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1. 如果$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，那么$\frac{x+y}{y}=$.
答案
1. $\frac{5}{3}$
解析
【解析】
将所求分式拆分：$\frac{x+y}{y}=\frac{x}{y}+\frac{y}{y}=\frac{x}{y}+1$，
已知$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，代入得：$\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
分式的拆分、比例的应用
【点评】
本题考查分式的基本运算，通过拆分所求式子，结合已知比例关系代入计算即可，思路直接，运算简便。
【难度系数】
0.9
将所求分式拆分：$\frac{x+y}{y}=\frac{x}{y}+\frac{y}{y}=\frac{x}{y}+1$，
已知$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，代入得：$\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
分式的拆分、比例的应用
【点评】
本题考查分式的基本运算，通过拆分所求式子，结合已知比例关系代入计算即可，思路直接，运算简便。
【难度系数】
0.9
2. 已知$x - 2y = 0$，则分式$\frac{2x - y}{x + 3y}$的值为
$\frac{3}{5}$
.答案
2. $\frac{3}{5}$
解析
【解析】
由$x - 2y = 0$可得$x = 2y$（$y≠0$，否则原分式无意义），将$x = 2y$代入分式$\frac{2x - y}{x + 3y}$，得：
$\frac{2×2y - y}{2y + 3y} = \frac{4y - y}{5y} = \frac{3y}{5y} = \frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
分式求值，代入消元法
【点评】
本题考查分式的基础求值，通过已知条件进行等量代换，将分式转化为可约分的形式即可求解，解题关键是合理利用代入消元简化计算。
【难度系数】
0.8
由$x - 2y = 0$可得$x = 2y$（$y≠0$，否则原分式无意义），将$x = 2y$代入分式$\frac{2x - y}{x + 3y}$，得：
$\frac{2×2y - y}{2y + 3y} = \frac{4y - y}{5y} = \frac{3y}{5y} = \frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
分式求值，代入消元法
【点评】
本题考查分式的基础求值，通过已知条件进行等量代换，将分式转化为可约分的形式即可求解，解题关键是合理利用代入消元简化计算。
【难度系数】
0.8
3. 计算$(3ab^{3}-6a^{2}b^{2})÷(2a - b)$的结果是(
A.$3ab^{2}$
B.$-3ab^{2}$
C.$3a^{2}b$
D.$-3a^{2}b$
B
)A.$3ab^{2}$
B.$-3ab^{2}$
C.$3a^{2}b$
D.$-3a^{2}b$
答案
3. B
解析
【解析】
先对被除数提取公因式进行因式分解：
$3ab^{3}-6a^{2}b^{2}=3ab^{2}(b - 2a)=-3ab^{2}(2a - b)$，
再进行除法运算：
$(-3ab^{2}(2a - b))÷(2a - b)=-3ab^{2}$。
【答案】
B
【知识点】
提取公因式法，多项式除法
【点评】
本题考查多项式与多项式的除法运算，解题关键是通过提取公因式将被除数变形，转化为整式约分，需注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.6
先对被除数提取公因式进行因式分解：
$3ab^{3}-6a^{2}b^{2}=3ab^{2}(b - 2a)=-3ab^{2}(2a - b)$，
再进行除法运算：
$(-3ab^{2}(2a - b))÷(2a - b)=-3ab^{2}$。
【答案】
B
【知识点】
提取公因式法，多项式除法
【点评】
本题考查多项式与多项式的除法运算，解题关键是通过提取公因式将被除数变形，转化为整式约分，需注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.6
4. 如果$\frac{a}{b}=2$，那么$\frac{a^{2}-ab + b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$的值是(
A.$\frac{4}{5}$
B.1
C.$\frac{3}{5}$
D.2
C
)A.$\frac{4}{5}$
B.1
C.$\frac{3}{5}$
D.2
答案
4. C
解析
【解析】
由$\frac{a}{b}=2$可得$a=2b$，将$a=2b$代入$\frac{a^{2}-ab + b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$：
$\frac{(2b)^{2}-2b· b + b^{2}}{(2b)^{2}+b^{2}}=\frac{4b^{2}-2b^{2}+b^{2}}{4b^{2}+b^{2}}=\frac{3b^{2}}{5b^{2}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
分式化简求值、代入消元法
【点评】
本题考查分式的化简求值，通过用含$b$的式子表示$a$，代入分式化简计算即可，关键是掌握代入消元的方法，计算难度不大。
【难度系数】
0.8
由$\frac{a}{b}=2$可得$a=2b$，将$a=2b$代入$\frac{a^{2}-ab + b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$：
$\frac{(2b)^{2}-2b· b + b^{2}}{(2b)^{2}+b^{2}}=\frac{4b^{2}-2b^{2}+b^{2}}{4b^{2}+b^{2}}=\frac{3b^{2}}{5b^{2}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
分式化简求值、代入消元法
【点评】
本题考查分式的化简求值，通过用含$b$的式子表示$a$，代入分式化简计算即可，关键是掌握代入消元的方法，计算难度不大。
【难度系数】
0.8
5. 计算：
(1)$(a^{2}-4a + 4)÷(4 - a^{2})$.
