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7. 有一根 $ 1 $ m 长的绳子,第一次剪去绳子的 $ \frac{2}{3} $,第二次剪去剩下绳子的 $ \frac{2}{3} $. 如果以后每次都剪去剩下绳子的 $ \frac{2}{3} $,求 $ 100 $ 次剪完后剩下绳子的长度.
答案
解:因为第一次剪去绳子的$\frac {2}{3}m$,所以剩余$\frac {1}{3}m.$
因为第二次剪去剩下绳子的$\frac {2}{3},$
所以第二次剪去后剩下绳子的长度是
$\frac {1}{3}×(1-\frac {2}{3})=(\frac {1}{3})^{2}(m).$
因为第三次剪去剩下绳子的$\frac {2}{3},$
所以第三次剪去后剩下绳子的长度是
$(\frac {1}{3})^{2}×(1-\frac {2}{3})=(\frac {1}{3})^{3}(m),$
以此类推,第100次剪完后剩下绳子的长度是$(\frac {1}{3})^{100}m.$
因为第二次剪去剩下绳子的$\frac {2}{3},$
所以第二次剪去后剩下绳子的长度是
$\frac {1}{3}×(1-\frac {2}{3})=(\frac {1}{3})^{2}(m).$
因为第三次剪去剩下绳子的$\frac {2}{3},$
所以第三次剪去后剩下绳子的长度是
$(\frac {1}{3})^{2}×(1-\frac {2}{3})=(\frac {1}{3})^{3}(m),$
以此类推,第100次剪完后剩下绳子的长度是$(\frac {1}{3})^{100}m.$
解析
【分析】
遇到多次重复相同操作的问题，我们可以先计算前几次操作后的结果，总结规律后再推广到第100次的情况。首先明确：每次剪去剩余绳子的$\frac{2}{3}$，则每次剪完后剩下的绳子长度是剪之前的$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。我们先计算前3次剪完的剩余长度，就能发现规律：剪n次后剩余长度就是$(\frac{1}{3})^n$米，最后代入n=100即可得到结果。
【解析】
已知绳子原长1m，每次剪去剩余绳子的$\frac{2}{3}$，则每次剪完后剩余长度为剪之前的$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
第一次剪完后，剩余长度为：$1× \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\ \mathrm{m}$；
第二次剪完后，剩余长度为：$\frac{1}{3}× \frac{1}{3}=(\frac{1}{3})^2\ \mathrm{m}$；
第三次剪完后，剩余长度为：$(\frac{1}{3})^2× \frac{1}{3}=(\frac{1}{3})^3\ \mathrm{m}$；
以此类推，第n次剪完后，剩余绳子的长度为$(\frac{1}{3})^n\ \mathrm{m}$。
当n=100时，剩余长度为$(\frac{1}{3})^{100}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(\dfrac{1}{3})^{100}\ \mathrm{m}$
【知识点】
有理数乘方，规律探究，分数乘法
【点评】
这道题是乘方在实际问题中的应用，解题关键是通过前几次的计算归纳出剩余长度的变化规律，再利用乘方的意义写出第100次的结果，能有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
遇到多次重复相同操作的问题，我们可以先计算前几次操作后的结果，总结规律后再推广到第100次的情况。首先明确：每次剪去剩余绳子的$\frac{2}{3}$，则每次剪完后剩下的绳子长度是剪之前的$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。我们先计算前3次剪完的剩余长度，就能发现规律：剪n次后剩余长度就是$(\frac{1}{3})^n$米，最后代入n=100即可得到结果。
【解析】
已知绳子原长1m，每次剪去剩余绳子的$\frac{2}{3}$，则每次剪完后剩余长度为剪之前的$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
