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只有
被开方数相同
的最简二次根式才能合并，在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立
.答案
被开方数相同 成立
解析
【解析】
根据最简二次根式的合并规则，只有被开方数相同的最简二次根式才能合并；有理数范围内的运算律，在实数范围内仍然成立。
【答案】
被开方数相同；成立
【知识点】
最简二次根式合并条件、实数运算律
【点评】
本题为基础概念题，考查二次根式与实数的核心基础知识点，需准确识记相关结论，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
根据最简二次根式的合并规则，只有被开方数相同的最简二次根式才能合并；有理数范围内的运算律，在实数范围内仍然成立。
【答案】
被开方数相同；成立
【知识点】
最简二次根式合并条件、实数运算律
【点评】
本题为基础概念题，考查二次根式与实数的核心基础知识点，需准确识记相关结论，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
2. 二次根式的加减法则
答案
被开方数相同
解析
【解析】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式部分不变，其核心是只有被开方数相同的最简二次根式才能进行加减合并。
【答案】
被开方数相同
【知识点】
二次根式加减法则
【点评】
本题考查二次根式加减法则的核心要点，明确被开方数相同是最简二次根式能够合并的关键，属于基础必备知识点。
【难度系数】
0.8
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式部分不变，其核心是只有被开方数相同的最简二次根式才能进行加减合并。
【答案】
被开方数相同
【知识点】
二次根式加减法则
【点评】
本题考查二次根式加减法则的核心要点，明确被开方数相同是最简二次根式能够合并的关键，属于基础必备知识点。
【难度系数】
0.8
1. 多项式乘法法则和乘法公式在二次根式的运算中
仍然适用
.答案
仍然适用
解析
【解析】
整式运算中的多项式乘法法则和乘法公式，其运算逻辑可迁移到二次根式的运算中，因此它们在二次根式的运算中仍然适用。
【答案】
仍然适用
【知识点】
二次根式运算性质
【点评】
本题考查多项式乘法相关法则、公式与二次根式运算的关联，明确二者的联系有助于掌握二次根式的混合运算方法。
【难度系数】
0.9
整式运算中的多项式乘法法则和乘法公式，其运算逻辑可迁移到二次根式的运算中，因此它们在二次根式的运算中仍然适用。
【答案】
仍然适用
【知识点】
二次根式运算性质
【点评】
本题考查多项式乘法相关法则、公式与二次根式运算的关联，明确二者的联系有助于掌握二次根式的混合运算方法。
【难度系数】
0.9
2. 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先算
乘方
，再算乘除
，最后算加减
，有括号的先算括号内的
.答案
乘方 乘除 加减 括号内的
解析
【解析】
二次根式的混合运算顺序与实数运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。
【答案】
乘方 乘除 加减 括号内的
【知识点】
二次根式混合运算顺序
【点评】
本题考查二次根式混合运算顺序的基础识记知识点，难度较低，需准确掌握。
【难度系数】
0.9
二次根式的混合运算顺序与实数运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。
【答案】
乘方 乘除 加减 括号内的
【知识点】
二次根式混合运算顺序
【点评】
本题考查二次根式混合运算顺序的基础识记知识点，难度较低，需准确掌握。
【难度系数】
0.9
【例 1】已知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，下列各组二次根式中，可以合并的是(
A. $ \sqrt{\dfrac{a}{bc}} $ 与 $ \sqrt{\dfrac{a^{3}c}{b}} $
B. $ \sqrt{a^{3}b^{2}} $ 与 $ \sqrt{ab} $
C. $ \sqrt{2a} $ 与 $ \sqrt{4a^{3}} $
D. $ \sqrt{\dfrac{a}{b}} $ 与 $ \sqrt{a^{3}b^{2}} $
【规律方法】
(1)判断几个二次根式是否可以合并，先将不是最简二次根式的二次根式化简，再看被开方数是否相同.
(2)根据可以合并的二次根式求字母的取值时，一般是根据二次根式可以合并的条件，列出关于被开方数中所含字母的方程(或方程组)，从而解决问题.
A
)A. $ \sqrt{\dfrac{a}{bc}} $ 与 $ \sqrt{\dfrac{a^{3}c}{b}} $
B. $ \sqrt{a^{3}b^{2}} $ 与 $ \sqrt{ab} $
C. $ \sqrt{2a} $ 与 $ \sqrt{4a^{3}} $
D. $ \sqrt{\dfrac{a}{b}} $ 与 $ \sqrt{a^{3}b^{2}} $
【规律方法】
(1)判断几个二次根式是否可以合并，先将不是最简二次根式的二次根式化简，再看被开方数是否相同.
(2)根据可以合并的二次根式求字母的取值时，一般是根据二次根式可以合并的条件，列出关于被开方数中所含字母的方程(或方程组)，从而解决问题.
