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4. (2024·淮北)下列各组数中,相等的一组是( )
A.$ -(-1) $ 与 $ -|-1| $
B.$ -3^{2} $ 与 $ (-3)^{2} $
C.$ (-4)^{3} $ 与 $ -4^{3} $
D.$ \frac{2^{2}}{3} $ 与 $ \left(\frac{2}{3}\right)^{2} $
A.$ -(-1) $ 与 $ -|-1| $
B.$ -3^{2} $ 与 $ (-3)^{2} $
C.$ (-4)^{3} $ 与 $ -4^{3} $
D.$ \frac{2^{2}}{3} $ 与 $ \left(\frac{2}{3}\right)^{2} $
答案
C
解析
【分析】
本题考查有理数的相关运算，解题思路是分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比结果是否相等，即可选出正确答案。计算时要注意乘方的运算顺序：有括号先算括号里的，无括号时乘方优先级高于负号，同时要掌握去括号、绝对值化简的规则。
【解析】
我们逐一计算各选项的两个式子：
A选项：$-(-1)=1$，$-|-1|=-1$，$1≠-1$，两数不相等，排除A；
B选项：$-3^2=-9$（先算$3^2=9$，再添加负号），$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，两数不相等，排除B；
C选项：$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，$-4^3=-(4×4×4)=-64$，两数相等，符合要求；
D选项：$\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$，$(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$\frac{4}{3}≠\frac{4}{9}$，两数不相等，排除D。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值化简，符号化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是区分乘方运算中底数带括号和不带括号的运算差异，运算时要严格遵循运算顺序，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的相关运算，解题思路是分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比结果是否相等，即可选出正确答案。计算时要注意乘方的运算顺序：有括号先算括号里的，无括号时乘方优先级高于负号，同时要掌握去括号、绝对值化简的规则。
【解析】
我们逐一计算各选项的两个式子：
A选项：$-(-1)=1$，$-|-1|=-1$，$1≠-1$，两数不相等，排除A；
B选项：$-3^2=-9$（先算$3^2=9$，再添加负号），$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，两数不相等，排除B；
C选项：$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，$-4^3=-(4×4×4)=-64$，两数相等，符合要求；
D选项：$\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$，$(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$\frac{4}{3}≠\frac{4}{9}$，两数不相等，排除D。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，绝对值化简，符号化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是区分乘方运算中底数带括号和不带括号的运算差异，运算时要严格遵循运算顺序，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.8
5. 比较大小：$ -\left|-\frac{8}{3}\right| $______$ -\left(\frac{3}{2}\right)^{2} $(选填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”).
答案
＜
解析
【分析】
要比较两个含符号、绝对值、乘方的有理数的大小，可按如下思路解题：第一步先分别化简两个数，得到最简形式；第二步回忆两个负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的数反而小；第三步分别计算两个化简后负数的绝对值，比较绝对值的大小，再反向推导原数的大小关系即可。
【解析】
先分别化简两个数：
1. 化简左边的数：$ -\left|-\frac{8}{3}\right| $，先计算绝对值，$\left|-\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$，因此左边的结果为$ -\frac{8}{3} $。
2. 化简右边的数：$ -(\frac{3}{2})^{2} $，先计算乘方，$(\frac{3}{2})^{2}=\frac{3}{2}×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$，因此右边的结果为$ -\frac{9}{4} $。
接下来比较$ -\frac{8}{3} $和$ -\frac{9}{4} $的大小：
先通分求两个数的绝对值：$\left|-\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}=\frac{32}{12}$，$\left|-\frac{9}{4}\right|=\frac{9}{4}=\frac{27}{12}$。
因为$\frac{32}{12}＞\frac{27}{12}$，即$\left|-\frac{8}{3}\right|＞\left|-\frac{9}{4}\right|$，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$ -\frac{8}{3}＜-\frac{9}{4} $。
【答案】
＜
【知识点】
绝对值化简，有理数乘方运算，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题核心是先正确计算绝对值、乘方，将两个数化简后再利用负数比较大小的规则判断，需注意符号处理不要出错。
【难度系数】
0.8
要比较两个含符号、绝对值、乘方的有理数的大小，可按如下思路解题：第一步先分别化简两个数，得到最简形式；第二步回忆两个负数比较大小的规则：两个负数比较，绝对值大的数反而小；第三步分别计算两个化简后负数的绝对值，比较绝对值的大小，再反向推导原数的大小关系即可。
【解析】
先分别化简两个数：
1. 化简左边的数：$ -\left|-\frac{8}{3}\right| $，先计算绝对值，$\left|-\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}$，因此左边的结果为$ -\frac{8}{3} $。
2. 化简右边的数：$ -(\frac{3}{2})^{2} $，先计算乘方，$(\frac{3}{2})^{2}=\frac{3}{2}×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$，因此右边的结果为$ -\frac{9}{4} $。
接下来比较$ -\frac{8}{3} $和$ -\frac{9}{4} $的大小：
先通分求两个数的绝对值：$\left|-\frac{8}{3}\right|=\frac{8}{3}=\frac{32}{12}$，$\left|-\frac{9}{4}\right|=\frac{9}{4}=\frac{27}{12}$。
因为$\frac{32}{12}＞\frac{27}{12}$，即$\left|-\frac{8}{3}\right|＞\left|-\frac{9}{4}\right|$，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$ -\frac{8}{3}＜-\frac{9}{4} $。
【答案】
＜
【知识点】
绝对值化简，有理数乘方运算，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题核心是先正确计算绝对值、乘方，将两个数化简后再利用负数比较大小的规则判断，需注意符号处理不要出错。
【难度系数】
0.8
【例 3】有一种纸的厚度为 $ 0.1 $ mm,若拿两张重叠在一起,将它对折 $ 1 $ 次后,厚度为 $ 2^{2} × 0.1 $ mm.
