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3. 计算：
（1）$ \dfrac{4}{5}\sqrt{50x} + \dfrac{1}{9}\sqrt{18x} $（$ x ＞ 0 $）；
（2）$ 2\sqrt{75} + \sqrt{8} - \sqrt{27} $；
（3）$ \sqrt{32} + \sqrt{18} - \sqrt{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{48} $；
（4）$ (\sqrt{48} + \sqrt{20}) + (\sqrt{12} - \sqrt{5}) $.
（1）$ \dfrac{4}{5}\sqrt{50x} + \dfrac{1}{9}\sqrt{18x} $（$ x ＞ 0 $）；
（2）$ 2\sqrt{75} + \sqrt{8} - \sqrt{27} $；
（3）$ \sqrt{32} + \sqrt{18} - \sqrt{2} - \dfrac{1}{2}\sqrt{48} $；
（4）$ (\sqrt{48} + \sqrt{20}) + (\sqrt{12} - \sqrt{5}) $.
答案
3. 解：(1)$\frac{13}{3}\sqrt{2x}$. (2)$7\sqrt{3}+2\sqrt{2}$.
(3)$6\sqrt{2}-2\sqrt{3}$. (4)$6\sqrt{3}+\sqrt{5}$.
(3)$6\sqrt{2}-2\sqrt{3}$. (4)$6\sqrt{3}+\sqrt{5}$.
解析
【解析】
（1）先化简二次根式：$\sqrt{50x}=5\sqrt{2x}$，$\sqrt{18x}=3\sqrt{2x}$，代入原式得：
$\dfrac{4}{5}×5\sqrt{2x}+\dfrac{1}{9}×3\sqrt{2x}=4\sqrt{2x}+\dfrac{1}{3}\sqrt{2x}=\dfrac{13}{3}\sqrt{2x}$；
（2）化简二次根式：$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，代入原式得：
$2×5\sqrt{3}+2\sqrt{2}-3\sqrt{3}=10\sqrt{3}-3\sqrt{3}+2\sqrt{2}=7\sqrt{3}+2\sqrt{2}$；
（3）化简二次根式：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，代入原式得：
$4\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}×4\sqrt{3}=6\sqrt{2}-2\sqrt{3}$；
（4）先去括号，再化简二次根式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，代入原式得：
$4\sqrt{3}+2\sqrt{5}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=6\sqrt{3}+\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{13}{3}\sqrt{2x}}$；（2）$\boldsymbol{7\sqrt{3}+2\sqrt{2}}$；（3）$\boldsymbol{6\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$；（4）$\boldsymbol{6\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
【知识点】
二次根式的化简，同类二次根式的合并
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，核心是先将各二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，运算时需注意系数计算的准确性。
【难度系数】
0.6
（1）先化简二次根式：$\sqrt{50x}=5\sqrt{2x}$，$\sqrt{18x}=3\sqrt{2x}$，代入原式得：
$\dfrac{4}{5}×5\sqrt{2x}+\dfrac{1}{9}×3\sqrt{2x}=4\sqrt{2x}+\dfrac{1}{3}\sqrt{2x}=\dfrac{13}{3}\sqrt{2x}$；
（2）化简二次根式：$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，代入原式得：
$2×5\sqrt{3}+2\sqrt{2}-3\sqrt{3}=10\sqrt{3}-3\sqrt{3}+2\sqrt{2}=7\sqrt{3}+2\sqrt{2}$；
（3）化简二次根式：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，代入原式得：
$4\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}×4\sqrt{3}=6\sqrt{2}-2\sqrt{3}$；
（4）先去括号，再化简二次根式：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，代入原式得：
$4\sqrt{3}+2\sqrt{5}+2\sqrt{3}-\sqrt{5}=6\sqrt{3}+\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{13}{3}\sqrt{2x}}$；（2）$\boldsymbol{7\sqrt{3}+2\sqrt{2}}$；（3）$\boldsymbol{6\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$；（4）$\boldsymbol{6\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
【知识点】
二次根式的化简，同类二次根式的合并
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，核心是先将各二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，运算时需注意系数计算的准确性。
【难度系数】
0.6
【例 3】计算：
（1）$ (\sqrt{12} - \sqrt{\dfrac{1}{3}}) × \sqrt{6} $；
（2）$ \sqrt{50} × \sqrt{8} - \dfrac{\sqrt{6} × \sqrt{3}}{\sqrt{2}} $；
（3）$ (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) - (\sqrt{3} - 1)^{2} $；
（4）$ (\sqrt{2})^{2} - (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 2) - \dfrac{1}{2} × \sqrt{12} $.