答案
A
解析
【解析】
要判断二次根式是否可以合并，需先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同：
选项A：
$\sqrt{\dfrac{a}{bc}} = \dfrac{\sqrt{abc}}{bc}$，$\sqrt{\dfrac{a^3c}{b}} = \dfrac{a\sqrt{abc}}{b}$，化简后被开方数均为$abc$，可以合并；
选项B：
$\sqrt{a^3b^2} = ab\sqrt{a}$，与$\sqrt{ab}$的被开方数分别为$a$和$ab$，不相同，不能合并；
选项C：
$\sqrt{4a^3} = 2a\sqrt{a}$，与$\sqrt{2a}$的被开方数分别为$a$和$2a$，不相同，不能合并；
选项D：
$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{b}$，$\sqrt{a^3b^2}=ab\sqrt{a}$，被开方数分别为$ab$和$a$，不相同，不能合并。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式、同类二次根式
【点评】
判断二次根式能否合并的关键是先将二次根式化为最简形式，再比较被开方数是否一致，需熟练掌握二次根式的化简方法。
【难度系数】
0.6
要判断二次根式是否可以合并，需先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同：
选项A：
$\sqrt{\dfrac{a}{bc}} = \dfrac{\sqrt{abc}}{bc}$，$\sqrt{\dfrac{a^3c}{b}} = \dfrac{a\sqrt{abc}}{b}$，化简后被开方数均为$abc$，可以合并；
选项B：
$\sqrt{a^3b^2} = ab\sqrt{a}$，与$\sqrt{ab}$的被开方数分别为$a$和$ab$，不相同，不能合并；
选项C：
$\sqrt{4a^3} = 2a\sqrt{a}$，与$\sqrt{2a}$的被开方数分别为$a$和$2a$，不相同，不能合并；
选项D：
$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{b}$，$\sqrt{a^3b^2}=ab\sqrt{a}$，被开方数分别为$ab$和$a$，不相同，不能合并。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式、同类二次根式
【点评】
判断二次根式能否合并的关键是先将二次根式化为最简形式，再比较被开方数是否一致，需熟练掌握二次根式的化简方法。
【难度系数】
0.6
1. 下列四组二次根式，不可以合并的是(
A.$ \sqrt{3} $ 与 $ \sqrt{\dfrac{1}{3}} $
B.$ \sqrt{8} $ 与 $ \sqrt{50} $
C.$ \sqrt{4x^{3}} $ 与 $ \sqrt{8x^{3}} $
D.$ \sqrt{3x} $ 与 $ \sqrt{3a^{2}x^{3}} $
C
)A.$ \sqrt{3} $ 与 $ \sqrt{\dfrac{1}{3}} $
B.$ \sqrt{8} $ 与 $ \sqrt{50} $
C.$ \sqrt{4x^{3}} $ 与 $ \sqrt{8x^{3}} $
D.$ \sqrt{3x} $ 与 $ \sqrt{3a^{2}x^{3}} $
答案
1. C
解析
【解析】
判断二次根式能否合并，需先将各二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同：
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，与$\sqrt{3}$的被开方数均为3，是同类二次根式，可以合并；
选项B：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，被开方数均为2，是同类二次根式，可以合并；
选项C：$\sqrt{4x^{3}}=2x\sqrt{x}$，$\sqrt{8x^{3}}=2x\sqrt{2x}$，化简后被开方数分别为x和2x，不相同，不是同类二次根式，不可以合并；
选项D：$\sqrt{3a^{2}x^{3}}=|a|x\sqrt{3x}$，与$\sqrt{3x}$的被开方数均为3x，是同类二次根式，可以合并。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式的判定
【点评】
本题考查同类二次根式的概念，解题关键是熟练掌握二次根式的化简方法，准确判断最简二次根式的被开方数是否相同。
【难度系数】
0.6
判断二次根式能否合并，需先将各二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同：
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，与$\sqrt{3}$的被开方数均为3，是同类二次根式，可以合并；
选项B：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，被开方数均为2，是同类二次根式，可以合并；
选项C：$\sqrt{4x^{3}}=2x\sqrt{x}$，$\sqrt{8x^{3}}=2x\sqrt{2x}$，化简后被开方数分别为x和2x，不相同，不是同类二次根式，不可以合并；
选项D：$\sqrt{3a^{2}x^{3}}=|a|x\sqrt{3x}$，与$\sqrt{3x}$的被开方数均为3x，是同类二次根式，可以合并。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式的判定
【点评】
本题考查同类二次根式的概念，解题关键是熟练掌握二次根式的化简方法，准确判断最简二次根式的被开方数是否相同。
【难度系数】
0.6
2. 已知最简二次根式 $ \sqrt{m - 6} $ 与 $ \sqrt{20} $ 可以合并，则 $ m $ 的值为(
A.5
B.6
C.8
D.11
D
)A.5
B.6
C.8
D.11
答案
2. D
解析
【解析】
先将$\sqrt{20}$化简：$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
因为最简二次根式$\sqrt{m - 6}$与$\sqrt{20}$可以合并，说明它们是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相同，因此可得：
$m - 6 = 5$
解得$m = 11$。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式、同类二次根式
【点评】
本题考查同类二次根式的概念，解题关键是先将非最简二次根式化简，再根据同类二次根式被开方数相同列方程求解。
【难度系数】
0.6
先将$\sqrt{20}$化简：$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
因为最简二次根式$\sqrt{m - 6}$与$\sqrt{20}$可以合并，说明它们是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相同，因此可得：
$m - 6 = 5$
解得$m = 11$。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式、同类二次根式
【点评】
本题考查同类二次根式的概念，解题关键是先将非最简二次根式化简，再根据同类二次根式被开方数相同列方程求解。
【难度系数】
0.6
【例 2】计算：
（1）$ \sqrt{16x} + \sqrt{64x} $（$ x ＞ 0 $）；
（2）$ \sqrt{24} + \sqrt{12} - \sqrt{6} $；
（3）$ \sqrt{\dfrac{4}{5}} - \sqrt{5} + \sqrt{\dfrac{1}{6}} $；
（4）$ (\sqrt{32} + \sqrt{12}) - (\sqrt{\dfrac{1}{2}} + \sqrt{27}) $.
