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1. 已知$\begin{cases}x = a,\\y = b\end{cases}$是方程组$\begin{cases}x + 4y = 5,\\2x - y = 1\end{cases}$的解，则$a$，$b$满足的关系式为( )
A.$a - b = 2$
B.$a - b = - 2$
C.$a + b = 2$
D.$a + b = - 2$
A.$a - b = 2$
B.$a - b = - 2$
C.$a + b = 2$
D.$a + b = - 2$
答案
C。
解析
将$\begin{cases} x = a,\\ y = b \end{cases}$代入方程组$\begin{cases} x + 4y = 5,\\ 2x - y = 1 \end{cases}$中，得到：
$\begin{cases}a + 4b = 5 \quad (1), \\2a - b = 1\quad (2) \end{cases}$
将方程(2)变形得到：$b = 2a - 1$，
将$b = 2a - 1$代入方程(1)中，得到：
$a + 4(2a - 1) = 5$，
去括号得：
$a + 8a - 4 = 5$，
移项得：
$a + 8a = 5+4$，
合并同类项得：
$9a = 9$，
系数化为$1$得：
$a = 1$。
将$a = 1$代入$b = 2a - 1$，得到：
$b = 2 × 1 - 1 = 1$，
将$a = 1$，$b = 1$代入各选项进行验证：
A. $a - b = 1 - 1 = 0$（不符合）；
B. $a - b = 1 - 1 = 0$（不符合）；
C. $a + b = 1 + 1 = 2$（符合）；
D. $a + b = 1 + 1 = 2$（与选项D的等式右边$-2$不相等，不符合）。
所以$a$，$b$满足的关系式为$a + b = 2$。
$\begin{cases}a + 4b = 5 \quad (1), \\2a - b = 1\quad (2) \end{cases}$
将方程(2)变形得到：$b = 2a - 1$，
将$b = 2a - 1$代入方程(1)中，得到：
$a + 4(2a - 1) = 5$，
去括号得：
$a + 8a - 4 = 5$，
移项得：
$a + 8a = 5+4$，
合并同类项得：
$9a = 9$，
系数化为$1$得：
$a = 1$。
将$a = 1$代入$b = 2a - 1$，得到：
$b = 2 × 1 - 1 = 1$，
将$a = 1$，$b = 1$代入各选项进行验证：
A. $a - b = 1 - 1 = 0$（不符合）；
B. $a - b = 1 - 1 = 0$（不符合）；
C. $a + b = 1 + 1 = 2$（符合）；
D. $a + b = 1 + 1 = 2$（与选项D的等式右边$-2$不相等，不符合）。
所以$a$，$b$满足的关系式为$a + b = 2$。
2. 若$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$和$\begin{cases}x = 2,\\y = - 1\end{cases}$都是方程$mx + ny = 6$的解，则$m$，$n$的值分别是( )
A.$4$，$2$
B.$2$，$4$
C.$- 4$，$- 2$
D.$- 2$，$- 4$
A.$4$，$2$
B.$2$，$4$
C.$- 4$，$- 2$
D.$- 2$，$- 4$
答案
A
解析
将$\begin{cases}x = 1,\\y = 1\end{cases}$代入方程$mx + ny = 6$，得$m × 1+n × 1 = 6$，即$m + n = 6$。
将$\begin{cases}x = 2,\\y = - 1\end{cases}$代入方程$mx + ny = 6$，得$m× 2 + n× (-1)=6$，即$2m - n = 6$。
联立方程组$\begin{cases}m + n = 6,\\2m - n = 6.\end{cases}$
将两式相加消去$n$可得：$3m = 12$，解得$m = 4$。
把$m = 4$代入$m + n = 6$，得$4 + n = 6$，解得$n = 2$。
将$\begin{cases}x = 2,\\y = - 1\end{cases}$代入方程$mx + ny = 6$，得$m× 2 + n× (-1)=6$，即$2m - n = 6$。
联立方程组$\begin{cases}m + n = 6,\\2m - n = 6.\end{cases}$
将两式相加消去$n$可得：$3m = 12$，解得$m = 4$。
把$m = 4$代入$m + n = 6$，得$4 + n = 6$，解得$n = 2$。
