{9}{5})$。
【答案】
点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-2,\dfrac{3}{2})}$、$\boldsymbol{(4,\dfrac{9}{2})}$、$\boldsymbol{(1,3)}$、$\boldsymbol{(-\dfrac{7}{5},\dfrac{9}{5})}$
【知识点】
1. 一次函数坐标特征
2. 勾股定理
3. 直角三角形分类讨论
【点评】
本题需分三种情况讨论直角三角形的直角顶点，结合一次函数图像上点的坐标特征与勾股定理求解，注意分类全面，避免漏解。
分三种情况讨论：
1. 若$\boldsymbol{∠ PAB=90°}$：
此时$P$点横坐标为$-2$，将$x=-2$代入$y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$，
解得$y=\dfrac{3}{2}$，则$P(-2,\dfrac{3}{2})$。
2. 若$\boldsymbol{∠ PBA=90°}$：
此时$P$点横坐标为$4$，将$x=4$代入$y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}$，
解得$y=\dfrac{9}{2}$，则$P(4,\dfrac{9}{2})$。
3. 若$\boldsymbol{∠ APB=90°}$：
设$P(x,\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2})$，已知$AB=4-(-2)=6$，根据勾股定理$PA^2+PB^2=AB^2$，可得：
$(x+2)^2+(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2})^2+(x-4)^2+(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2})^2=6^2$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\dfrac{7}{5}$。
当$x=1$时，$y=\dfrac{1}{2}×1+\dfrac{5}{2}=3$，即$P(1,3)$；
当$x=-\dfrac{7}{5}$时，$y=\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{7}{5})+\dfrac{5}{2}=\dfrac{9}{5}$，即$P(-\dfrac{7}{5},\dfrac{9}{5})$。
【答案】
点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-2,\dfrac{3}{2})}$、$\boldsymbol{(4,\dfrac{9}{2})}$、$\boldsymbol{(1,3)}$、$\boldsymbol{(-\dfrac{7}{5},\dfrac{9}{5})}$
【知识点】
1. 一次函数坐标特征
2. 勾股定理
3. 直角三角形分类讨论
【点评】
本题需分三种情况讨论直角三角形的直角顶点，结合一次函数图像上点的坐标特征与勾股定理求解，注意分类全面，避免漏解。
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $ A(4, 0) $、$ B(0, 3) $，若有一个直角三角形与 $ \mathrm{Rt} △ AOB $ 全等，且它们有一条公共边。请写出这个直角三角形未知顶点的坐标。
答案
解：①以OA为公共边
$B_{1}(0$，-3)、$B_{2}(4$，-3)、$B_{3}(4$，3)
②以OB为公共边
$A_{1}(-4$，0)、$A_{2}(-4$，3)、$A_{3}(4$，3)
③以AB为公共边
设未知顶点坐标为C(m，n)
∵∠BCA=90°
∴点C到线段AB的中点(2，$\frac 32)$的距离为$\frac 12AB=\frac 52$
∴$(m-2)^2+(n-\frac 32)^2=(\frac 52)^2$
化简得$\mathrm {m^2}+n^2=4m+3n①$
当BC=4，AC=3时
$\begin {cases}{(m-0)^2+(n-3)^2=4^2}\\{(m-4)^2+(n-0)^2=3^2}\end {cases}$
化简之后得4m-3n=7，∴$n=\frac {4m-7}3$
将$n=\frac {4m-7}3$代入①解方程得$m_{1}=4$，$m_{2}=\frac {28}{25}$
∴C(4，3)或$C(\frac {28}{25}$，$-\frac {21}{25})$
当BC=3，AC=4时
$\begin {cases}{(m-0)^2+(n-3)^2=3^2}\\{(m-4)^2+(n-0)^2=4^2}\end {cases}$
化简之后得6n=8m，$n=\frac 43m$
将$n=\frac 43m_{代入}①$解方程得$m_{3}=0$，$m_{4}=\frac {72}{25}$
当$m_{3}=0$时，点C与点O重合，故舍去
∴$C(\frac {72}{25}$，$\frac {96}{25})$
综上所述，这个直角三角形的未知顶点坐标
为(0，-3)、(4，-3)、(4，3)、
(-4，0)、(-4，3)、$(\frac {28}{25}$，$-\frac {21}{25})$、$(\frac {72}{25}$，$\frac {96}{25})$
$B_{1}(0$，-3)、$B_{2}(4$，-3)、$B_{3}(4$，3)
②以OB为公共边
$A_{1}(-4$，0)、$A_{2}(-4$，3)、$A_{3}(4$，3)
③以AB为公共边
设未知顶点坐标为C(m，n)
∵∠BCA=90°
∴点C到线段AB的中点(2，$\frac 32)$的距离为$\frac 12AB=\frac 52$
∴$(m-2)^2+(n-\frac 32)^2=(\frac 52)^2$
化简得$\mathrm {m^2}+n^2=4m+3n①$
