1. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ AC = BC $，直线 $ MN $ 经过点 $ C $，且 $ AD ⊥ MN $，$ BE ⊥ MN $，垂足分别为 $ D $、$ E $。若直线 $ MN $ 绕点 $ C $ 旋转，$ DE $、$ AD $、$ BE $ 之间有没有等量关系？如具有等量关系，请你写出等量关系，并加以证明。

解:​DE=AD+ BE ​
证明：∵​∠ACB=90°​
∴​∠DCA=90°-∠ECB=∠CBE​
又​AC=BC，​​∠ADC=∠CEB=90°​
∴​△ADC≌△CEB​
∴​AD=CE，​​CD= BE​
∴​DE=CD+CE=AD+BE​

【解析】
存在等量关系$DE=AD+BE$，证明如下：
∵$∠ ACB = 90^{\circ}$，
∴$∠ DCA + ∠ ECB = 90^{\circ}$。
∵$AD ⊥ MN$，$BE ⊥ MN$，
∴$∠ ADC = ∠ CEB = 90^{\circ}$，
∴$∠ CBE + ∠ ECB = 90^{\circ}$，根据同角的余角相等，可得$∠ DCA = ∠ CBE$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC = ∠ CEB \\∠ DCA = ∠ CBE \\AC = BC\end{cases}$
∴$△ ADC ≌ △ CEB$（AAS）。
由全等三角形的性质得：$AD = CE$，$CD = BE$。
∵$DE = CD + CE$，
∴$DE = AD + BE$。
【答案】
$DE = AD + BE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；同角的余角相等
【点评】
本题考查了旋转背景下的线段等量关系探究，核心是通过证明三角形全等实现线段的转化，需要熟练运用全等三角形的判定与性质，以及余角的相关性质来推导角度和线段关系。