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1. 乘方及其相关概念：求 $ n $ 个______的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作______. 在 $ a^{n} $ 中,$ a $ 叫作______,$ n $ 叫作______,当 $ a^{n} $ 看作 $ a $ 的 $ n $ 次方的结果时,也可读作“$ a $ 的 $ n $ 次幂”.
答案
相同乘数 幂 底数 指数
解析
【分析】
这道题考查乘方相关基础概念的识记，解题时只需回忆教材中乘方的定义、乘方各组成部分的名称，依次对应空缺位置填写即可。首先回忆乘方的运算本质：它是多个相同数相乘的简便运算，因此第一个空对应“相同乘数”；乘方运算的结果有专门命名，即“幂”；再明确乘方表达式$a^n$中各部分的称呼，位于下方的$a$是底数，位于右上角的$n$是指数，依次对应剩余空缺即可。
【解析】
根据乘方的相关概念：求$n$个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在$a^n$中，$a$叫作底数，$n$叫作指数。据此依次填入对应内容即可。
【答案】
相同乘数 幂 底数 指数
【知识点】
乘方的概念；乘方各部分名称
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，主要考查对乘方核心基础概念的掌握情况，熟练记忆课本相关定义即可快速作答，是乘方章节的入门基础题。
【难度系数】
0.9
这道题考查乘方相关基础概念的识记，解题时只需回忆教材中乘方的定义、乘方各组成部分的名称，依次对应空缺位置填写即可。首先回忆乘方的运算本质：它是多个相同数相乘的简便运算，因此第一个空对应“相同乘数”；乘方运算的结果有专门命名，即“幂”；再明确乘方表达式$a^n$中各部分的称呼，位于下方的$a$是底数，位于右上角的$n$是指数，依次对应剩余空缺即可。
【解析】
根据乘方的相关概念：求$n$个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在$a^n$中，$a$叫作底数，$n$叫作指数。据此依次填入对应内容即可。
【答案】
相同乘数 幂 底数 指数
【知识点】
乘方的概念；乘方各部分名称
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，主要考查对乘方核心基础概念的掌握情况，熟练记忆课本相关定义即可快速作答，是乘方章节的入门基础题。
【难度系数】
0.9
2. 负数的奇次幂是______数,负数的偶次幂是______数. 正数的任何次幂都是______数,$ 0 $ 的任何正整数次幂都是______. 即当 $ n $ 为奇数时,$ (-a)^{n}= -a^{n} $；当 $ n $ 为偶数时,$ (-a)^{n}= a^{n} $.
答案
负 正 正 0
解析
【分析】
我们可以结合乘方的本质和有理数乘法的符号规律来思考：乘方是n个相同因数的乘法运算。首先回忆有理数乘法的符号判定规则：几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正。由此推导：负数的奇次幂对应奇数个负数相乘，结果为负；负数的偶次幂对应偶数个负数相乘，结果为正。其次，正数相乘无论多少个，结果都是正数，因此正数的任何次幂都是正数。最后，0和任何数相乘都得0，因此0的正整数次幂都是若干个0相乘，结果为0，也可结合题目给出的$(-a)^n$的规律验证结论。
【解析】
根据乘方的定义与有理数运算规则分析：
1. 负数的奇次幂是奇数个负数相乘，负因数个数为奇数，乘积符号为负，因此第一空填负；
2. 负数的偶次幂是偶数个负数相乘，负因数个数为偶数，乘积符号为正，因此第二空填正；
3. 正数的任何次幂都是若干个正数相乘，乘积恒为正数，因此第三空填正；
4. 0的任何正整数次幂表示多个0相乘，结果为0，因此第四空填0。
【答案】
负 正 正 0
【知识点】
有理数乘方的性质、有理数乘法符号法则
【点评】
本题是对有理数乘方基础性质的直接考查，属于识记类基础题，熟练掌握乘方的符号规律是解题的关键，也是后续学习有理数混合运算的必备基础。
【难度系数】
0.9
我们可以结合乘方的本质和有理数乘法的符号规律来思考：乘方是n个相同因数的乘法运算。首先回忆有理数乘法的符号判定规则：几个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正。由此推导：负数的奇次幂对应奇数个负数相乘，结果为负；负数的偶次幂对应偶数个负数相乘，结果为正。其次，正数相乘无论多少个，结果都是正数，因此正数的任何次幂都是正数。最后，0和任何数相乘都得0，因此0的正整数次幂都是若干个0相乘，结果为0，也可结合题目给出的$(-a)^n$的规律验证结论。
