7. 【综合与实践】
| 项目背景 | 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣 |
| --- | --- |
| 素材一 | 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个形状好似一棵树的图形，被称为毕达哥拉斯树 |
| 素材二 | 经过小组讨论，制订了如下规则：1. 画出不同类型三角形成的树形图；2. 所画的基础三角形的周长为 8 cm，其中一条边长固定为 2 cm |
| 素材三 | 根据规则，三名学生分别画出了不同类型的树形图并进行探究

|
| 解决问题 | |
| 任务一 | 小明画出了锐角三角形 ABC(如类型①)，$AB = AC$，$BC = 2$，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}=$ |
| 任务二 | 小金画出了 $Rt△ DEF$ (如类型②)，$∠ DFE = 90^{\circ}$，$EF = 2$，计算 $S_{2}+S_{3}$ 的值，并写出过程 |
| 任务三 | 小山画出了钝角三角形 GHI(如类型③)，$∠ GIH = 120^{\circ}$，$HI = 2$，则 $S_{2}+S_{3}=$ |
| 项目总结 | 综合以上三名学生的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：在三角形的周长一定，且一条边的长度固定的情况下，由三角形形成的总面积($S_{3}+S_{2}+S_{1}$)最大(填“锐角”“直角”或“钝角”) |

任务一
$AB=AC$，$BC=2$，周长为8，故$AB=AC=\frac{8-2}{2}=3$。
$S_1$为$BC$边上正方形面积，$S_2$为$AB$（或$AC$）边上正方形面积，
则$S_1=BC^2=2^2=4$，$S_2=AB^2=3^2=9$，
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{4}{9}$。
任务二
设$DF=x$，$DE=y$，$∠ DFE=90°$，$EF=2$，周长为8，
则$x+2+y=8⇒ x+y=6$。
由勾股定理：$x^2+2^2=y^2$，即$x^2+4=(6-x)^2$，
解得$x=\frac{8}{3}$，$y=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$。
$S_2=DF^2=(\frac{8}{3})^2=\frac{64}{9}$，$S_3=DE^2=(\frac{10}{3})^2=\frac{100}{9}$，
$S_2+S_3=\frac{64}{9}+\frac{100}{9}=\frac{164}{9}$。
任务三
设$GI=a$，$GH=b$，$∠ GIH=120°$，$HI=2$，周长为8，
则$a+b+2=8⇒ a+b=6$。
由余弦定理：$b^2=a^2+2^2-2· a·2·\cos120°$，
$\cos120°=-\frac{1}{2}$，故$b^2=a^2+4+2a$。
又$b=6-a$，代入得$(6-a)^2=a^2+4+2a$，解得$a=\frac{16}{7}$，$b=\frac{26}{7}$。
$S_2+S_3=a^2+b^2=(\frac{16}{7})^2+(\frac{26}{7})^2=\frac{256+676}{49}=\frac{932}{49}$。
项目总结
钝角