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6. 下列分式约分正确的是(
A.$\frac{2x + y}{x + y}=2$
B.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}=x + y$
C.$\frac{x + m}{x + n}=\frac{m}{n}$
D.$\frac{-x + y}{x - y}=-1$
D
)A.$\frac{2x + y}{x + y}=2$
B.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}=x + y$
C.$\frac{x + m}{x + n}=\frac{m}{n}$
D.$\frac{-x + y}{x - y}=-1$
答案
6. D
解析
【解析】
选项A：$\frac{2x + y}{x + y}$的分子与分母没有公因式，无法约分，故A错误；
选项B：$x^2+y^2$不能分解为$(x+y)^2$，分子分母无公因式，不能约分，故B错误；
选项C：$\frac{x + m}{x + n}$的分子与分母没有公因式，无法约分，故C错误；
选项D：$\frac{-x + y}{x - y}=\frac{-(x - y)}{x - y}=-1$，约分正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式约分、分式基本性质
【点评】
本题考查分式约分的判断，解题关键是明确约分的条件是分子分母有公因式，同时要掌握符号的变形技巧，避免因对因式分解或符号处理失误而错选。
【难度系数】
0.8
选项A：$\frac{2x + y}{x + y}$的分子与分母没有公因式，无法约分，故A错误；
选项B：$x^2+y^2$不能分解为$(x+y)^2$，分子分母无公因式，不能约分，故B错误；
选项C：$\frac{x + m}{x + n}$的分子与分母没有公因式，无法约分，故C错误；
选项D：$\frac{-x + y}{x - y}=\frac{-(x - y)}{x - y}=-1$，约分正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式约分、分式基本性质
【点评】
本题考查分式约分的判断，解题关键是明确约分的条件是分子分母有公因式，同时要掌握符号的变形技巧，避免因对因式分解或符号处理失误而错选。
【难度系数】
0.8
7. 下列分式中，最简分式是(
A.$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$
B.$\frac{x + 1}{x^{2}-1}$
C.$\frac{x^{2}-2xy + y^{2}}{x^{2}-xy}$
D.$\frac{x^{2}-36}{2x + 12}$
A
)A.$\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$
B.$\frac{x + 1}{x^{2}-1}$
C.$\frac{x^{2}-2xy + y^{2}}{x^{2}-xy}$
D.$\frac{x^{2}-36}{2x + 12}$
答案
7. A
解析
【解析】
最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，逐一分析选项：
选项A：分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母$x^2+1$无法因式分解，分子分母无公因式，是最简分式；
选项B：分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子分母有公因式$x+1$，可约分，不是最简分式；
选项C：分子$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，分母$x^2-xy=x(x-y)$，分子分母有公因式$x-y$，可约分，不是最简分式；
选项D：分子$x^2-36=(x+6)(x-6)$，分母$2x+12=2(x+6)$，分子分母有公因式$x+6$，可约分，不是最简分式。
综上，最简分式是选项A。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的定义、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查最简分式的判断，解题关键是通过因式分解确定分子分母是否存在公因式，需熟练掌握常见因式分解方法，题目注重对分式基本概念的考查，难度基础。
【难度系数】
0.8
最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，逐一分析选项：
选项A：分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母$x^2+1$无法因式分解，分子分母无公因式，是最简分式；
选项B：分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子分母有公因式$x+1$，可约分，不是最简分式；
选项C：分子$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，分母$x^2-xy=x(x-y)$，分子分母有公因式$x-y$，可约分，不是最简分式；
选项D：分子$x^2-36=(x+6)(x-6)$，分母$2x+12=2(x+6)$，分子分母有公因式$x+6$，可约分，不是最简分式。
综上，最简分式是选项A。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的定义、因式分解、分式约分
【点评】
本题考查最简分式的判断，解题关键是通过因式分解确定分子分母是否存在公因式，需熟练掌握常见因式分解方法，题目注重对分式基本概念的考查，难度基础。
【难度系数】
0.8
9. 填空：$\frac{a^{2}-4}{a^{2}+4a + 4}=\frac{a - 2}{(\quad)}$.
答案
9. $a+2$
解析
【解析】
先对分子分母进行因式分解：
分子：$a^2 - 4=(a-2)(a+2)$，
分母：$a^2 + 4a + 4=(a+2)^2$，
则原式可化为$\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)^2}$，约去公因式$(a+2)$，得到$\frac{a-2}{a+2}$，故括号内应填$a+2$。
【答案】
$a+2$
【知识点】
分式的约分、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题主要考查分式的约分运算，解题关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对分子分母进行因式分解，再约去公因式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
先对分子分母进行因式分解：
分子：$a^2 - 4=(a-2)(a+2)$，
分母：$a^2 + 4a + 4=(a+2)^2$，
则原式可化为$\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)^2}$，约去公因式$(a+2)$，得到$\frac{a-2}{a+2}$，故括号内应填$a+2$。
【答案】
$a+2$
【知识点】
分式的约分、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题主要考查分式的约分运算，解题关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对分子分母进行因式分解，再约去公因式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
10. 约分：$\frac{1 - 4a^{2}}{2a + 1}=$.