3. 把一根$9\ \mathrm{m}$长的钢管截成$1\ \mathrm{m}$长和$2\ \mathrm{m}$长这两种规格的短钢管(两种规格的短钢管都要有)，且没有剩余.设某种截法中$1\ \mathrm{m}$长的钢管有$a$根，则$a$的值可能有()
A.$9$种
B.$5$种
C.$4$种
D.$3$种
A.$9$种
B.$5$种
C.$4$种
D.$3$种
答案
C
解析
设$2\ \mathrm{m}$长的短钢管有b根，根据题意，总长度为$9\ \mathrm{m}$，因此满足方程：
a + 2b = 9 其中a ≥ 1，b ≥ 1且均为整数。 将方程变形为： a = 9 - 2b
由于a ≥ 1，代入得：
$9 - 2b ≥ 1 \implies b ≤ 4 $同时b ≥ 1，因此b的可能取值为1, 2, 3, 4。 对应的a值分别为： b = 1时，a = 7 b = 2时，a = 5 b = 3时，a = 3 b = 4时，a = 1 因此a的可能值有4种。
a + 2b = 9 其中a ≥ 1，b ≥ 1且均为整数。 将方程变形为： a = 9 - 2b
由于a ≥ 1，代入得：
$9 - 2b ≥ 1 \implies b ≤ 4 $同时b ≥ 1，因此b的可能取值为1, 2, 3, 4。 对应的a值分别为： b = 1时，a = 7 b = 2时，a = 5 b = 3时，a = 3 b = 4时，a = 1 因此a的可能值有4种。
4. 关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 1 - a,\\x - y = 3a + 5\end{cases}$有下列结论：① 当$a = 1$时，该方程组的解也是方程$x + y = 2$的解；② 不论$a$取什么实数，代数式$2x + y$的值始终不变.下列说法中，正确的是( )
A.①②都正确
B.①正确，②错误
C.①错误，②正确
D.①②都错误
A.①②都正确
B.①正确，②错误
C.①错误，②正确
D.①②都错误
答案
C
解析
①当$a=1$时，方程组为$\begin{cases}x + y = 0 \\x - y = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4 \\y=-4\end{cases}$，此时$x + y=0≠2$，故①错误；②解方程组$\begin{cases}x + y = 1 - a \\x - y = 3a + 5\end{cases}$，两式相加得$2x=2a + 6$，即$x=a + 3$，代入$x + y=1 - a$得$y=-2a - 2$，则$2x + y=2(a + 3)+(-2a - 2)=4$，值始终不变，故②正确。
二、填空题
5. 已知$4x - y - 1 = 0$，用含$x$的代数式表示$y$是.
5. 已知$4x - y - 1 = 0$，用含$x$的代数式表示$y$是.
答案
$y = 4x - 1$
解析
由$4x - y - 1 = 0$，移项可得$-y = -4x + 1$，两边同时乘以$-1$，得$y = 4x - 1$。
6. 已知式子$\dfrac{1}{2}x^{a - 1}y^{3}$与$- 3x^{- b}y^{2a + b}$是同类项，那么$a$的值为，$b$的值为.
答案
因为同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
已知$\dfrac{1}{2}x^{a - 1}y^{3}$与$- 3x^{- b}y^{2a + b}$是同类项，所以可得方程组：
$\begin{cases}a - 1 = -b \\ 3 = 2a + b\end{cases}$
由第一个方程$a - 1 = -b$可得$b = 1 - a$，将其代入第二个方程$3 = 2a + b$中：
$3 = 2a + (1 - a)$
$3 = 2a + 1 - a$
$3 - 1 = a$
$a = 2$
将$a = 2$代入$b = 1 - a$，得$b = 1 - 2 = -1$
所以$a$的值为$2$，$b$的值为$-1$。
2；-1
已知$\dfrac{1}{2}x^{a - 1}y^{3}$与$- 3x^{- b}y^{2a + b}$是同类项，所以可得方程组：
$\begin{cases}a - 1 = -b \\ 3 = 2a + b\end{cases}$
由第一个方程$a - 1 = -b$可得$b = 1 - a$，将其代入第二个方程$3 = 2a + b$中：
$3 = 2a + (1 - a)$
$3 = 2a + 1 - a$
$3 - 1 = a$
$a = 2$
将$a = 2$代入$b = 1 - a$，得$b = 1 - 2 = -1$
所以$a$的值为$2$，$b$的值为$-1$。
2；-1