【解析】
根据乘方的定义与有理数运算规则分析：
1. 负数的奇次幂是奇数个负数相乘，负因数个数为奇数，乘积符号为负，因此第一空填负；
2. 负数的偶次幂是偶数个负数相乘，负因数个数为偶数，乘积符号为正，因此第二空填正；
3. 正数的任何次幂都是若干个正数相乘，乘积恒为正数，因此第三空填正；
4. 0的任何正整数次幂表示多个0相乘，结果为0，因此第四空填0。
【答案】
负 正 正 0
【知识点】
有理数乘方的性质、有理数乘法符号法则
【点评】
本题是对有理数乘方基础性质的直接考查，属于识记类基础题，熟练掌握乘方的符号规律是解题的关键，也是后续学习有理数混合运算的必备基础。
【难度系数】
0.9
【例 1】下列说法正确的是( )
A.$ -2^{8} $ 的底数是 $ -2 $
B.$ 2^{5} $ 表示 $ 5 $ 个 $ 2 $ 相加
C.$ (-3)^{3} $ 与 $ -3^{3} $ 意义相同
D.$ -\frac{2^{3}}{3} $ 的底数是 $ 2 $
易混辨析
$ (-a)^{n} $ 与 $ -a^{n} $ 的区别
$ (-a)^{n} $ 表示 $ n $ 个 $ -a $ 相乘,$ -a^{n} $ 表示 $ n $ 个 $ a $ 相乘的相反数.
注意：当底数是分数或负数时,一定要用括号括起来.
A.$ -2^{8} $ 的底数是 $ -2 $
B.$ 2^{5} $ 表示 $ 5 $ 个 $ 2 $ 相加
C.$ (-3)^{3} $ 与 $ -3^{3} $ 意义相同
D.$ -\frac{2^{3}}{3} $ 的底数是 $ 2 $
易混辨析
$ (-a)^{n} $ 与 $ -a^{n} $ 的区别
$ (-a)^{n} $ 表示 $ n $ 个 $ -a $ 相乘,$ -a^{n} $ 表示 $ n $ 个 $ a $ 相乘的相反数.
注意：当底数是分数或负数时,一定要用括号括起来.
答案
D
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的基础概念，解题思路如下：首先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的形式为$a^n$，其中a是底数，n是指数；其次明确核心易混点：当底数是负数或分数时必须加括号，$(-a)^n$和$-a^n$的意义完全不同，前者底数是$-a$，后者底数是$a$，是$a^n$的相反数。接下来逐一分析每个选项的正误即可得出答案。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$-2^8$没有给$-2$加括号，实际表示的是$2^8$的相反数，底数是2，不是$-2$，故A错误；
B选项：根据乘方的意义，$2^5$表示5个2相乘，5个2相加是$2×5$，故B错误；
C选项：$(-3)^3$表示3个$-3$相乘，底数是$-3$；$-3^3$表示3个3相乘的相反数，底数是3，二者意义不同，故C错误；
D选项：$-\frac{2^3}{3}$中，乘方部分是$2^3$，底数是2，负号和分母3都不属于乘方的底数部分，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义，底数的判定，$(-a)^n$与$-a^n$的区别
【点评】
本题是乘方概念的基础考查题，易错点是容易混淆带括号和不带括号的乘方的底数、意义，只要牢记乘方的书写规则：底数为负数、分数时必须加括号，就能轻松区分易混表述，做出正确判断。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘方的基础概念，解题思路如下：首先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的形式为$a^n$，其中a是底数，n是指数；其次明确核心易混点：当底数是负数或分数时必须加括号，$(-a)^n$和$-a^n$的意义完全不同，前者底数是$-a$，后者底数是$a$，是$a^n$的相反数。接下来逐一分析每个选项的正误即可得出答案。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$-2^8$没有给$-2$加括号，实际表示的是$2^8$的相反数，底数是2，不是$-2$，故A错误；
B选项：根据乘方的意义，$2^5$表示5个2相乘，5个2相加是$2×5$，故B错误；
C选项：$(-3)^3$表示3个$-3$相乘，底数是$-3$；$-3^3$表示3个3相乘的相反数，底数是3，二者意义不同，故C错误；
D选项：$-\frac{2^3}{3}$中，乘方部分是$2^3$，底数是2，负号和分母3都不属于乘方的底数部分，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义，底数的判定，$(-a)^n$与$-a^n$的区别