当BC=4，AC=3时
$\begin {cases}{(m-0)^2+(n-3)^2=4^2}\\{(m-4)^2+(n-0)^2=3^2}\end {cases}$
化简之后得4m-3n=7，∴$n=\frac {4m-7}3$
将$n=\frac {4m-7}3$代入①解方程得$m_{1}=4$，$m_{2}=\frac {28}{25}$
∴C(4，3)或$C(\frac {28}{25}$，$-\frac {21}{25})$
当BC=3，AC=4时
$\begin {cases}{(m-0)^2+(n-3)^2=3^2}\\{(m-4)^2+(n-0)^2=4^2}\end {cases}$
化简之后得6n=8m，$n=\frac 43m$
将$n=\frac 43m_{代入}①$解方程得$m_{3}=0$，$m_{4}=\frac {72}{25}$
当$m_{3}=0$时，点C与点O重合，故舍去
∴$C(\frac {72}{25}$，$\frac {96}{25})$
综上所述，这个直角三角形的未知顶点坐标
为(0，-3)、(4，-3)、(4，3)、
(-4，0)、(-4，3)、$(\frac {28}{25}$，$-\frac {21}{25})$、$(\frac {72}{25}$，$\frac {96}{25})$
解析
【解析】
分三种情况，以不同边为公共边讨论与$\mathrm {Rt} △ AOB$全等的直角三角形的未知顶点坐标：
1. 以OA为公共边：
可得未知顶点坐标为$B_{1}(0,-3)$、$B_{2}(4,-3)$、$B_{3}(4,3)$；
2. 以OB为公共边：
可得未知顶点坐标为$A_{1}(-4,0)$、$A_{2}(-4,3)$、$A_{3}(4,3)$；
3. 以AB为公共边：
设未知顶点为$C(m,n)$，因$∠ BCA=90°$，根据直角三角形斜边中线性质，点$C$到$AB$中点$(2,\frac{3}{2})$的距离为$\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，列方程$(m-2)^2+(n-\frac{3}{2})^2=(\frac{5}{2})^2$，化简得$m^2+n^2=4m+3n$。
当$BC=4$，$AC=3$时，列方程组$\begin{cases}(m-0)^2+(n-3)^2=4^2\\(m-4)^2+(n-0)^2=3^2\end{cases}$，化简得$4m-3n=7$，即$n=\frac{4m-7}{3}$，代入方程解得$m_1=4$，$m_2=\frac{28}{25}$，对应坐标为$C(4,3)$、$C(\frac{28}{25},-\frac{21}{25})$；
当$BC=3$，$AC=4$时，列方程组$\begin{cases}(m-0)^2+(n-3)^2=3^2\\(m-4)^2+(n-0)^2=4^2\end{cases}$，化简得$n=\frac{4}{3}m$，代入方程解得$m_3=0$（与$O$点重合，舍去），$m_4=\frac{72}{25}$，对应坐标为$C(\frac{72}{25},\frac{96}{25})$。
【答案】
$(0,-3)$、$(4,-3)$、$(4,3)$、$(-4,0)$、$(-4,3)$、$(\frac{28}{25},-\frac{21}{25})$、$(\frac{72}{25},\frac{96}{25})$
【知识点】
全等三角形的性质、平面直角坐标系坐标特征、直角三角形性质
【点评】
本题需通过分类讨论，分别以三条边为公共边寻找符合条件的点，解题时要注意排除重合的点，分类讨论是解决多解问题的关键，同时要熟练运用平面直角坐标系特征与全等三角形性质求解坐标。
分三种情况，以不同边为公共边讨论与$\mathrm {Rt} △ AOB$全等的直角三角形的未知顶点坐标：
1. 以OA为公共边：
可得未知顶点坐标为$B_{1}(0,-3)$、$B_{2}(4,-3)$、$B_{3}(4,3)$；
2. 以OB为公共边：
可得未知顶点坐标为$A_{1}(-4,0)$、$A_{2}(-4,3)$、$A_{3}(4,3)$；
3. 以AB为公共边：
设未知顶点为$C(m,n)$，因$∠ BCA=90°$，根据直角三角形斜边中线性质，点$C$到$AB$中点$(2,\frac{3}{2})$的距离为$\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，列方程$(m-2)^2+(n-\frac{3}{2})^2=(\frac{5}{2})^2$，化简得$m^2+n^2=4m+3n$。
当$BC=4$，$AC=3$时，列方程组$\begin{cases}(m-0)^2+(n-3)^2=4^2\\(m-4)^2+(n-0)^2=3^2\end{cases}$，化简得$4m-3n=7$，即$n=\frac{4m-7}{3}$，代入方程解得$m_1=4$，$m_2=\frac{28}{25}$，对应坐标为$C(4,3)$、$C(\frac{28}{25},-\frac{21}{25})$；
当$BC=3$，$AC=4$时，列方程组$\begin{cases}(m-0)^2+(n-3)^2=3^2\\(m-4)^2+(n-0)^2=4^2\end{cases}$，化简得$n=\frac{4}{3}m$，代入方程解得$m_3=0$（与$O$点重合，舍去），$m_4=\frac{72}{25}$，对应坐标为$C(\frac{72}{25},\frac{96}{25})$。
【答案】
$(0,-3)$、$(4,-3)$、$(4,3)$、$(-4,0)$、$(-4,3)$、$(\frac{28}{25},-\frac{21}{25})$、$(\frac{72}{25},\frac{96}{25})$
【知识点】
全等三角形的性质、平面直角坐标系坐标特征、直角三角形性质
【点评】
本题需通过分类讨论，分别以三条边为公共边寻找符合条件的点，解题时要注意排除重合的点，分类讨论是解决多解问题的关键，同时要熟练运用平面直角坐标系特征与全等三角形性质求解坐标。