(1)对折 $ 2 $ 次后,厚度为多少毫米？
(2)对折 $ 6 $ 次后,厚度为多少毫米？
(1)对折 $ 2 $ 次后,厚度为多少毫米？
(2)对折 $ 6 $ 次后,厚度为多少毫米？
答案
解:
(1)$2×2^{2}×0.1=0.8(mm).$
答:对折2次后,厚度为0.8 mm.
(2)$2^{5}×2^{2}×0.1=12.8(mm).$
答:对折6次后,厚度为12.8 mm.
(1)$2×2^{2}×0.1=0.8(mm).$
答:对折2次后,厚度为0.8 mm.
(2)$2^{5}×2^{2}×0.1=12.8(mm).$
答:对折6次后,厚度为12.8 mm.
解析
【分析】
首先明确纸张对折的厚度变化规律：每对折1次，纸张的厚度会变为对折前的2倍。题目已知两张重叠对折1次后的厚度为$2^{2} × 0.1$mm，那么（1）对折2次就是在对折1次的厚度基础上再乘2，代入数值计算即可；（2）对折6次相当于在对折1次的基础上再对折5次，也就是厚度要乘$2^5$，再结合乘方的运算规则计算就能得到结果。
【解析】
(1) 对折2次时，厚度为对折1次厚度的2倍，列式计算：
$2×2^{2}×0.1=8×0.1=0.8(\mathrm{mm})$
答：对折2次后，厚度为0.8 mm。
(2) 对折6次时，厚度为对折1次厚度的$2^5$倍，列式计算：
$2^{5}×2^{2}×0.1=32×4×0.1=128×0.1=12.8(\mathrm{mm})$
答：对折6次后，厚度为12.8 mm。
【答案】
(1)0.8 mm；(2)12.8 mm
【知识点】
有理数的乘方运算，乘方的实际应用
【点评】
本题结合生活中纸张对折的场景考查乘方的相关计算，解题核心是抓住“每对折一次厚度翻倍”的规律，再结合乘方运算法则计算即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先明确纸张对折的厚度变化规律：每对折1次，纸张的厚度会变为对折前的2倍。题目已知两张重叠对折1次后的厚度为$2^{2} × 0.1$mm，那么（1）对折2次就是在对折1次的厚度基础上再乘2，代入数值计算即可；（2）对折6次相当于在对折1次的基础上再对折5次，也就是厚度要乘$2^5$，再结合乘方的运算规则计算就能得到结果。
【解析】
(1) 对折2次时，厚度为对折1次厚度的2倍，列式计算：
$2×2^{2}×0.1=8×0.1=0.8(\mathrm{mm})$
答：对折2次后，厚度为0.8 mm。
(2) 对折6次时，厚度为对折1次厚度的$2^5$倍，列式计算：
$2^{5}×2^{2}×0.1=32×4×0.1=128×0.1=12.8(\mathrm{mm})$
答：对折6次后，厚度为12.8 mm。
【答案】
(1)0.8 mm；(2)12.8 mm
【知识点】
有理数的乘方运算，乘方的实际应用
【点评】
本题结合生活中纸张对折的场景考查乘方的相关计算，解题核心是抓住“每对折一次厚度翻倍”的规律，再结合乘方运算法则计算即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
根据对折规律,每对折一次,厚度是前一次的 $ 2 $ 倍,所以对折 $ n $ 次后,厚度为对折前的 $ 2^{n} $ 倍.
