4. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，BF 平分 $∠ ABC$，$∠ AEF = ∠ AFE$，延长 AE，与 BC 交于点 D。
(1) 求证：$AD⊥ BC$；(请用一对互逆定理进行证明)
(2) 写出你所用到的这对互逆定理。

(1) 证明：
∵ BF平分∠ABC，设∠ABF=∠CBF=α，则∠ABC=2α。
∵ Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴ ∠ABC+∠C=90°（直角三角形两锐角互余），
∴ ∠C=90°-2α。
∵ ∠AEF=∠AFE，且∠AFE=∠AFB（E在BF上），
在△ABF中，∠AFB=180°-∠BAC-∠ABF=180°-90°-α=90°-α，
∴ ∠AEF=∠AFB=90°-α。
在△AEF中，∠EAF=180°-∠AEF-∠AFE=180°-2(90°-α)=2α，即∠CAD=2α。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-2α。
在△ABD中，∠ABD=2α，∠BAD=90°-2α，
∴ ∠BAD+∠ABD=90°，
∴ △ABD是直角三角形，∠ADB=90°（有两个角互余的三角形是直角三角形），
∴ AD⊥BC。
(2) 直角三角形两锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。

5. 如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C 是小正方形的顶点，则 $∠ ABC$ 的度数为。

设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，设点A(0,2)，B(2,1)，C(3,3)。
1. 计算AB²：由勾股定理，AB²=(2-0)²+(1-2)²=2²+(-1)²=4+1=5，故AB=√5。
2. 计算BC²：BC²=(3-2)²+(3-1)²=1²+2²=1+4=5，故BC=√5。
3. 计算AC²：AC²=(3-0)²+(3-2)²=3²+1²=9+1=10，故AC=√10。
因为AB²+BC²=5+5=10=AC²，所以△ABC是直角三角形，且AB=BC，因此△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°。
45°

6. 如图，在长方形 ABCD 中，$AB = 3\ cm$，$AD = 9\ cm$，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，则 AE 的长为cm，BF 的长为cm。

设AE的长为$x\ \mathrm{cm}$，则$ED=AD - AE=(9 - x)\ \mathrm{cm}$。
折叠后点D与点B重合，故$EB=ED=(9 - x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=3\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = EB^2$，即$3^2 + x^2=(9 - x)^2$。
解得$x=4$，故$AE=4\ \mathrm{cm}$。
设$BF=y\ \mathrm{cm}$，折叠后$FD=BF=y\ \mathrm{cm}$。
在长方形$ABCD$中，$BC=AD=9\ \mathrm{cm}$，则$FC=BC - BF=(9 - y)\ \mathrm{cm}$。
$CD=AB=3\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ FCD$中，由勾股定理得：
$FC^2 + CD^2 = FD^2$，即$(9 - y)^2 + 3^2 = y^2$。
解得$y=5$，故$BF=5\ \mathrm{cm}$。
4；5