【点评】
本题是乘方概念的基础考查题，易错点是容易混淆带括号和不带括号的乘方的底数、意义，只要牢记乘方的书写规则：底数为负数、分数时必须加括号，就能轻松区分易混表述，做出正确判断。
【难度系数】
0.7
1. 将 $ (-8) × (-8) × (-8) $ 写成幂的形式,底数是( )
A.$ 3 $
B.$ 8 $
C.$ -8 $
D.$ (-8)^{3} $
A.$ 3 $
B.$ 8 $
C.$ -8 $
D.$ (-8)^{3} $
答案
C
解析
【分析】
首先回忆乘方的定义：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，n个相同因数a相乘可记作$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数。解题时先找到题目中重复相乘的相同因数：题目是3个$(-8)$相乘，因此相同因数为$-8$，对应幂的底数就是这个相同因数，即可选出正确答案。要注意如果负数作为底数，必须给负数加上括号，避免和“负的正数的乘方”混淆。
【解析】
根据乘方的定义：n个相同因数$a$相乘，记为$a^n$，其中$a$叫做底数，$n$叫做指数。
本题中是3个$(-8)$相乘，即相同因数为$-8$，写成幂的形式为$(-8)^3$，因此底数是$-8$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的定义，幂的相关概念
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对乘方中底数概念的理解，需要注意当负数或分数作为底数时，一定要将整体加上括号，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
首先回忆乘方的定义：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，n个相同因数a相乘可记作$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数。解题时先找到题目中重复相乘的相同因数：题目是3个$(-8)$相乘，因此相同因数为$-8$，对应幂的底数就是这个相同因数，即可选出正确答案。要注意如果负数作为底数，必须给负数加上括号，避免和“负的正数的乘方”混淆。
【解析】
根据乘方的定义：n个相同因数$a$相乘，记为$a^n$，其中$a$叫做底数，$n$叫做指数。
本题中是3个$(-8)$相乘，即相同因数为$-8$，写成幂的形式为$(-8)^3$，因此底数是$-8$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的定义，幂的相关概念
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对乘方中底数概念的理解，需要注意当负数或分数作为底数时，一定要将整体加上括号，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. $ -7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 $ 可以表示为( )
A.$ (-7)^{6} $
B.$ -7^{6} $
C.$ (-7) × 6 $
D.$ (-6) × 7 $
A.$ (-7)^{6} $
B.$ -7^{6} $
C.$ (-7) × 6 $
D.$ (-6) × 7 $
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，n个a相乘记作$a^n$。首先观察原式的结构：原式是负号后接6个7相乘，即先计算6个7的乘积，再对结果取负号。接下来辨析各选项：要注意区分负号在括号内（属于底数）和负号在括号外（不属于底数）的乘方的差异，再排除明显不符合的乘法选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据乘方的定义，6个相同的因数7相乘可以表示为$7^6$，原式是对$7^6$取相反数，因此可表示为$-7^6$。
对各选项逐一分析：
A. $(-7)^6$表示6个$-7$相乘，即$(-7)×(-7)×(-7)×(-7)×(-7)×(-7)=7^6$，与原式不符，错误；
B. $-7^6$表示6个7相乘的相反数，与原式一致，正确；
C. $(-7)×6=-42$，是乘法运算，和6个7相乘的结果显然不同，错误；
D. $(-6)×7=-42$，同样是乘法运算，与原式不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
乘方的意义；底数的判定；乘方的符号表示
【点评】