答案
答：设纸张初始厚度为 $h$，
对折 $n$ 次后，厚度为 $h × 2^{n}$。
对折 $n$ 次后，厚度为 $h × 2^{n}$。
解析
【分析】
解题采用从特殊到一般的归纳思路：首先设定纸张初始厚度为基准，再分析少量对折次数的厚度规律：每对折1次厚度就变为原来的2倍，对折1次厚度是初始厚度乘1个2，对折2次是乘2个2，对折3次是乘3个2，以此类推，对折n次就是乘n个2（即乘$2^n$），即可推导得到对折n次后的厚度表达式。
【解析】
解：设纸张的初始厚度为$h$。
对折1次后，厚度为$h×2=h×2^1$；
对折2次后，厚度为$h×2×2=h×2^2$；
对折3次后，厚度为$h×2×2×2=h×2^3$；
……
依此类推，对折$n$次后，厚度为$h×2^n$。
【答案】
设纸张初始厚度为 $h$，对折 $n$ 次后，厚度为 $h × 2^{n}$。
【知识点】
有理数的乘方，规律探究
【点评】
本题结合生活中常见的纸张对折场景考查乘方的意义，通过从特殊到一般的归纳思维推导通用规律，能帮助学生直观理解乘方的指数增长特点。
【难度系数】
0.8
解题采用从特殊到一般的归纳思路：首先设定纸张初始厚度为基准，再分析少量对折次数的厚度规律：每对折1次厚度就变为原来的2倍，对折1次厚度是初始厚度乘1个2，对折2次是乘2个2，对折3次是乘3个2，以此类推，对折n次就是乘n个2（即乘$2^n$），即可推导得到对折n次后的厚度表达式。
【解析】
解：设纸张的初始厚度为$h$。
对折1次后，厚度为$h×2=h×2^1$；
对折2次后，厚度为$h×2×2=h×2^2$；
对折3次后，厚度为$h×2×2×2=h×2^3$；
……
依此类推，对折$n$次后，厚度为$h×2^n$。
【答案】
设纸张初始厚度为 $h$，对折 $n$ 次后，厚度为 $h × 2^{n}$。
【知识点】
有理数的乘方，规律探究
【点评】
本题结合生活中常见的纸张对折场景考查乘方的意义，通过从特殊到一般的归纳思维推导通用规律，能帮助学生直观理解乘方的指数增长特点。
【难度系数】
0.8
6. 一根 $ 1 $ m 长的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如此剪下去,剪九次后剩下的绳子的长度为( )
A.$ \left(\frac{1}{2}\right)^{6} $ m
B.$ \left(\frac{1}{2}\right)^{7} $ m
C.$ \left(\frac{1}{2}\right)^{8} $ m
D.$ \left(\frac{1}{2}\right)^{9} $ m
A.$ \left(\frac{1}{2}\right)^{6} $ m
B.$ \left(\frac{1}{2}\right)^{7} $ m
C.$ \left(\frac{1}{2}\right)^{8} $ m
D.$ \left(\frac{1}{2}\right)^{9} $ m
答案
D
解析
【分析】
我们可以通过从少量次数的裁剪结果入手，寻找剩余长度和裁剪次数之间的规律，再利用规律求解剪9次后的剩余长度。首先明确每次剪去剩下的一半，意味着每次裁剪后剩余的长度都是裁剪前的$\frac{1}{2}$，据此逐步推导通用规律即可。
【解析】
初始绳子长度为1m：
第1次裁剪后，剩余长度为$1× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1$ m；
第2次裁剪后，剩余长度为$(\frac{1}{2})^1× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$ m；
第3次裁剪后，剩余长度为$(\frac{1}{2})^2× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3$ m；
……
由此可归纳规律：第$n$次裁剪后，剩余绳子的长度为$(\frac{1}{2})^n$ m。
当$n=9$时，剩余绳子长度为$(\frac{1}{2})^9$ m，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.有理数的乘方 2.数字规律探究
【点评】
本题是乘方在实际场景中的基础应用，解题核心是抓住“每次剩余长度为前一次的$\frac{1}{2}$”这一条件，通过归纳推导得到次数和剩余长度的关系，不需要复杂计算，掌握乘方的含义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
我们可以通过从少量次数的裁剪结果入手，寻找剩余长度和裁剪次数之间的规律，再利用规律求解剪9次后的剩余长度。首先明确每次剪去剩下的一半，意味着每次裁剪后剩余的长度都是裁剪前的$\frac{1}{2}$，据此逐步推导通用规律即可。
【解析】
初始绳子长度为1m：
第1次裁剪后，剩余长度为$1× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1$ m；
第2次裁剪后，剩余长度为$(\frac{1}{2})^1× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$ m；
第3次裁剪后，剩余长度为$(\frac{1}{2})^2× \frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3$ m；