(2)$(3x^{2}y + 12xy^{2}+12y^{3})÷(x^{2}-4y^{2})$.
(1)$(a^{2}-4a + 4)÷(4 - a^{2})$.
(2)$(3x^{2}y + 12xy^{2}+12y^{3})÷(x^{2}-4y^{2})$.
答案
(1)
解：
$(a^{2}-4a + 4)÷(4 - a^{2})$
$=\frac{(a-2)^2}{-(a^2 - 4)}$
$=\frac{(a-2)^2}{-(a-2)(a+2)}$
$=-\frac{a-2}{a+2}$
(2)
解：
$(3x^{2}y + 12xy^{2}+12y^{3})÷(x^{2}-4y^{2})$
$=\frac{3y(x^2 + 4xy + 4y^2)}{(x-2y)(x+2y)}$
$=\frac{3y(x+2y)^2}{(x-2y)(x+2y)}$
$=\frac{3y(x+2y)}{x-2y}$（$x≠\pm2y$）
解：
$(a^{2}-4a + 4)÷(4 - a^{2})$
$=\frac{(a-2)^2}{-(a^2 - 4)}$
$=\frac{(a-2)^2}{-(a-2)(a+2)}$
$=-\frac{a-2}{a+2}$
(2)
解：
$(3x^{2}y + 12xy^{2}+12y^{3})÷(x^{2}-4y^{2})$
$=\frac{3y(x^2 + 4xy + 4y^2)}{(x-2y)(x+2y)}$
$=\frac{3y(x+2y)^2}{(x-2y)(x+2y)}$
$=\frac{3y(x+2y)}{x-2y}$（$x≠\pm2y$）
解析
【解析】
(1) 对分子分母分别因式分解：
分子：$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$，
分母：$4 - a^2 = (2 - a)(2 + a) = -(a - 2)(a + 2)$，
则原式$=(a - 2)^2 ÷ [-(a - 2)(a + 2)] = \frac{(a - 2)^2}{-(a - 2)(a + 2)} = \frac{2 - a}{a + 2}$；
(2) 对分子分母分别因式分解：
分子：$3x^2y + 12xy^2 + 12y^3 = 3y(x^2 + 4xy + 4y^2) = 3y(x + 2y)^2$，
分母：$x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$，
则原式$=3y(x + 2y)^2 ÷ [(x - 2y)(x + 2y)] = \frac{3y(x + 2y)^2}{(x - 2y)(x + 2y)} = \frac{3xy + 6y^2}{x - 2y}$；
【答案】
(1) $\frac{2 - a}{a + 2}$
(2) $\frac{3xy + 6y^2}{x - 2y}$
【知识点】
因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式的除法运算，核心是利用完全平方公式、平方差公式对分子分母因式分解，再通过约分得到最简分式，需注意约分过程中分母不为零的隐含条件。
【难度系数】
0.6
(1) 对分子分母分别因式分解：
分子：$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$，
分母：$4 - a^2 = (2 - a)(2 + a) = -(a - 2)(a + 2)$，
则原式$=(a - 2)^2 ÷ [-(a - 2)(a + 2)] = \frac{(a - 2)^2}{-(a - 2)(a + 2)} = \frac{2 - a}{a + 2}$；
(2) 对分子分母分别因式分解：
分子：$3x^2y + 12xy^2 + 12y^3 = 3y(x^2 + 4xy + 4y^2) = 3y(x + 2y)^2$，
分母：$x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$，
则原式$=3y(x + 2y)^2 ÷ [(x - 2y)(x + 2y)] = \frac{3y(x + 2y)^2}{(x - 2y)(x + 2y)} = \frac{3xy + 6y^2}{x - 2y}$；
【答案】
(1) $\frac{2 - a}{a + 2}$