解：
【规律方法】
二次根式的混合运算，一般先将二次根式化简，使结果中的二次根式为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等方法简化计算.
（1）$ (\sqrt{12} - \sqrt{\dfrac{1}{3}}) × \sqrt{6} $；
（2）$ \sqrt{50} × \sqrt{8} - \dfrac{\sqrt{6} × \sqrt{3}}{\sqrt{2}} $；
（3）$ (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) - (\sqrt{3} - 1)^{2} $；
（4）$ (\sqrt{2})^{2} - (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 2) - \dfrac{1}{2} × \sqrt{12} $.
解：
【规律方法】
二次根式的混合运算，一般先将二次根式化简，使结果中的二次根式为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等方法简化计算.
答案
解：(1)$5\sqrt{2}$. (2)17. (3)$2\sqrt{3}$.
(4)1.
(4)1.
解析
【解析】
（1）先化简二次根式，再利用乘法分配律计算：
原式$=(2\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{3}) × \sqrt{6}$
$=\dfrac{5\sqrt{3}}{3} × \sqrt{6}$
$=\dfrac{5\sqrt{18}}{3}$
$=\dfrac{5×3\sqrt{2}}{3}$
$=5\sqrt{2}$
（2）先化简二次根式，再分别计算乘除，最后算减法：
原式$=5\sqrt{2}×2\sqrt{2} - \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$=20 - 3$
$=17$
（3）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项：
原式$=3^2 - (\sqrt{5})^2 - [(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2]$
$=9 - 5 - (3 - 2\sqrt{3} + 1)$
$=4 - 4 + 2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
（4）先计算乘方、多项式乘法和根式乘法，再合并同类项：
原式$=2 - [(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 2] - \dfrac{1}{2}×2\sqrt{3}$
$=2 - (3 - \sqrt{3} - 2) - \sqrt{3}$
$=2 - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{3}$
$=1$
【答案】
（1）$\boldsymbol{5\sqrt{2}}$；（2）$\boldsymbol{17}$；（3）$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$；（4）$\boldsymbol{1}$
【知识点】
二次根式的混合运算，乘法公式的应用
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，需熟练掌握二次根式的化简方法，灵活运用平方差公式、完全平方公式简化计算，运算时注意遵循运算顺序，确保结果为最简形式。
【难度系数】
0.6
（1）先化简二次根式，再利用乘法分配律计算：
原式$=(2\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{3}) × \sqrt{6}$
$=\dfrac{5\sqrt{3}}{3} × \sqrt{6}$
$=\dfrac{5\sqrt{18}}{3}$
$=\dfrac{5×3\sqrt{2}}{3}$
$=5\sqrt{2}$
（2）先化简二次根式，再分别计算乘除，最后算减法：
原式$=5\sqrt{2}×2\sqrt{2} - \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$=20 - 3$
$=17$
（3）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项：
原式$=3^2 - (\sqrt{5})^2 - [(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2]$
$=9 - 5 - (3 - 2\sqrt{3} + 1)$
$=4 - 4 + 2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
（4）先计算乘方、多项式乘法和根式乘法，再合并同类项：
原式$=2 - [(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 2] - \dfrac{1}{2}×2\sqrt{3}$
$=2 - (3 - \sqrt{3} - 2) - \sqrt{3}$
$=2 - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{3}$
$=1$
【答案】
（1）$\boldsymbol{5\sqrt{2}}$；（2）$\boldsymbol{17}$；（3）$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$；（4）$\boldsymbol{1}$
【知识点】
二次根式的混合运算，乘法公式的应用
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，需熟练掌握二次根式的化简方法，灵活运用平方差公式、完全平方公式简化计算，运算时注意遵循运算顺序，确保结果为最简形式。
【难度系数】
0.6