答案
10. $1-2a$
解析
【解析】
先对分子利用平方差公式因式分解：$1 - 4a^2=(1 - 2a)(1 + 2a)=(1 - 2a)(2a + 1)$，
由于分母$2a + 1≠0$，约去分子分母的公因式$2a + 1$，可得$\frac{(1 - 2a)(2a + 1)}{2a + 1}=1 - 2a$。
【答案】
$1 - 2a$
【知识点】
平方差公式，分式约分
【点评】
本题考查分式约分的运算，核心是利用平方差公式对分子因式分解，需注意分母不为零的隐含条件，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
先对分子利用平方差公式因式分解：$1 - 4a^2=(1 - 2a)(1 + 2a)=(1 - 2a)(2a + 1)$，
由于分母$2a + 1≠0$，约去分子分母的公因式$2a + 1$，可得$\frac{(1 - 2a)(2a + 1)}{2a + 1}=1 - 2a$。
【答案】
$1 - 2a$
【知识点】
平方差公式，分式约分
【点评】
本题考查分式约分的运算，核心是利用平方差公式对分子因式分解，需注意分母不为零的隐含条件，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
11. 将下列各式约分：
(1) $\frac{3a^{3}b}{-45a^{2}b^{3}}$.
(2) $\frac{a^{4}-16}{2a^{2}b + 8b}$.
(3) $\frac{a^{2}-4ab + 4b^{2}}{a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}}$.
(1) $\frac{3a^{3}b}{-45a^{2}b^{3}}$.
(2) $\frac{a^{4}-16}{2a^{2}b + 8b}$.
(3) $\frac{a^{2}-4ab + 4b^{2}}{a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}}$.
答案
11. (1) $-\dfrac{a}{15b^{2}}$
(2) $\dfrac{a^{2}-4}{2b}$
(3) $\dfrac{(a-2b)^{2}}{(a+2b)^{2}(a-2b)^{2}}=\dfrac{1}{(a+2b)^{2}}$
(2) $\dfrac{a^{2}-4}{2b}$
(3) $\dfrac{(a-2b)^{2}}{(a+2b)^{2}(a-2b)^{2}}=\dfrac{1}{(a+2b)^{2}}$
解析
【解析】
(1) 找出分子分母的公因式$3a^{2}b$，分子分母同时除以该公因式：
$\frac{3a^{3}b}{-45a^{2}b^{3}}=\frac{3a^{2}b· a}{3a^{2}b· (-15b^{2})}=-\frac{a}{15b^{2}}$；
(2) 先对分子分母因式分解：
分子$a^{4}-16=(a^{2}+4)(a^{2}-4)$，分母$2a^{2}b + 8b=2b(a^{2}+4)$，约去公因式$a^{2}+4$：
$\frac{a^{4}-16}{2a^{2}b + 8b}=\frac{(a^{2}+4)(a^{2}-4)}{2b(a^{2}+4)}=\frac{a^{2}-4}{2b}$；
(3) 对分子分母因式分解：
分子$a^{2}-4ab + 4b^{2}=(a-2b)^{2}$，分母$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}=(a^{2}-4b^{2})^{2}=[(a+2b)(a-2b)]^{2}=(a+2b)^{2}(a-2b)^{2}$，约去公因式$(a-2b)^{2}$：
$\frac{a^{2}-4ab + 4b^{2}}{a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}}=\frac{(a-2b)^{2}}{(a+2b)^{2}(a-2b)^{2}}=\frac{1}{(a+2b)^{2}}$。
【答案】
(1) $-\dfrac{a}{15b^{2}}$；
(2) $\dfrac{a^{2}-4}{2b}$；
(3) $\dfrac{1}{(a+2b)^{2}}$
【知识点】
分式约分、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查分式的约分运算，解题核心是通过提取公因式或乘法公式对分子、分母因式分解，再约去公因式，熟练掌握因式分解方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
(1) 找出分子分母的公因式$3a^{2}b$，分子分母同时除以该公因式：
$\frac{3a^{3}b}{-45a^{2}b^{3}}=\frac{3a^{2}b· a}{3a^{2}b· (-15b^{2})}=-\frac{a}{15b^{2}}$；
(2) 先对分子分母因式分解：
分子$a^{4}-16=(a^{2}+4)(a^{2}-4)$，分母$2a^{2}b + 8b=2b(a^{2}+4)$，约去公因式$a^{2}+4$：
$\frac{a^{4}-16}{2a^{2}b + 8b}=\frac{(a^{2}+4)(a^{2}-4)}{2b(a^{2}+4)}=\frac{a^{2}-4}{2b}$；
(3) 对分子分母因式分解：
分子$a^{2}-4ab + 4b^{2}=(a-2b)^{2}$，分母$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}=(a^{2}-4b^{2})^{2}=[(a+2b)(a-2b)]^{2}=(a+2b)^{2}(a-2b)^{2}$，约去公因式$(a-2b)^{2}$：
$\frac{a^{2}-4ab + 4b^{2}}{a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}}=\frac{(a-2b)^{2}}{(a+2b)^{2}(a-2b)^{2}}=\frac{1}{(a+2b)^{2}}$。
【答案】
(1) $-\dfrac{a}{15b^{2}}$；
(2) $\dfrac{a^{2}-4}{2b}$；
(3) $\dfrac{1}{(a+2b)^{2}}$
【知识点】
分式约分、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查分式的约分运算，解题核心是通过提取公因式或乘法公式对分子、分母因式分解，再约去公因式，熟练掌握因式分解方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