……
由此可归纳规律：第$n$次裁剪后，剩余绳子的长度为$(\frac{1}{2})^n$ m。
当$n=9$时，剩余绳子长度为$(\frac{1}{2})^9$ m，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.有理数的乘方 2.数字规律探究
【点评】
本题是乘方在实际场景中的基础应用，解题核心是抓住“每次剩余长度为前一次的$\frac{1}{2}$”这一条件，通过归纳推导得到次数和剩余长度的关系，不需要复杂计算，掌握乘方的含义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 有一块面积为 $ 64 $ $ m^{2} $ 的正方形纸片,第一次剪掉一半,第二次剪掉剩下纸片的一半,如此继续剪下去,剪六次后剩下的纸片的面积是多少平方米？
答案
解:$64×(\frac {1}{2})^{6}=64×\frac {1}{64}=1(m^{2}).$
答:剪六次后,剩下的纸片的面积是$1m^{2}.$
答:剪六次后,剩下的纸片的面积是$1m^{2}.$
解析
【分析】
我们先分析裁剪后剩余面积的变化规律：每次剪掉一半，说明剪完后剩余的面积是裁剪前面积的$\frac{1}{2}$。第一次剪完剩余面积是原面积的$\frac{1}{2}$，第二次剪完剩余面积是原面积的$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$，以此类推，剪$n$次后剩余面积就是原面积乘$(\frac{1}{2})^n$。本题要求剪6次后的剩余面积，只需将$n=6$代入规律计算即可。
【解析】
解：由题意可知，每剪1次后剩下的纸片面积是剪之前的$\frac{1}{2}$，因此剪6次后剩下的面积为原面积乘$(\frac{1}{2})^6$，列式计算：
$64×(\frac{1}{2})^{6}=64×\frac{1}{64}=1(m^{2})$
答：剪六次后剩下的纸片的面积是$1m^{2}$。
【答案】
$1m^{2}$
【知识点】
有理数乘方运算；乘方的实际应用
【点评】
本题是乘方的基础应用类题目，解题核心是通过分析前几次裁剪的结果归纳出通用变化规律，将多次重复的乘法运算转化为乘方运算，有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
我们先分析裁剪后剩余面积的变化规律：每次剪掉一半，说明剪完后剩余的面积是裁剪前面积的$\frac{1}{2}$。第一次剪完剩余面积是原面积的$\frac{1}{2}$，第二次剪完剩余面积是原面积的$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$，以此类推，剪$n$次后剩余面积就是原面积乘$(\frac{1}{2})^n$。本题要求剪6次后的剩余面积，只需将$n=6$代入规律计算即可。
【解析】
解：由题意可知，每剪1次后剩下的纸片面积是剪之前的$\frac{1}{2}$，因此剪6次后剩下的面积为原面积乘$(\frac{1}{2})^6$，列式计算：
$64×(\frac{1}{2})^{6}=64×\frac{1}{64}=1(m^{2})$
答：剪六次后剩下的纸片的面积是$1m^{2}$。
【答案】
$1m^{2}$
【知识点】
有理数乘方运算；乘方的实际应用
【点评】
本题是乘方的基础应用类题目，解题核心是通过分析前几次裁剪的结果归纳出通用变化规律，将多次重复的乘法运算转化为乘方运算，有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
1. 计算 $ \frac{\overbrace{2 × 2 × … × 2}^{m 个 2}}{\underbrace{3 + 3 + … + 3}_{n 个 3}} $ 的值为( )
A.$ \frac{2m}{3^{n}} $
B.$ \frac{2^{m}}{3n} $
C.$ \frac{2m}{n^{3}} $
D.$ \frac{m^{2}}{3n} $
A.$ \frac{2m}{3^{n}} $
B.$ \frac{2^{m}}{3n} $
C.$ \frac{2m}{n^{3}} $
D.$ \frac{m^{2}}{3n} $
答案
B
解析
【分析】
解题时分别对分子和分母化简即可：①先处理分子：分子是m个2相乘，根据乘方的定义，求几个相同因数乘积的运算叫乘方，可将分子转化为乘方形式；②再处理分母：分母是n个3相加，根据乘法的定义，求几个相同加数和的简便运算叫乘法，可将分母转化为乘法形式；最后把化简后的分子分母组合成分式，对应选项匹配答案即可。
【解析】
1. 化简分子：根据乘方的意义，m个2连续相乘可表示为$2^m$；
2. 化简分母：根据乘法的意义，n个3连续相加可表示为$3× n=3n$；
3. 代入原式可得，该式的值为$\frac{2^m}{3n}$。
【答案】
B
【知识点】
乘方的意义；乘法的意义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分“几个相同数的和”与“几个相同数的积”的不同表示方法，避免混淆加法与乘法、乘法与乘方的概念，仔细审题就能正确作答。
【难度系数】
0.8