第一次剪完后，剩余长度为：$1× \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\ \mathrm{m}$；
第二次剪完后，剩余长度为：$\frac{1}{3}× \frac{1}{3}=(\frac{1}{3})^2\ \mathrm{m}$；
第三次剪完后，剩余长度为：$(\frac{1}{3})^2× \frac{1}{3}=(\frac{1}{3})^3\ \mathrm{m}$；
以此类推，第n次剪完后，剩余绳子的长度为$(\frac{1}{3})^n\ \mathrm{m}$。
当n=100时，剩余长度为$(\frac{1}{3})^{100}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$(\dfrac{1}{3})^{100}\ \mathrm{m}$
【知识点】
有理数乘方，规律探究，分数乘法
【点评】
这道题是乘方在实际问题中的应用，解题关键是通过前几次的计算归纳出剩余长度的变化规律，再利用乘方的意义写出第100次的结果，能有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
8. (数学文化)《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢……”大意为：今天出门看见 $ 9 $ 座堤坝,每座堤坝上有 $ 9 $ 棵树,每棵树上有 $ 9 $ 根树枝,每根树枝上有 $ 9 $ 个鸟巢……文中的鸟巢共有( )
A.$ 9^{3} $ 个
B.$ 10^{3} $ 个
C.$ 9^{4} $ 个
D.$ 10^{4} $ 个
A.$ 9^{3} $ 个
B.$ 10^{3} $ 个
C.$ 9^{4} $ 个
D.$ 10^{4} $ 个
答案
C
解析
【分析】
解题时先理清题目中的数量层级关系，每一层的数量都是上一层的9倍，结合乘方的定义（求n个相同因数乘积的运算叫做乘方），只要数清楚从堤坝到鸟巢一共有几个9相乘，就能得出结果。首先梳理层级：从堤坝到树是第1次乘9，树到树枝是第2次乘9，树枝到鸟巢是第3次乘9，加上最初的堤坝数量9，一共是4个9相乘，对应乘方形式就是9的4次方。
【解析】
我们逐层计算各部分的数量：
1. 已知堤坝的数量为9座；
2. 每座堤坝有9棵树，因此树的总数量为：$9×9=9^2$棵；
3. 每棵树有9根树枝，因此树枝的总数量为：$9^2×9=9^3$根；
4. 每根树枝有9个鸟巢，因此鸟巢的总数量为：$9^3×9=9^4$个。
所以符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；乘方的实际应用
【点评】
本题结合传统数学文化考查乘方的应用，解题核心是理清不同层级的数量倍数关系，准确数出相同因数的个数即可正确求解，易错点是少数同学会数错相乘的9的个数。
【难度系数】
0.85
解题时先理清题目中的数量层级关系，每一层的数量都是上一层的9倍，结合乘方的定义（求n个相同因数乘积的运算叫做乘方），只要数清楚从堤坝到鸟巢一共有几个9相乘，就能得出结果。首先梳理层级：从堤坝到树是第1次乘9，树到树枝是第2次乘9，树枝到鸟巢是第3次乘9，加上最初的堤坝数量9，一共是4个9相乘，对应乘方形式就是9的4次方。
【解析】
我们逐层计算各部分的数量：
1. 已知堤坝的数量为9座；
2. 每座堤坝有9棵树，因此树的总数量为：$9×9=9^2$棵；
3. 每棵树有9根树枝，因此树枝的总数量为：$9^2×9=9^3$根；
4. 每根树枝有9个鸟巢，因此鸟巢的总数量为：$9^3×9=9^4$个。
所以符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；乘方的实际应用
【点评】
本题结合传统数学文化考查乘方的应用，解题核心是理清不同层级的数量倍数关系，准确数出相同因数的个数即可正确求解，易错点是少数同学会数错相乘的9的个数。
【难度系数】
0.85
9. 池塘里的睡莲的面积每天增大一倍,若经过 $ 13 $ 天就可以长满整个池塘,则这些睡莲长满半个池塘需要( )
A.$ 6 $ 天
B.$ 7 $ 天
C.$ 10 $ 天
D.$ 12 $ 天
A.$ 6 $ 天
B.$ 7 $ 天
C.$ 10 $ 天
D.$ 12 $ 天
答案
D
解析
【分析】
首先理解题目的核心条件“每天增大一倍”，含义是后一天睡莲的面积是前一天的2倍，反过来推导的话，前一天的面积就是后一天面积的二分之一。题目已知第13天可以长满整个池塘，不需要正向从第一天开始逐天计算面积，只需要逆向思考：长满整个池塘的前一天，睡莲面积刚好是整个池塘的一半，就能快速得到答案。
