5. 甲超市进行苹果优惠促销活动,苹果的标价为$10$元/$\mathrm{kg}$,如果一次购买$4\ \mathrm{kg}$以上的苹果,超过$4\ \mathrm{kg}$的部分按标价的$6$折售卖.$x(\mathrm{kg})$表示购买苹果的质量,$y$(元)表示付款金额.
(1)在甲超市购买$3.5\ \mathrm{kg}$苹果需付款元,购买$6\ \mathrm{kg}$苹果需付款元;
(2)求在甲超市购买苹果的付款金额$y_{\mathrm{甲}}$关于购买质量$x$的函数解析式;
(3)乙超市也在进行苹果优惠促销活动,同样的苹果标价为$8$元/$\mathrm{kg}$,文文要购买$m\ \mathrm{kg}$苹果,她发现在乙超市比在甲超市购买更划算,求$m$的取值范围.

(1)
对于购买$3.5\mathrm{kg}$苹果，因为$3.5＜4$，所以需付款$3.5×10 = 35$元；
对于购买$6\mathrm{kg}$苹果，$4×10+(6 - 4)×10×0.6=40 + 12 = 52$元。
故答案为：$35$；$52$。
(2)
当$0≤ x≤4$时，$y_{甲}=10x$；
当$x＞4$时，$y_{甲}=4×10+(x - 4)×10×0.6=6x + 16$。
所以$y_{甲}=\begin{cases}10x(0≤ x≤4),\\6x + 16(x＞4).\end{cases}$
(3)
当$0＜ m≤4$时，乙超市付款$8m$元，甲超市付款$10m$元，
由$8m＜10m$，解得$m＞0$，所以$0＜ m≤4$时此情况成立；
当$m＞4$时，乙超市付款$8m$元，甲超市付款$(6m + 16)$元，
由$8m＜6m + 16$，
移项可得$8m-6m＜16$，
即$2m＜16$，
解得$m＜8$，
所以$4＜ m＜8$时此情况成立。
综上，$m$的取值范围是$0＜ m＜8$（一般购买质量$m＞0$），又因为$m$为购买苹果质量，通常$m＞0$，所以$m$的取值范围是$0＜ m＜8$ ，实际意义中$m＞0$，可写成$m\in(0,8)$（本题一般写$0＜ m＜8$）。

做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的。在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数。
思考 当实际问题中有多个方案时，可借助什么解决问题？

一次函数（或函数）

当实际问题中有多个方案时，可以从数学角度对不同方案进行分析比较，涉及变量的问题常用函数来建立模型，通过比较不同方案对应的函数关系，如一次函数可以利用斜率和截距的变化情况或者结合图象来比较方案优劣，从而选择最佳方案，可借助一次函数解决问题。

填空 如图，某校准备周末组织师生参观湖光岩，现有甲、乙两家旅行社的收费 $ y_{\mathrm{甲}} $，$ y_{\mathrm{乙}} $ 与 $ x $($ x $ 为参观人数)的函数关系如图所示，根据图象信息，回答下列问题：

(1) 当 $ x $ 满足时，两家旅行社收费相同；
(2) 当 $ x $ 满足时，选择甲旅行社较便宜。

（1）$x = 30$；（2）$x ＞ 30$

（1）由图象可知，两直线交点的横坐标为30，此时两家旅行社收费相同，故当$x = 30$时，两家旅行社收费相同；
（2）观察图象，当$x ＞ 30$时，甲旅行社的函数图象在乙旅行社下方，即甲收费更低，故当$x ＞ 30$时，选择甲旅行社较便宜。

探究 利用函数图象求函数解析式并解决实际问题
例 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为 $ x $（次）时所需费用为 $ y $（元），选择这两种卡消费时，$ y $ 与 $ x $ 的函数关系如图所示，解答下列问题：

(1) 分别求出选择这两种卡消费时，$ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式；
(2) 请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算。

(1)设甲卡的函数表达式为$y_{甲}=k_{1}x$，乙卡的函数表达式为$y_{乙}=k_{2}x+b$。
由图可知，甲卡过点$(5,100)$，代入$y_{甲}=k_{1}x$得：$100=5k_{1}$，解得$k_{1}=20$，故$y_{甲}=20x$。
乙卡过点$(0,100)$和$(20,300)$，将$(0,100)$代入$y_{乙}=k_{2}x+b$得$b=100$；将$(20,300)$代入得$300=20k_{2}+100$，解得$k_{2}=10$，故$y_{乙}=10x+100$。
(2)令$20x=10x+100$，解得$x=10$。
当$x＜10$时，$20x＜10x+100$，选择甲卡合算；
当$x=10$时，$20x=10x+100$，两种卡费用相同；
当$x＞10$时，$20x＞10x+100$，选择乙卡合算。
综上：入园次数小于10次选甲卡，等于10次两种卡均可，大于10次选乙卡。