解题时分别对分子和分母化简即可：①先处理分子：分子是m个2相乘，根据乘方的定义，求几个相同因数乘积的运算叫乘方，可将分子转化为乘方形式；②再处理分母：分母是n个3相加，根据乘法的定义，求几个相同加数和的简便运算叫乘法，可将分母转化为乘法形式；最后把化简后的分子分母组合成分式，对应选项匹配答案即可。
【解析】
1. 化简分子：根据乘方的意义，m个2连续相乘可表示为$2^m$；
2. 化简分母：根据乘法的意义，n个3连续相加可表示为$3× n=3n$；
3. 代入原式可得，该式的值为$\frac{2^m}{3n}$。
【答案】
B
【知识点】
乘方的意义；乘法的意义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分“几个相同数的和”与“几个相同数的积”的不同表示方法，避免混淆加法与乘法、乘法与乘方的概念，仔细审题就能正确作答。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙、丙、丁 $ 4 $ 位同学,在学了有理数的乘方之后,发表了以下见解,观点正确的有( )
甲：$ 2^{5} $ 是 $ 2 $ 个 $ 5 $ 相加；
乙：$ -\left(\frac{3}{4}\right)^{3} $ 与 $ \left(-\frac{3}{4}\right)^{3} $ 有不同的结果；
丙：$ (-3)^{4} $ 的底数是 $ -3 $,指数是 $ 4 $；
丁：$ n^{4} $ 是 $ n $ 个 $ 4 $ 相乘.
A.$ 0 $ 个
B.$ 1 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 3 $ 个
甲：$ 2^{5} $ 是 $ 2 $ 个 $ 5 $ 相加；
乙：$ -\left(\frac{3}{4}\right)^{3} $ 与 $ \left(-\frac{3}{4}\right)^{3} $ 有不同的结果；
丙：$ (-3)^{4} $ 的底数是 $ -3 $,指数是 $ 4 $；
丁：$ n^{4} $ 是 $ n $ 个 $ 4 $ 相乘.
A.$ 0 $ 个
B.$ 1 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 3 $ 个
答案
B
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的相关概念，解题时首先要明确乘方的定义、底数和指数的判定规则、乘方的符号运算规律，再逐一判断4位同学的观点是否正确，统计正确观点的数量后匹配对应选项即可。
【解析】
根据乘方的相关概念逐个判断：
1. 判断甲的观点：乘方$a^n$表示$n$个$a$相乘，因此$2^5$表示5个2相乘，2个5相加是$5+5=2×5$，与$2^5$意义不同，甲的观点错误。
2. 判断乙的观点：分别计算两个式子的结果，$-(\frac{3}{4})^3 = -\frac{3^3}{4^3}=-\frac{27}{64}$；$(-\frac{3}{4})^3=(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})=-\frac{27}{64}$，两个式子结果相同，乙的观点错误。
3. 判断丙的观点：带括号的乘方，底数是括号内的整体，因此$(-3)^4$的底数是$-3$，指数是4，丙的观点正确。
4. 判断丁的观点：$n^4$表示4个$n$相乘，$n$个4相乘是$4^n$，二者意义不同，丁的观点错误。
综上，只有丙的观点正确，共1个正确观点。
【答案】
B
【知识点】
乘方的定义，底数与指数识别，乘方符号法则
【点评】
本题侧重对乘方基础概念的考查，易错点在于混淆乘方的意义、忽略负数或分数乘方中括号对底数的影响，掌握乘方的核心定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘方的相关概念，解题时首先要明确乘方的定义、底数和指数的判定规则、乘方的符号运算规律，再逐一判断4位同学的观点是否正确，统计正确观点的数量后匹配对应选项即可。
【解析】
根据乘方的相关概念逐个判断：
1. 判断甲的观点：乘方$a^n$表示$n$个$a$相乘，因此$2^5$表示5个2相乘，2个5相加是$5+5=2×5$，与$2^5$意义不同，甲的观点错误。
2. 判断乙的观点：分别计算两个式子的结果，$-(\frac{3}{4})^3 = -\frac{3^3}{4^3}=-\frac{27}{64}$；$(-\frac{3}{4})^3=(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{4})=-\frac{27}{64}$，两个式子结果相同，乙的观点错误。
3. 判断丙的观点：带括号的乘方，底数是括号内的整体，因此$(-3)^4$的底数是$-3$，指数是4，丙的观点正确。
4. 判断丁的观点：$n^4$表示4个$n$相乘，$n$个4相乘是$4^n$，二者意义不同，丁的观点错误。
综上，只有丙的观点正确，共1个正确观点。
【答案】
B
【知识点】
乘方的定义，底数与指数识别，乘方符号法则
【点评】
本题侧重对乘方基础概念的考查，易错点在于混淆乘方的意义、忽略负数或分数乘方中括号对底数的影响，掌握乘方的核心定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
3. $ (-5)^{3} $ 的意义是______,$ -5^{3} $ 的意义是______.
