1. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()

A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分

1. C.

2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，如果 ∠AOB=40°，那么 ∠ADB 的度数是()


A.$70°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$20°$

2. D.

3. 如图，矩形 $ABCD$ 中，$DE ⊥ AC$ 于点 $E$，且 $∠ADE:∠EDC = 3:2$，则 $∠BDE$ 的度数为。

3. $ 18^{\circ} $.

4. 如图，点 $O$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的中点，点 $E$ 为 $AD$ 的中点。若 $AB = 6$，$BC = 8$，则 $△BOE$ 的周长为。

4. $ 8 + 2\sqrt{13} $.

5. 如图，四边形 $ABCD$ 是矩形，过点 $A$ 作 $AE // BD$ 交 $CB$ 的延长线于点 $E$，猜想 $△ACE$ 是怎样的三角形，并证明你的猜想。

5. 提示:先证明 $ △ ABC ≌ △ DCB $, 得到 $ ∠ ACB = ∠ DBC $; 由 $ AE // BD $, 得到 $ ∠ E = ∠ DBC $, $ \therefore ∠ E = ∠ ACB $, $ \therefore AE = AC $, 即 $ △ ACE $ 是等腰三角形.

问题 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $AB$ 边上一点，$EC$ 平分 $∠DEB$，$F$ 为 $CE$ 的中点，连接 $AF$，$BF$，过点 $E$ 作 $EH // BC$ 分别交 $AF$，$CD$ 于 $G$，$H$ 两点。
（1）求证：$DE = DC$；
（2）求证：$AF ⊥ BF$。

名师指导
（1）平行线、角平分线、等腰三角形“知二推一”；
（2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得边相等，从而推导出角相等。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
证明：

（1）∵四边形$ABCD$是矩形，∴$AB// CD$，∴$∠ DCE = ∠ BEC$。
∵$EC$平分$∠ DEB$，∴$∠ DEC=∠ BEC$，∴$∠ DCE=∠ DEC$，∴$DE = DC$。
（2）延长$BF$交$CD$于点$N$。
∵$AB// CD$，∴$∠ FEB=∠ FCN$，$∠ FBE=∠ FNC$。
∵$F$是$CE$中点，∴$EF = CF$。
在$△ FEB$和$△ FCN$中，$\begin{cases}∠ FEB=∠ FCN\\∠ FBE=∠ FNC\\EF = CF\end{cases}$，∴$△ FEB≌△ FCN(AAS)$，∴$BF = FN$，$BE = CN$。
∵$DE = DC$，$DC = AB$，∴$DE = AB$。
$DN=DC - CN=AB - BE=AE$。
在矩形$ABCD$中，$AD = AD$，$∠ DAE=∠ ADN = 90^{\circ}$，
在$△ ADE$和$△ DAN$中，$\begin{cases}AD = DA\\∠ DAE=∠ ADN\\AE = DN\end{cases}$，∴$△ ADE≌△ DAN(SAS)$，∴$AN = DE = AB$。
∵$BF = FN$，∴$F$是$BN$中点，又$AN = AB$，∴$AF⊥ BF$。