解：
【规律方法】
二次根式加减运算的一般步骤
（1）化：将二次根式化简，使结果中的二次根式为最简二次根式.
（2）找：找出被开方数相同的二次根式.
（3）合：合并被开方数相同的二次根式，即将系数相加减，根指数和被开方数保持不变.
（1）$ \sqrt{16x} + \sqrt{64x} $（$ x ＞ 0 $）；
（2）$ \sqrt{24} + \sqrt{12} - \sqrt{6} $；
（3）$ \sqrt{\dfrac{4}{5}} - \sqrt{5} + \sqrt{\dfrac{1}{6}} $；
（4）$ (\sqrt{32} + \sqrt{12}) - (\sqrt{\dfrac{1}{2}} + \sqrt{27}) $.
解：
【规律方法】
二次根式加减运算的一般步骤
（1）化：将二次根式化简，使结果中的二次根式为最简二次根式.
（2）找：找出被开方数相同的二次根式.
（3）合：合并被开方数相同的二次根式，即将系数相加减，根指数和被开方数保持不变.
答案
解：(1)$12\sqrt{x}$. (2)$\sqrt{6}+2\sqrt{3}$.
(3)$-\frac{3\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{6}}{6}$. (4)$\frac{7}{2}\sqrt{2}-\sqrt{3}$.
(3)$-\frac{3\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{6}}{6}$. (4)$\frac{7}{2}\sqrt{2}-\sqrt{3}$.
解析
【解析】
（1）先化简二次根式：$\sqrt{16x}=4\sqrt{x}$，$\sqrt{64x}=8\sqrt{x}$，再合并同类二次根式：
$\sqrt{16x}+\sqrt{64x}=4\sqrt{x}+8\sqrt{x}=(4+8)\sqrt{x}=12\sqrt{x}$；
（2）化简二次根式：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，再合并同类二次根式：
$\sqrt{24}+\sqrt{12}-\sqrt{6}=2\sqrt{6}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}=\sqrt{6}+2\sqrt{3}$；
（3）化简二次根式：$\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$，再合并同类二次根式：
$\sqrt{\frac{4}{5}}-\sqrt{5}+\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}+\frac{\sqrt{6}}{6}=-\frac{3\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（4）先去括号，再化简二次根式：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，最后合并同类二次根式：
$(\sqrt{32}+\sqrt{12})-(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{27})=4\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}-3\sqrt{3}=\frac{7}{2}\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$12\sqrt{x}$；(2)$\sqrt{6}+2\sqrt{3}$；(3)$-\frac{3\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{6}}{6}$；(4)$\frac{7}{2}\sqrt{2}-\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式加减运算、最简二次根式、同类二次根式合并
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，核心是先将二次根式化为最简形式，再合并被开方数相同的二次根式，熟练掌握二次根式化简方法与加减运算法则是解题关键，可帮助巩固二次根式加减的运算步骤。
【难度系数】
0.8
（1）先化简二次根式：$\sqrt{16x}=4\sqrt{x}$，$\sqrt{64x}=8\sqrt{x}$，再合并同类二次根式：
$\sqrt{16x}+\sqrt{64x}=4\sqrt{x}+8\sqrt{x}=(4+8)\sqrt{x}=12\sqrt{x}$；
（2）化简二次根式：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，再合并同类二次根式：
$\sqrt{24}+\sqrt{12}-\sqrt{6}=2\sqrt{6}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}=\sqrt{6}+2\sqrt{3}$；
（3）化简二次根式：$\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$，再合并同类二次根式：
$\sqrt{\frac{4}{5}}-\sqrt{5}+\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}+\frac{\sqrt{6}}{6}=-\frac{3\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（4）先去括号，再化简二次根式：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，最后合并同类二次根式：
$(\sqrt{32}+\sqrt{12})-(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{27})=4\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}-3\sqrt{3}=\frac{7}{2}\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$12\sqrt{x}$；(2)$\sqrt{6}+2\sqrt{3}$；(3)$-\frac{3\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{6}}{6}$；(4)$\frac{7}{2}\sqrt{2}-\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式加减运算、最简二次根式、同类二次根式合并
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，核心是先将二次根式化为最简形式，再合并被开方数相同的二次根式，熟练掌握二次根式化简方法与加减运算法则是解题关键，可帮助巩固二次根式加减的运算步骤。
【难度系数】
0.8