答案
3个-5相乘 5的3次方的相反数
解析
【分析】
解题时先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，记作$a^n$，表示n个a相乘。解题的核心是准确判定两个式子的底数：①对于带括号的$(-5)^3$，括号内的-5是整体作为底数；②对于不带括号的$-5^3$，乘方的运算优先级高于负号，底数是正的5，负号是在乘方运算之后添加的。根据底数和指数就能明确两个式子的意义。
【解析】
根据乘方的定义分析两个式子：
1. $(-5)^3$的底数是$-5$，指数是3，因此它的意义是3个$-5$相乘；
2. $-5^3$的运算顺序为先计算$5^3$，再取计算结果的相反数，因此它的意义是5的3次方的相反数。
【答案】
3个-5相乘；5的3次方的相反数
【知识点】
乘方的意义；乘方底数判定
【点评】
本题是乘方部分的基础题型，核心考查对乘方意义的理解，易错点是混淆带括号和不带括号的负数乘方的底数，只要明确括号的作用是确定整体底数，就能避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，记作$a^n$，表示n个a相乘。解题的核心是准确判定两个式子的底数：①对于带括号的$(-5)^3$，括号内的-5是整体作为底数；②对于不带括号的$-5^3$，乘方的运算优先级高于负号，底数是正的5，负号是在乘方运算之后添加的。根据底数和指数就能明确两个式子的意义。
【解析】
根据乘方的定义分析两个式子：
1. $(-5)^3$的底数是$-5$，指数是3，因此它的意义是3个$-5$相乘；
2. $-5^3$的运算顺序为先计算$5^3$，再取计算结果的相反数，因此它的意义是5的3次方的相反数。
【答案】
3个-5相乘；5的3次方的相反数
【知识点】
乘方的意义；乘方底数判定
【点评】
本题是乘方部分的基础题型，核心考查对乘方意义的理解，易错点是混淆带括号和不带括号的负数乘方的底数，只要明确括号的作用是确定整体底数，就能避免出错。
【难度系数】
0.8
4. 已知有理数 $ x $,$ y $,若 $ |x| = 3 $,$ |y| = 2 $,且 $ x ＜ 0 ＜ y $,则 $ x^{y} = $______.
答案
9
解析
【分析】
解题时可按照三步思考：第一步，根据绝对值的性质，先求出x、y的所有可能取值，绝对值等于正数的数有两个，分别是这个正数和它的相反数；第二步，结合题目给出的$x＜0＜y$的正负限制，筛选出符合要求的x、y的具体值；第三步，将确定的x、y代入$x^y$中，按照有理数乘方的运算规则计算即可，注意负数的偶次幂结果为正。
【解析】
解：$\because |x|=3$
$\therefore x=3$或$x=-3$
$\because |y|=2$
$\therefore y=2$或$y=-2$
又$\because x＜0＜y$
$\therefore x$取负数，即$x=-3$；$y$取正数，即$y=2$
将$x=-3$，$y=2$代入得：
$x^y=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
绝对值的性质、有理数的乘方运算
【点评】
本题侧重基础能力考查，解题关键是结合已知条件准确确定x、y的取值，计算乘方时要注意区分负数的偶次幂和奇次幂的符号差异，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时可按照三步思考：第一步，根据绝对值的性质，先求出x、y的所有可能取值，绝对值等于正数的数有两个，分别是这个正数和它的相反数；第二步，结合题目给出的$x＜0＜y$的正负限制，筛选出符合要求的x、y的具体值；第三步，将确定的x、y代入$x^y$中，按照有理数乘方的运算规则计算即可，注意负数的偶次幂结果为正。
【解析】
解：$\because |x|=3$
$\therefore x=3$或$x=-3$
$\because |y|=2$
$\therefore y=2$或$y=-2$
又$\because x＜0＜y$
$\therefore x$取负数，即$x=-3$；$y$取正数，即$y=2$
将$x=-3$，$y=2$代入得：
$x^y=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
绝对值的性质、有理数的乘方运算
【点评】
本题侧重基础能力考查，解题关键是结合已知条件准确确定x、y的取值，计算乘方时要注意区分负数的偶次幂和奇次幂的符号差异，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
5. 填空：
(1)$ \left(-\frac{1}{3}\right)^{2} = $______；
(2)$ (-7)^{3} = $______；
(3)$ (-0.2)^{3} = $______；
(4)$ -2^{4} = $______；
(5)$ -(-3)^{3} = $______.