本题是乘方概念的基础考查题，易错点是容易混淆负号是否属于乘方的底数，做题时要注意：若负号没有被包含在乘方的底数括号内，则负号不属于底数，仅对乘方的结果取负。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，n个a相乘记作$a^n$。首先观察原式的结构：原式是负号后接6个7相乘，即先计算6个7的乘积，再对结果取负号。接下来辨析各选项：要注意区分负号在括号内（属于底数）和负号在括号外（不属于底数）的乘方的差异，再排除明显不符合的乘法选项，即可得到正确答案。
【解析】
根据乘方的定义，6个相同的因数7相乘可以表示为$7^6$，原式是对$7^6$取相反数，因此可表示为$-7^6$。
对各选项逐一分析：
A. $(-7)^6$表示6个$-7$相乘，即$(-7)×(-7)×(-7)×(-7)×(-7)×(-7)=7^6$，与原式不符，错误；
B. $-7^6$表示6个7相乘的相反数，与原式一致，正确；
C. $(-7)×6=-42$，是乘法运算，和6个7相乘的结果显然不同，错误；
D. $(-6)×7=-42$，同样是乘法运算，与原式不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
乘方的意义；底数的判定；乘方的符号表示
【点评】
本题是乘方概念的基础考查题，易错点是容易混淆负号是否属于乘方的底数，做题时要注意：若负号没有被包含在乘方的底数括号内，则负号不属于底数，仅对乘方的结果取负。
【难度系数】
0.7
【例 2】计算：
(1)$ 6^{3} $；
(2)$ -(-2)^{3} $；
(3)$ -\frac{2^{3}}{3} $；
(4)$ -(-2.5)^{3} $.
(1)$ 6^{3} $；
(2)$ -(-2)^{3} $；
(3)$ -\frac{2^{3}}{3} $；
(4)$ -(-2.5)^{3} $.
答案
解:
(1)$6^{3}=216.$
(2)$-(-2)^{3}=8.$
(3)$-\frac {2^{3}}{3}=-\frac {8}{3}.$
(4)$-(-2.5)^{3}=-(-\frac {5}{2})^{3}=\frac {125}{8}.$
(1)$6^{3}=216.$
(2)$-(-2)^{3}=8.$
(3)$-\frac {2^{3}}{3}=-\frac {8}{3}.$
(4)$-(-2.5)^{3}=-(-\frac {5}{2})^{3}=\frac {125}{8}.$
解析
【分析】
解题时首先要明确乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，运算顺序是先算乘方，再处理乘方外的符号，同时要注意区分负号是否属于乘方的底数，避免混淆运算顺序导致错误。
(1)$6^3$的底数是6，直接计算3个6相乘即可；
(2)先计算括号内$(-2)$的3次方，再计算外层的负号；
(3)注意本题的乘方仅作用于分子的2，不是$(-\frac{2}{3})$的3次方，先算2的3次方再添加负号、写分母即可；
(4)先把小数2.5化为分数方便计算，再依次计算乘方、外层的负号。
【解析】
根据乘方的定义和有理数运算规则计算：
(1) $6^3$表示3个6相乘，即$6×6×6=216$；
(2) 先算乘方：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，再化简符号：$-(-8)=8$；
(3) 乘方仅作用于分子的2，先算$2^3=2×2×2=8$，因此原式$=-\frac{8}{3}$；
(4) 先把$2.5$化为分数$\frac{5}{2}$，先算乘方：$(-\frac{5}{2})^3=(-\frac{5}{2})×(-\frac{5}{2})×(-\frac{5}{2})=-\frac{125}{8}$，再化简符号：$-(-\frac{125}{8})=\frac{125}{8}$。
【答案】
(1)$216$；(2)$8$；(3)$-\frac{8}{3}$；(4)$\frac{125}{8}$
【知识点】
乘方的定义，有理数乘方运算，符号化简
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题核心是准确判断乘方的底数，严格遵循“先算乘方、再处理外部符号”的运算顺序，涉及小数的乘方运算时化成分数计算可降低出错概率，要注意避免把乘方外的负号误算到底数中导致符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，运算顺序是先算乘方，再处理乘方外的符号，同时要注意区分负号是否属于乘方的底数，避免混淆运算顺序导致错误。
(1)$6^3$的底数是6，直接计算3个6相乘即可；
(2)先计算括号内$(-2)$的3次方，再计算外层的负号；
