登录
16. 如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高$a$厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为$h$厘米，则瓶内墨水的体积约占玻璃瓶容积的(
A.$\frac{a}{a + b}$
B.$\frac{b}{a + b}$
C.$\frac{h}{a + b}$
D.$\frac{h}{a + h}$
A
)A.$\frac{a}{a + b}$
B.$\frac{b}{a + b}$
C.$\frac{h}{a + b}$
D.$\frac{h}{a + h}$
答案
16. A
解析
【解析】
设圆柱体玻璃瓶的底面积为$ S $。
正放时，墨水的体积为$ V_{\mathrm{墨水}} = aS $；
倒置后，空白部分的体积为$ V_{\mathrm{空白}} = bS $，则玻璃瓶的容积$ V_{\mathrm{总}} = V_{\mathrm{墨水}} + V_{\mathrm{空白}} = aS + bS = S(a + b) $。
因此，瓶内墨水的体积占玻璃瓶容积的比例为：$ \frac{V_{\mathrm{墨水}}}{V_{\mathrm{总}}} = \frac{aS}{S(a + b)} = \frac{a}{a + b} $。
【答案】
A
【知识点】
圆柱体积计算、转化思想
【点评】
本题考查圆柱体积公式的实际应用，关键是通过倒置前后的图形，将空白部分的体积转化为规则圆柱的体积，从而求出玻璃瓶的总容积，进而得到墨水体积与容积的比值。
【难度系数】
0.6
设圆柱体玻璃瓶的底面积为$ S $。
正放时，墨水的体积为$ V_{\mathrm{墨水}} = aS $；
倒置后，空白部分的体积为$ V_{\mathrm{空白}} = bS $，则玻璃瓶的容积$ V_{\mathrm{总}} = V_{\mathrm{墨水}} + V_{\mathrm{空白}} = aS + bS = S(a + b) $。
因此，瓶内墨水的体积占玻璃瓶容积的比例为：$ \frac{V_{\mathrm{墨水}}}{V_{\mathrm{总}}} = \frac{aS}{S(a + b)} = \frac{a}{a + b} $。
【答案】
A
【知识点】
圆柱体积计算、转化思想
【点评】
本题考查圆柱体积公式的实际应用，关键是通过倒置前后的图形，将空白部分的体积转化为规则圆柱的体积，从而求出玻璃瓶的总容积，进而得到墨水体积与容积的比值。
【难度系数】
0.6
17. 实数$a$在数轴上对应点的位置如图所示，试化简：$\frac{|a - 2|}{a - 2}-\frac{|a - 1|}{a - 1}+\frac{|a|}{a}$.
答案
17. 解：从数轴上可以看出$1＜ a＜ 2$，所以$a-2＜ 0$，$a-1＞ 0$，
所以原式$=\dfrac{-(a-2)}{a-2}-\dfrac{a-1}{a-1}+\dfrac{a}{a}=-1-1+1=-1$．
所以原式$=\dfrac{-(a-2)}{a-2}-\dfrac{a-1}{a-1}+\dfrac{a}{a}=-1-1+1=-1$．
解析
【解析】
由数轴可知$1＜a＜2$，因此$a-2＜0$，$a-1＞0$，$a＞0$。
根据绝对值的性质去掉绝对值符号，对原式化简：
原式$=\dfrac{-(a-2)}{a-2}-\dfrac{a-1}{a-1}+\dfrac{a}{a}$
$=-1-1+1$
$=-1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、分式化简
【点评】
本题考查数轴与绝对值的综合应用，关键是根据数轴确定实数$a$的取值范围，再利用绝对值的性质化简，考验对绝对值性质的理解与分式运算能力。
【难度系数】
0.7
由数轴可知$1＜a＜2$，因此$a-2＜0$，$a-1＞0$，$a＞0$。
根据绝对值的性质去掉绝对值符号，对原式化简：
原式$=\dfrac{-(a-2)}{a-2}-\dfrac{a-1}{a-1}+\dfrac{a}{a}$
$=-1-1+1$
$=-1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
数轴的应用、绝对值的性质、分式化简
【点评】
本题考查数轴与绝对值的综合应用，关键是根据数轴确定实数$a$的取值范围，再利用绝对值的性质化简，考验对绝对值性质的理解与分式运算能力。
【难度系数】
0.7