【解析】
已知睡莲面积每天增大一倍，即后一天的面积 = 前一天面积 × 2。
因为第13天睡莲刚好长满整个池塘，那么第13天的前一天（第12天）的睡莲面积就是第13天面积的$\frac{1}{2}$，也就是半个池塘。
因此睡莲长满半个池塘需要12天。
【答案】
D
【知识点】
1. 乘方的实际应用
2. 逆推法解题
【点评】
这道题是典型的翻倍类实际应用题，解题时不要被“翻倍”的表述限制思维，采用逆推法从已知的最终结果反推前序状态，能省去复杂的乘方计算，快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
首先理解题目的核心条件“每天增大一倍”，含义是后一天睡莲的面积是前一天的2倍，反过来推导的话，前一天的面积就是后一天面积的二分之一。题目已知第13天可以长满整个池塘，不需要正向从第一天开始逐天计算面积，只需要逆向思考：长满整个池塘的前一天，睡莲面积刚好是整个池塘的一半，就能快速得到答案。
【解析】
已知睡莲面积每天增大一倍，即后一天的面积 = 前一天面积 × 2。
因为第13天睡莲刚好长满整个池塘，那么第13天的前一天（第12天）的睡莲面积就是第13天面积的$\frac{1}{2}$，也就是半个池塘。
因此睡莲长满半个池塘需要12天。
【答案】
D
【知识点】
1. 乘方的实际应用
2. 逆推法解题
【点评】
这道题是典型的翻倍类实际应用题，解题时不要被“翻倍”的表述限制思维，采用逆推法从已知的最终结果反推前序状态，能省去复杂的乘方计算，快速得出正确答案。
【难度系数】
0.7
10. 已知 $ 8.6^{2} = 73.96 $,若 $ x^{2} = 0.7396 $,则 $ x $ 的值为______.
答案
±0.86
解析
【分析】
解题时首先对比已知条件和待求式的联系：已知$8.6^2=73.96$，待求式中$x^2=0.7396$，可发现0.7396是73.96缩小到原来的$\frac{1}{100}$得到的。接下来根据乘方的运算规律：底数的小数点每向左（右）移动1位，它的平方的小数点就对应向左（右）移动2位，因此幂的小数点向左移动2位时，底数的小数点向左移动1位，得到0.86。最后结合平方的性质：互为相反数的两个数的平方相等，可知x有正负两个解，避免漏解。
【解析】
已知$8.6^2 = 73.96$，
因为$0.7396 = 73.96÷100$，
所以$x^2 = \frac{73.96}{100} = \frac{8.6^2}{10^2} = (\frac{8.6}{10})^2 = 0.86^2$，
又因为$(-0.86)^2 = 0.86^2 = 0.7396$，
因此$x = \pm0.86$。
【答案】
±0.86
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 平方的性质
【点评】
本题重点考察乘方运算中底数与幂的小数点变化规律，解题时要注意正数的平方对应两个互为相反数的底数，避免只写正数解导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先对比已知条件和待求式的联系：已知$8.6^2=73.96$，待求式中$x^2=0.7396$，可发现0.7396是73.96缩小到原来的$\frac{1}{100}$得到的。接下来根据乘方的运算规律：底数的小数点每向左（右）移动1位，它的平方的小数点就对应向左（右）移动2位，因此幂的小数点向左移动2位时，底数的小数点向左移动1位，得到0.86。最后结合平方的性质：互为相反数的两个数的平方相等，可知x有正负两个解，避免漏解。
【解析】
已知$8.6^2 = 73.96$，
因为$0.7396 = 73.96÷100$，
所以$x^2 = \frac{73.96}{100} = \frac{8.6^2}{10^2} = (\frac{8.6}{10})^2 = 0.86^2$，
又因为$(-0.86)^2 = 0.86^2 = 0.7396$，
因此$x = \pm0.86$。
【答案】
±0.86
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 平方的性质
【点评】
本题重点考察乘方运算中底数与幂的小数点变化规律，解题时要注意正数的平方对应两个互为相反数的底数，避免只写正数解导致漏解。
【难度系数】
0.7
11. 若 $ n $ 为正整数,则 $ (-1)^{2n} = $______,$ (-1)^{2n + 1} = $______.