(3)注意本题的乘方仅作用于分子的2，不是$(-\frac{2}{3})$的3次方，先算2的3次方再添加负号、写分母即可；
(4)先把小数2.5化为分数方便计算，再依次计算乘方、外层的负号。
【解析】
根据乘方的定义和有理数运算规则计算：
(1) $6^3$表示3个6相乘，即$6×6×6=216$；
(2) 先算乘方：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，再化简符号：$-(-8)=8$；
(3) 乘方仅作用于分子的2，先算$2^3=2×2×2=8$，因此原式$=-\frac{8}{3}$；
(4) 先把$2.5$化为分数$\frac{5}{2}$，先算乘方：$(-\frac{5}{2})^3=(-\frac{5}{2})×(-\frac{5}{2})×(-\frac{5}{2})=-\frac{125}{8}$，再化简符号：$-(-\frac{125}{8})=\frac{125}{8}$。
【答案】
(1)$216$；(2)$8$；(3)$-\frac{8}{3}$；(4)$\frac{125}{8}$
【知识点】
乘方的定义，有理数乘方运算，符号化简
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，解题核心是准确判断乘方的底数，严格遵循“先算乘方、再处理外部符号”的运算顺序，涉及小数的乘方运算时化成分数计算可降低出错概率，要注意避免把乘方外的负号误算到底数中导致符号错误。
【难度系数】
0.8
(1)有理数的乘方运算可转化为乘法运算；
(2)分数的乘方运算既可转化为乘法运算,也可以将分子、分母分别进行乘方运算,如果底数是带分数,要化为假分数；如果底数是小数,也可以化为分数进行运算.
(2)分数的乘方运算既可转化为乘法运算,也可以将分子、分母分别进行乘方运算,如果底数是带分数,要化为假分数；如果底数是小数,也可以化为分数进行运算.
答案
答题卡：
(1)
解：设底数为$a$，指数为$n$，有理数的乘方运算可以表示为$a^n$，其中，当$n$为正整数时，$a^n$表示$n$个$a$相乘，即$a^n = \underbrace{a × a × \cdots × a}_{n 个}$。
例如，$2^3 = 2 × 2 × 2 = 8$。
(2)
解：
分数的乘方运算：
设分数为$\frac{a}{b}$，指数为$n$，则分数的乘方可以表示为$\left(\frac{a}{b}\right)^n$。
根据乘方的定义，$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} × \frac{a}{b} × \cdots × \frac{a}{b}}_{n 个} = \frac{a^n}{b^n}$。
例如，$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。
带分数的乘方运算：
如果底数是带分数，如$1\frac{1}{2}$，要先化为假分数，即$\frac{3}{2}$，再进行乘方运算。
例如，$\left(1\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$。
小数的乘方运算：
如果底数是小数，如$0.5$，可以化为分数$\frac{1}{2}$，再进行乘方运算。
例如，$0.5^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。
(1)
解：设底数为$a$，指数为$n$，有理数的乘方运算可以表示为$a^n$，其中，当$n$为正整数时，$a^n$表示$n$个$a$相乘，即$a^n = \underbrace{a × a × \cdots × a}_{n 个}$。
例如，$2^3 = 2 × 2 × 2 = 8$。
(2)
解：
分数的乘方运算：
设分数为$\frac{a}{b}$，指数为$n$，则分数的乘方可以表示为$\left(\frac{a}{b}\right)^n$。
根据乘方的定义，$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} × \frac{a}{b} × \cdots × \frac{a}{b}}_{n 个} = \frac{a^n}{b^n}$。
例如，$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。
带分数的乘方运算：
如果底数是带分数，如$1\frac{1}{2}$，要先化为假分数，即$\frac{3}{2}$，再进行乘方运算。
例如，$\left(1\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$。
小数的乘方运算：
如果底数是小数，如$0.5$，可以化为分数$\frac{1}{2}$，再进行乘方运算。
