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12. 用分式表示下列各式的商，并约分.
(1) $(3x^{2}+x)÷(x^{2}-x)$.
(2) $(x^{2}-9)÷(-2x^{2}+6x)$.
(1) $(3x^{2}+x)÷(x^{2}-x)$.
(2) $(x^{2}-9)÷(-2x^{2}+6x)$.
答案
12. (1) $(3x^{2}+x)÷ (x^{2}-x)=\dfrac{3x^{2}+x}{x^{2}-x}=\dfrac{x(3x+1)}{x(x-1)}=\dfrac{3x+1}{x-1}$．
(2) $(x^{2}-9)÷ (-2x^{2}+6x)=\dfrac{x^{2}-9}{-2x^{2}+6x}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{-2x(x-3)}=-\dfrac{x+3}{2x}$．
(2) $(x^{2}-9)÷ (-2x^{2}+6x)=\dfrac{x^{2}-9}{-2x^{2}+6x}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{-2x(x-3)}=-\dfrac{x+3}{2x}$．
解析
【解析】
(1) 先将除法转化为分式：$(3x^{2}+x)÷(x^{2}-x)=\dfrac{3x^{2}+x}{x^{2}-x}$，
对分子分母因式分解：分子提取公因式$x$得$x(3x+1)$，分母提取公因式$x$得$x(x-1)$，
约去公因式$x$（$x≠0$且$x≠1$），得$\dfrac{3x+1}{x-1}$。
(2) 先将除法转化为分式：$(x^{2}-9)÷(-2x^{2}+6x)=\dfrac{x^{2}-9}{-2x^{2}+6x}$，
对分子分母因式分解：分子用平方差公式分解为$(x+3)(x-3)$，分母提取公因式$-2x$得$-2x(x-3)$，
约去公因式$(x-3)$（$x≠3$且$x≠0$），得$-\dfrac{x+3}{2x}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{3x+1}{x-1}}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{x+3}{2x}}$
【知识点】
分式约分、因式分解、分式与除法的关系
【点评】
本题考查分式约分的基本运算，需先将除法转化为分式形式，再通过因式分解确定分子分母的公因式，约分时注意符号处理及公因式不为零的隐含条件。
【难度系数】
0.8
(1) 先将除法转化为分式：$(3x^{2}+x)÷(x^{2}-x)=\dfrac{3x^{2}+x}{x^{2}-x}$，
对分子分母因式分解：分子提取公因式$x$得$x(3x+1)$，分母提取公因式$x$得$x(x-1)$，
约去公因式$x$（$x≠0$且$x≠1$），得$\dfrac{3x+1}{x-1}$。
(2) 先将除法转化为分式：$(x^{2}-9)÷(-2x^{2}+6x)=\dfrac{x^{2}-9}{-2x^{2}+6x}$，
对分子分母因式分解：分子用平方差公式分解为$(x+3)(x-3)$，分母提取公因式$-2x$得$-2x(x-3)$，
约去公因式$(x-3)$（$x≠3$且$x≠0$），得$-\dfrac{x+3}{2x}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{3x+1}{x-1}}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{x+3}{2x}}$
【知识点】
分式约分、因式分解、分式与除法的关系
【点评】
本题考查分式约分的基本运算，需先将除法转化为分式形式，再通过因式分解确定分子分母的公因式，约分时注意符号处理及公因式不为零的隐含条件。
【难度系数】
0.8
13. 不改变分式的值，把$\frac{2 - x^{2}}{-x + 4}$中分子、分母的最高次项系数变为正数为
$\dfrac{x^{2}-2}{x-4}$
.答案
13. $\dfrac{x^{2}-2}{x-4}$
解析
【解析】
根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以-1，改变分子和分母的符号：
分子：$-(2 - x^2)=x^2 - 2$，
分母：$-(-x + 4)=x - 4$，
因此变形后的分式为$\dfrac{x^{2}-2}{x-4}$。
【答案】
$\dfrac{x^{2}-2}{x-4}$
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题考查分式基本性质的应用，解题时需注意将分子、分母整体变号，确保不改变分式的值，同时准确将最高次项系数化为正数，避免漏项变号的错误。
【难度系数】
0.9
根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以-1，改变分子和分母的符号：
分子：$-(2 - x^2)=x^2 - 2$，
分母：$-(-x + 4)=x - 4$，
因此变形后的分式为$\dfrac{x^{2}-2}{x-4}$。
【答案】
$\dfrac{x^{2}-2}{x-4}$
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题考查分式基本性质的应用，解题时需注意将分子、分母整体变号，确保不改变分式的值，同时准确将最高次项系数化为正数，避免漏项变号的错误。