(2) $\frac{3xy + 6y^2}{x - 2y}$
【知识点】
因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式的除法运算，核心是利用完全平方公式、平方差公式对分子分母因式分解，再通过约分得到最简分式，需注意约分过程中分母不为零的隐含条件。
【难度系数】
0.6
6. 已知：$x - y - 2xy = 0$，求分式$\frac{2x - 2y + 5xy}{x - 3xy - y}$的值.
答案
6. $-9$
解析
【解析】
由已知$x - y - 2xy = 0$，可得$x - y = 2xy$。
将$x - y = 2xy$代入所求分式：
$\begin{aligned}\frac{2x - 2y + 5xy}{x - 3xy - y}&=\frac{2(x - y) + 5xy}{(x - y) - 3xy}\\&=\frac{2×2xy + 5xy}{2xy - 3xy}\\&=\frac{4xy + 5xy}{-xy}\\&=-9\end{aligned}$
【答案】
$-9$
【知识点】
分式化简求值、整体代入法
【点评】
本题通过已知条件变形得到$x - y$与$xy$的关系，利用整体代入法求解分式的值，考查了整体思想在分式求值中的应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
由已知$x - y - 2xy = 0$，可得$x - y = 2xy$。
将$x - y = 2xy$代入所求分式：
$\begin{aligned}\frac{2x - 2y + 5xy}{x - 3xy - y}&=\frac{2(x - y) + 5xy}{(x - y) - 3xy}\\&=\frac{2×2xy + 5xy}{2xy - 3xy}\\&=\frac{4xy + 5xy}{-xy}\\&=-9\end{aligned}$
【答案】
$-9$
【知识点】
分式化简求值、整体代入法
【点评】
本题通过已知条件变形得到$x - y$与$xy$的关系，利用整体代入法求解分式的值，考查了整体思想在分式求值中的应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 若$x + y = 1$，$xy = - 2$，求$\frac{x^{2}+y^{2}+xy}{x^{2}+y^{2}-xy}$的值.
答案
7. $\frac{3}{7}$
解析
【解析】
1. 根据完全平方公式变形可得：$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，
将$x+y=1$，$xy=-2$代入上式：
$x^2+y^2=1^2-2×(-2)=1+4=5$；
2. 将$x^2+y^2=5$，$xy=-2$代入所求分式：
$\frac{x^2+y^2+xy}{x^2+y^2-xy}=\frac{5+(-2)}{5-(-2)}=\frac{3}{7}$。
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
完全平方公式变形，分式代入求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用及分式的求值，运用整体代入思想简化计算，关键是先求出$x^2+y^2$的值，再代入分式计算。
【难度系数】
0.8
1. 根据完全平方公式变形可得：$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，
将$x+y=1$，$xy=-2$代入上式：
$x^2+y^2=1^2-2×(-2)=1+4=5$；
2. 将$x^2+y^2=5$，$xy=-2$代入所求分式：
$\frac{x^2+y^2+xy}{x^2+y^2-xy}=\frac{5+(-2)}{5-(-2)}=\frac{3}{7}$。
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
完全平方公式变形，分式代入求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用及分式的求值，运用整体代入思想简化计算，关键是先求出$x^2+y^2$的值，再代入分式计算。
【难度系数】
0.8