(1)$ \left(-\frac{1}{3}\right)^{2} = $______；
(2)$ (-7)^{3} = $______；
(3)$ (-0.2)^{3} = $______；
(4)$ -2^{4} = $______；
(5)$ -(-3)^{3} = $______.
答案
(1)$\frac {1}{9}$
(2)-343
(3)-0.008
(4)-16
(5)27
解析
【分析】
解题时先回忆有理数乘方的相关规则：①乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘；②符号法则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，正数的任何次幂都是正；③注意区分带括号和不带括号的乘方的底数区别，如$-2^4$的底数是2，是2的4次方的相反数，而$(-2)^4$的底数是-2。计算时先确定每道题结果的符号，再计算绝对值的乘方即可。
【解析】
(1) $(-\frac{1}{3})^{2}$是2个$-\frac{1}{3}$相乘，负数的偶次幂为正，所以$(-\frac{1}{3})^{2}=(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$；
(2) $(-7)^{3}$是3个$-7$相乘，负数的奇次幂为负，所以$(-7)^{3}=-7^{3}=-(7×7×7)=-343$；
(3) $(-0.2)^{3}$是3个$-0.2$相乘，负数的奇次幂为负，所以$(-0.2)^{3}=-0.2^{3}=-(0.2×0.2×0.2)=-0.008$；
(4) $-2^{4}$表示$2^{4}$的相反数，底数为2，所以$-2^{4}=-(2×2×2×2)=-16$；
(5) 先算乘方部分：$(-3)^{3}$是3个$-3$相乘，结果为$-27$，再算外面的负号，所以$-(-3)^{3}=-(-27)=27$。
【答案】
(1)$\frac{1}{9}$；(2)$-343$；(3)$-0.008$；(4)$-16$；(5)$27$
【知识点】
有理数乘方运算、乘方符号法则、运算优先级
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，易错点在于混淆带括号和不带括号的负号乘方的底数，计算时遵循“先定符号，再算绝对值”的顺序，能有效避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆有理数乘方的相关规则：①乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘；②符号法则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，正数的任何次幂都是正；③注意区分带括号和不带括号的乘方的底数区别，如$-2^4$的底数是2，是2的4次方的相反数，而$(-2)^4$的底数是-2。计算时先确定每道题结果的符号，再计算绝对值的乘方即可。
【解析】
(1) $(-\frac{1}{3})^{2}$是2个$-\frac{1}{3}$相乘，负数的偶次幂为正，所以$(-\frac{1}{3})^{2}=(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$；
(2) $(-7)^{3}$是3个$-7$相乘，负数的奇次幂为负，所以$(-7)^{3}=-7^{3}=-(7×7×7)=-343$；
(3) $(-0.2)^{3}$是3个$-0.2$相乘，负数的奇次幂为负，所以$(-0.2)^{3}=-0.2^{3}=-(0.2×0.2×0.2)=-0.008$；
(4) $-2^{4}$表示$2^{4}$的相反数，底数为2，所以$-2^{4}=-(2×2×2×2)=-16$；
(5) 先算乘方部分：$(-3)^{3}$是3个$-3$相乘，结果为$-27$，再算外面的负号，所以$-(-3)^{3}=-(-27)=27$。
【答案】
(1)$\frac{1}{9}$；(2)$-343$；(3)$-0.008$；(4)$-16$；(5)$27$
【知识点】
有理数乘方运算、乘方符号法则、运算优先级
【点评】
本题是有理数乘方的基础运算题，易错点在于混淆带括号和不带括号的负号乘方的底数，计算时遵循“先定符号，再算绝对值”的顺序，能有效避免符号错误。
【难度系数】
0.8
6. 水葫芦是一种水生漂浮植物,有着惊人的繁殖能力. 据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的. 若在适宜的条件下,$ 1 $ 株水葫芦每 $ 5 $ 天就能繁殖 $ 1 $ 株(不考虑死亡、被打捞等其他因素).