例如，$0.5^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。
解析
【分析】
这道题围绕有理数乘方的基本运算规则展开，解题时要紧扣乘方的本质定义：乘方是求n个相同因数乘积的运算，因此所有乘方运算都可以转化为乘法运算。①对于有理数的乘方，直接根据定义将其改写为n个底数相乘的形式，即可完成乘方向乘法的转化；②对于分数的乘方，先按照乘方定义拆成n个分数相乘，再结合分式乘法的运算规则，就能推导出分子、分母分别乘方的结论。如果底数是带分数，由于带分数是整数与分数的和，不符合乘方运算的底数要求，因此要先化为假分数再计算；如果底数是小数，化为分数后运算可以降低出错概率。
【解析】
(1)
解：设底数为$a$，指数为$n$，有理数的乘方运算可以表示为$a^n$，其中，当$n$为正整数时，$a^n$表示$n$个$a$相乘，即$a^n = \underbrace{a × a × ··· × a}_{n 个}$。
例如，$2^3 = 2 × 2 × 2 = 8$。
(2)
解：
分数的乘方运算：
设分数为$\frac{a}{b}$，指数为$n$，则分数的乘方可以表示为$(\frac{a}{b})^n$。
根据乘方的定义，$(\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} × \frac{a}{b} × ··· × \frac{a}{b}}_{n 个} = \frac{a^n}{b^n}$。
例如，$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。
带分数的乘方运算：
如果底数是带分数，如$1\frac{1}{2}$，要先化为假分数，即$\frac{3}{2}$，再进行乘方运算。
例如，$(1\frac{1}{2})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$。
小数的乘方运算：
如果底数是小数，如$0.5$，可以化为分数$\frac{1}{2}$，再进行乘方运算。
例如，$0.5^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 当$n$为正整数时，有理数乘方$a^n = \underbrace{a × a × ··· × a}_{n 个}$，可转化为n个底数的乘法运算，示例：$2^3=2×2×2=8$；
(2) 分数乘方$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$，既可转化为n个分数相乘，也可分子分母分别乘方；带分数乘方需先化为假分数，示例：$(1\frac{1}{2})^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$；小数乘方可先化为分数运算，示例：$0.5^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【知识点】
1. 乘方的定义
2. 分数乘方运算
3. 乘方运算技巧
【点评】
本题属于基础概念理解类题目，重点考查对乘方本质的认知，以及不同形式底数的乘方运算规则，熟练掌握这些内容能有效减少乘方运算的错误，为后续有理数混合运算的学习筑牢基础。
【难度系数】
0.9
这道题围绕有理数乘方的基本运算规则展开，解题时要紧扣乘方的本质定义：乘方是求n个相同因数乘积的运算，因此所有乘方运算都可以转化为乘法运算。①对于有理数的乘方，直接根据定义将其改写为n个底数相乘的形式，即可完成乘方向乘法的转化；②对于分数的乘方，先按照乘方定义拆成n个分数相乘，再结合分式乘法的运算规则，就能推导出分子、分母分别乘方的结论。如果底数是带分数，由于带分数是整数与分数的和，不符合乘方运算的底数要求，因此要先化为假分数再计算；如果底数是小数，化为分数后运算可以降低出错概率。
【解析】
(1)
解：设底数为$a$，指数为$n$，有理数的乘方运算可以表示为$a^n$，其中，当$n$为正整数时，$a^n$表示$n$个$a$相乘，即$a^n = \underbrace{a × a × ··· × a}_{n 个}$。
例如，$2^3 = 2 × 2 × 2 = 8$。
(2)
解：
分数的乘方运算：
设分数为$\frac{a}{b}$，指数为$n$，则分数的乘方可以表示为$(\frac{a}{b})^n$。
根据乘方的定义，$(\frac{a}{b})^n = \underbrace{\frac{a}{b} × \frac{a}{b} × ··· × \frac{a}{b}}_{n 个} = \frac{a^n}{b^n}$。
例如，$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。
带分数的乘方运算：