答案
1 -1
解析
【分析】
解题时首先明确：n为正整数时，2n表示偶数，2n+1表示奇数；再结合负数乘方的符号规律：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，即可分别计算两个式子的结果。
【解析】
∵n是正整数，
∴2n是正偶数，根据负数的偶次幂为正，可得：
$(-1)^{2n}=1$
又
∵2n+1是正奇数，根据负数的奇次幂为负，可得：
$(-1)^{2n+1}=-1$
【答案】
1；-1
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 负数乘方的符号法则
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心考查-1的幂次运算规律，解题关键是正确判断指数的奇偶性，熟练掌握负数乘方的符号规则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：n为正整数时，2n表示偶数，2n+1表示奇数；再结合负数乘方的符号规律：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，即可分别计算两个式子的结果。
【解析】
∵n是正整数，
∴2n是正偶数，根据负数的偶次幂为正，可得：
$(-1)^{2n}=1$
又
∵2n+1是正奇数，根据负数的奇次幂为负，可得：
$(-1)^{2n+1}=-1$
【答案】
1；-1
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 负数乘方的符号法则
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心考查-1的幂次运算规律，解题关键是正确判断指数的奇偶性，熟练掌握负数乘方的符号规则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
12. (综合与探究)问题：你能比较 $ 2022^{2023} $ 和 $ 2023^{2022} $ 的大小吗？为了解决此问题,我们先写出它们的一般式,即比较 $ n^{n + 1} $ 和 $ (n + 1)^{n} $ 的大小($ n $ 是正整数),然后,我们从分析 $ n = 1 $,$ n = 2 $,$ n = 3 $,…$$ 这些简单情形入手,从中发现规律,经过归纳,猜想出结论.
(1)比较下列各组中两个数的大小(选填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)：
① $ 1^{2} $______$ 2^{1} $；② $ 2^{3} $______$ 3^{2} $；③ $ 3^{4} $______$ 4^{3} $；④ $ 4^{5} $______$ 5^{4} $；⑤ $ 5^{6} $______$ 6^{5} $.
(2)由(1)的结果,猜想 $ n^{n + 1} $ 和 $ (n + 1)^{n} $ 的大小关系.
(3)根据上面的归纳、猜想得到的一般结论,试比较 $ 2022^{2023} $ 和 $ 2023^{2022} $ 的大小.
(1)比较下列各组中两个数的大小(选填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)：
① $ 1^{2} $______$ 2^{1} $；② $ 2^{3} $______$ 3^{2} $；③ $ 3^{4} $______$ 4^{3} $；④ $ 4^{5} $______$ 5^{4} $；⑤ $ 5^{6} $______$ 6^{5} $.
(2)由(1)的结果,猜想 $ n^{n + 1} $ 和 $ (n + 1)^{n} $ 的大小关系.
(3)根据上面的归纳、猜想得到的一般结论,试比较 $ 2022^{2023} $ 和 $ 2023^{2022} $ 的大小.