(1)假设湖面上现有 $ 1 $ 株水葫芦,填写下表；
| 天数 | $ 5 $ | $ 10 $ | $ 15 $ | …$ $ | $ 25 $ | …$ $ | $ 5n $ |
| 总株数 | $ 2 $ | $ 4 $ | | …$ $ | | …$ $ | |
(2)假定某个水域的水葫芦维持在 $ 1280 $ 株以内对水质净化有益. 若现有 $ 10 $ 株水葫芦,请你计算,按照上述生长速度,多少天时该水域将有 $ 1280 $ 株水葫芦？
(1)假设湖面上现有 $ 1 $ 株水葫芦,填写下表；
| 天数 | $ 5 $ | $ 10 $ | $ 15 $ | …$ $ | $ 25 $ | …$ $ | $ 5n $ |
| 总株数 | $ 2 $ | $ 4 $ | | …$ $ | | …$ $ | |
(2)假定某个水域的水葫芦维持在 $ 1280 $ 株以内对水质净化有益. 若现有 $ 10 $ 株水葫芦,请你计算,按照上述生长速度,多少天时该水域将有 $ 1280 $ 株水葫芦？
答案
解:
(1)8 32 $2^{n}$
(2)根据题意,得$10×2^{n}=1280,$
解得$n=7,7×5=35$(天).
答:按照上述生长速度,35天时该水域将有1280株水葫芦.
(1)8 32 $2^{n}$
(2)根据题意,得$10×2^{n}=1280,$
解得$n=7,7×5=35$(天).
答:按照上述生长速度,35天时该水域将有1280株水葫芦.
解析
【分析】
（1）先梳理水葫芦的繁殖规律：每5天繁殖1株，即每经过5天总株数变为原来的2倍。我们将天数换算为“5天的个数”，总株数就是2的对应次方，按此规律依次计算对应天数的总株数即可。
（2）第二问先明确初始株数为10株，经过n个5天后总株数为初始株数乘2的n次方，结合总株数为1280的条件列等式，求出n的值后乘5即可得到总天数。
【解析】
(1) 观察已知数据找规律：
天数为5天（1个5天）时，总株数=$2^1=2$；
天数为10天（2个5天）时，总株数=$2^2=4$；
天数为15天（3个5天）时，总株数=$2^3=8$；
天数为25天（5个5天）时，总株数=$2^5=32$；
天数为5n天（n个5天）时，总株数=$2^n$。
(2) 设经过$n$个5天，该水域水葫芦数量达到1280株。
根据繁殖规律列方程：
$10×2^n=1280$
等式两边同时除以10，得$2^n=128$，
因为$2^7=128$，所以$n=7$，
总天数为$7×5=35$（天）。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；$\boxed{32}$；$\boxed{2^n}$
(2) $\boxed{35}$天
【知识点】
有理数乘方；规律探究；乘方的实际应用
【点评】
本题结合水葫芦繁殖的实际情境考查乘方相关知识，解题核心是先梳理出株数每5天翻一倍的增长规律，再根据等量关系列式求解，能有效锻炼学生发现规律、应用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
（1）先梳理水葫芦的繁殖规律：每5天繁殖1株，即每经过5天总株数变为原来的2倍。我们将天数换算为“5天的个数”，总株数就是2的对应次方，按此规律依次计算对应天数的总株数即可。
（2）第二问先明确初始株数为10株，经过n个5天后总株数为初始株数乘2的n次方，结合总株数为1280的条件列等式，求出n的值后乘5即可得到总天数。
【解析】
(1) 观察已知数据找规律：
天数为5天（1个5天）时，总株数=$2^1=2$；
天数为10天（2个5天）时，总株数=$2^2=4$；
天数为15天（3个5天）时，总株数=$2^3=8$；
天数为25天（5个5天）时，总株数=$2^5=32$；
天数为5n天（n个5天）时，总株数=$2^n$。
(2) 设经过$n$个5天，该水域水葫芦数量达到1280株。
根据繁殖规律列方程：
$10×2^n=1280$
等式两边同时除以10，得$2^n=128$，
因为$2^7=128$，所以$n=7$，
总天数为$7×5=35$（天）。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；$\boxed{32}$；$\boxed{2^n}$
(2) $\boxed{35}$天
【知识点】
有理数乘方；规律探究；乘方的实际应用
【点评】
本题结合水葫芦繁殖的实际情境考查乘方相关知识，解题核心是先梳理出株数每5天翻一倍的增长规律，再根据等量关系列式求解，能有效锻炼学生发现规律、应用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