如果底数是带分数，如$1\frac{1}{2}$，要先化为假分数，即$\frac{3}{2}$，再进行乘方运算。
例如，$(1\frac{1}{2})^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$。
小数的乘方运算：
如果底数是小数，如$0.5$，可以化为分数$\frac{1}{2}$，再进行乘方运算。
例如，$0.5^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。
【答案】
(1) 当$n$为正整数时，有理数乘方$a^n = \underbrace{a × a × ··· × a}_{n 个}$，可转化为n个底数的乘法运算，示例：$2^3=2×2×2=8$；
(2) 分数乘方$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$，既可转化为n个分数相乘，也可分子分母分别乘方；带分数乘方需先化为假分数，示例：$(1\frac{1}{2})^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$；小数乘方可先化为分数运算，示例：$0.5^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【知识点】
1. 乘方的定义
2. 分数乘方运算
3. 乘方运算技巧
【点评】
本题属于基础概念理解类题目，重点考查对乘方本质的认知，以及不同形式底数的乘方运算规则，熟练掌握这些内容能有效减少乘方运算的错误，为后续有理数混合运算的学习筑牢基础。
【难度系数】
0.9
3. 下列计算正确的是( )
A.$ \left(-\frac{2}{3}\right)^{2}= \frac{4}{3} $
B.$ 2^{3}= 6 $
C.$ -3^{2}= 9 $
D.$ -2^{3}= -8 $
A.$ \left(-\frac{2}{3}\right)^{2}= \frac{4}{3} $
B.$ 2^{3}= 6 $
C.$ -3^{2}= 9 $
D.$ -2^{3}= -8 $
答案
D
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的计算，解题思路是先明确乘方的定义（求n个相同因数乘积的运算），再注意区分乘方运算中底数是否包含负号、有无括号的差异，逐个计算各选项的结果，选出计算正确的选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：$(-\frac{2}{3})^{2}$表示2个$-\frac{2}{3}$相乘，即$(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})=\frac{4}{9}≠\frac{4}{3}$，故A错误；
B选项：$2^3$表示3个2相乘，即$2×2×2=8≠6$，故B错误；
C选项：$-3^2$中负号不属于底数，运算顺序是先算$3^2$再取相反数，即$-3^2=-(3×3)=-9≠9$，故C错误；
D选项：$-2^3$中负号不属于底数，先算$2^3=2×2×2=8$，再取相反数得$-2^3=-8$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算、乘方的定义
【点评】
本题是乘方运算的基础题，解题的关键是明确乘方的底数范围，注意区分负号在括号内和括号外的运算差异，避免因混淆运算顺序或底数范围出错。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数乘方的计算，解题思路是先明确乘方的定义（求n个相同因数乘积的运算），再注意区分乘方运算中底数是否包含负号、有无括号的差异，逐个计算各选项的结果，选出计算正确的选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：$(-\frac{2}{3})^{2}$表示2个$-\frac{2}{3}$相乘，即$(-\frac{2}{3})×(-\frac{2}{3})=\frac{4}{9}≠\frac{4}{3}$，故A错误；
B选项：$2^3$表示3个2相乘，即$2×2×2=8≠6$，故B错误；
C选项：$-3^2$中负号不属于底数，运算顺序是先算$3^2$再取相反数，即$-3^2=-(3×3)=-9≠9$，故C错误；
D选项：$-2^3$中负号不属于底数，先算$2^3=2×2×2=8$，再取相反数得$-2^3=-8$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算、乘方的定义
【点评】
本题是乘方运算的基础题，解题的关键是明确乘方的底数范围，注意区分负号在括号内和括号外的运算差异，避免因混淆运算顺序或底数范围出错。
【难度系数】
0.8