答案
解:
(1)①＜ ②＜ ③＞ ④＞ ⑤＞
(2)当$n≤2$时,$n^{n+1}＜(n+1)^{n};$
当$n≥3$时,$n^{n+1}＞(n+1)^{n}.$
(3)由
(2),可知$2022^{2023}＞2023^{2022}.$
(1)①＜ ②＜ ③＞ ④＞ ⑤＞
(2)当$n≤2$时,$n^{n+1}＜(n+1)^{n};$
当$n≥3$时,$n^{n+1}＞(n+1)^{n}.$
(3)由
(2),可知$2022^{2023}＞2023^{2022}.$
解析
【分析】
要直接计算两个极大数的乘方再比较大小很难实现，因此采用从特殊到一般的探究思路：第一步先计算n取较小正整数时$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小，得到具体的比较结果；第二步观察这些结果的变化规律，归纳总结出两种大小关系对应的n的取值范围；第三步利用归纳出的一般结论，判断n=2022时两个数的大小即可。
【解析】
(1)分别计算每组乘方的值再比较大小：
①$1^2=1$，$2^1=2$，$1＜2$，故填$＜$；
②$2^3=8$，$3^2=9$，$8＜9$，故填$＜$；
③$3^4=81$，$4^3=64$，$81＞64$，故填$＞$；
④$4^5=1024$，$5^4=625$，$1024＞625$，故填$＞$；
⑤$5^6=15625$，$6^5=7776$，$15625＞7776$，故填$＞$。
(2)观察(1)的结果：n=1、2时$n^{n+1}＜(n+1)^n$，n=3、4、5时$n^{n+1}＞(n+1)^n$，因此猜想：当$n≤2$（n为正整数）时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n≥3$（n为正整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$。
(3)因为$2022＞3$，符合$n≥3$的规律，因此可得$2022^{2023}＞2023^{2022}$。
【答案】
(1)①$＜$ ②$＜$ ③$＞$ ④$＞$ ⑤$＞$
(2)当$n≤2$（n为正整数）时，$n^{n+1}＜(n+1)^{n};$当$n≥3$（n为正整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^{n}.$
(3)$2022^{2023}＞2023^{2022}$
【知识点】
有理数的乘方，归纳推理，有理数大小比较
【点评】
本题是探究类问题的典型考法，通过简单实例推导一般规律，再应用规律解决复杂问题，能有效锻炼归纳总结能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要直接计算两个极大数的乘方再比较大小很难实现，因此采用从特殊到一般的探究思路：第一步先计算n取较小正整数时$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小，得到具体的比较结果；第二步观察这些结果的变化规律，归纳总结出两种大小关系对应的n的取值范围；第三步利用归纳出的一般结论，判断n=2022时两个数的大小即可。
【解析】
(1)分别计算每组乘方的值再比较大小：
①$1^2=1$，$2^1=2$，$1＜2$，故填$＜$；
②$2^3=8$，$3^2=9$，$8＜9$，故填$＜$；
③$3^4=81$，$4^3=64$，$81＞64$，故填$＞$；
④$4^5=1024$，$5^4=625$，$1024＞625$，故填$＞$；
⑤$5^6=15625$，$6^5=7776$，$15625＞7776$，故填$＞$。
(2)观察(1)的结果：n=1、2时$n^{n+1}＜(n+1)^n$，n=3、4、5时$n^{n+1}＞(n+1)^n$，因此猜想：当$n≤2$（n为正整数）时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n≥3$（n为正整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$。
(3)因为$2022＞3$，符合$n≥3$的规律，因此可得$2022^{2023}＞2023^{2022}$。
【答案】
(1)①$＜$ ②$＜$ ③$＞$ ④$＞$ ⑤$＞$
(2)当$n≤2$（n为正整数）时，$n^{n+1}＜(n+1)^{n};$当$n≥3$（n为正整数）时，$n^{n+1}＞(n+1)^{n}.$
(3)$2022^{2023}＞2023^{2022}$
【知识点】
有理数的乘方，归纳推理，有理数大小比较
【点评】
本题是探究类问题的典型考法，通过简单实例推导一般规律，再应用规律解决复杂问题，能有效锻炼归纳总结能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