【难度系数】
0.9
14. 已知下列分式：①$-\frac{y - 1}{x - 1}$；②$\frac{1 - y}{x - 1}$；③$-\frac{1 - y}{1 - x}$；④$\frac{-1 + y}{1 - x}$.其中与分式$\frac{y - 1}{1 - x}$的值相等的是
①②③④
.(填序号)答案
14. ①②③④
解析
【解析】
分别对各分式进行变形，与$\frac{y - 1}{1 - x}$比较：
①$-\frac{y - 1}{x - 1}=-\frac{y - 1}{-(1 - x)}=\frac{y - 1}{1 - x}$，与目标分式相等；
②$\frac{1 - y}{x - 1}=\frac{-(y - 1)}{-(1 - x)}=\frac{y - 1}{1 - x}$，与目标分式相等；
③$-\frac{1 - y}{1 - x}=-\frac{-(y - 1)}{1 - x}=\frac{y - 1}{1 - x}$，与目标分式相等；
④$\frac{-1 + y}{1 - x}=\frac{y - 1}{1 - x}$，与目标分式相等。
因此与$\frac{y - 1}{1 - x}$值相等的是①②③④。
【答案】
①②③④
【知识点】
分式的符号法则
【点评】
本题考查分式的符号法则的应用，解题关键是熟练掌握分子、分母及分式本身的符号变化规律，准确进行符号转化，避免因符号处理错误导致漏选或错选。
【难度系数】
0.6
分别对各分式进行变形，与$\frac{y - 1}{1 - x}$比较：
①$-\frac{y - 1}{x - 1}=-\frac{y - 1}{-(1 - x)}=\frac{y - 1}{1 - x}$，与目标分式相等；
②$\frac{1 - y}{x - 1}=\frac{-(y - 1)}{-(1 - x)}=\frac{y - 1}{1 - x}$，与目标分式相等；
③$-\frac{1 - y}{1 - x}=-\frac{-(y - 1)}{1 - x}=\frac{y - 1}{1 - x}$，与目标分式相等；
④$\frac{-1 + y}{1 - x}=\frac{y - 1}{1 - x}$，与目标分式相等。
因此与$\frac{y - 1}{1 - x}$值相等的是①②③④。
【答案】
①②③④
【知识点】
分式的符号法则
【点评】
本题考查分式的符号法则的应用，解题关键是熟练掌握分子、分母及分式本身的符号变化规律，准确进行符号转化，避免因符号处理错误导致漏选或错选。
【难度系数】
0.6
15. 在多项式$x^{2}+4xy + 4y^{2}$，$x^{2}-4y^{2}$，$x^{2}+2xy$中，请你任选两个分别作为分子和分母组成分式，并进行化简运算.
答案
15. 解：答案不唯一，如选择$x^{2}+4xy+4y^{2}$作为分子，$x^{2}-4y^{2}$作为分母，则组成的分式为$\dfrac{x^{2}+4xy+4y^{2}}{x^{2}-4y^{2}}$．
$\dfrac{x^{2}+4xy+4y^{2}}{x^{2}-4y^{2}}=\dfrac{(x+2y)^{2}}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{x+2y}{x-2y}$．
$\dfrac{x^{2}+4xy+4y^{2}}{x^{2}-4y^{2}}=\dfrac{(x+2y)^{2}}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{x+2y}{x-2y}$．
解析
【解析】
答案不唯一，例如选取$x^{2}+4xy + 4y^{2}$为分子，$x^{2}-4y^{2}$为分母，组成分式$\dfrac{x^{2}+4xy+4y^{2}}{x^{2}-4y^{2}}$。
化简如下：
$\dfrac{x^{2}+4xy+4y^{2}}{x^{2}-4y^{2}}=\dfrac{(x+2y)^{2}}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{x+2y}{x-2y}$（$x≠\pm2y$）。
【答案】
答案不唯一，如$\dfrac{x+2y}{x-2y}$（$x≠\pm2y$）
【知识点】
分式化简、因式分解
【点评】
本题考查分式的构造与化简运算，需熟练运用因式分解（完全平方公式、平方差公式）对分子分母变形后约分，答案具有开放性，合理即可。
【难度系数】
0.8
答案不唯一，例如选取$x^{2}+4xy + 4y^{2}$为分子，$x^{2}-4y^{2}$为分母，组成分式$\dfrac{x^{2}+4xy+4y^{2}}{x^{2}-4y^{2}}$。
化简如下：
$\dfrac{x^{2}+4xy+4y^{2}}{x^{2}-4y^{2}}=\dfrac{(x+2y)^{2}}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{x+2y}{x-2y}$（$x≠\pm2y$）。
【答案】
答案不唯一，如$\dfrac{x+2y}{x-2y}$（$x≠\pm2y$）
【知识点】
分式化简、因式分解
【点评】
本题考查分式的构造与化简运算，需熟练运用因式分解（完全平方公式、平方差公式）对分子分母变形后约分，答案具有开放性，合理即可。
【难度系数】
0.8
