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5. 如图，$DE$是$△ ABC$的中位线，延长$DE$到点$F$，使$EF = DE$，连接$BF$。
（1）求证：$BF = DC$；
（2）求证：四边形$ABFD$是平行四边形。
（1）求证：$BF = DC$；
（2）求证：四边形$ABFD$是平行四边形。
答案
5. 证明：（1）
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴CE=BE.在△CDE 和△BFE 中，$\{\begin{array}{l} CE=BE,\\ ∠CED=∠BEF,\\ DE=FE,\end{array} $
∴△CDE≌△BFE.
∴BF=DC.
（2）
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE//AB，$DE=\frac {1}{2}AB$.
∵EF=DE，
∴$DE=\frac {1}{2}DF$.
∴DF//AB，DF=AB.
∴四边形 ABFD 是平行四边形.
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴CE=BE.在△CDE 和△BFE 中，$\{\begin{array}{l} CE=BE,\\ ∠CED=∠BEF,\\ DE=FE,\end{array} $
∴△CDE≌△BFE.
∴BF=DC.
（2）
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE//AB，$DE=\frac {1}{2}AB$.
∵EF=DE，
∴$DE=\frac {1}{2}DF$.
∴DF//AB，DF=AB.
∴四边形 ABFD 是平行四边形.
6. 如图，$△ ABC$的中线$BE$，$CD$相交于点$O$，点$F$，$G$分别是$BO$，$CO$的中点，试猜想$DF$与$EG$有怎样的关系，并证明你的猜想。
答案
6. 猜测结论：DF=EG，DF//EG. 证明：如图，连接 AO，
∵D 是 AB 的中点，F 是 BO 的中点，
∴DF 是△ABO 的中位线.
∴DF//AO，且$DF=\frac {1}{2}AO$，同理可得 EG//AO，且$EG=\frac {1}{2}AO$.
∴DF=EG，DF//EG.
7. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = CD$，$E$，$F$分别是$BC$，$AD$的中点，延长$BA$和$CD$分别与$EF$的延长线交于点$K$，$H$。求证：$∠ BKE = ∠ CHE$。
答案
7. 证明：连接 BD 并取 BD 的中点 G，连接 FG，GE.在△DAB 和△BCD 中，
∵F 是 AD 的中点，E 是 BC 的中点，
∴FG//AB 且$FG=\frac {1}{2}AB$，EG//DC 且$EG=\frac {1}{2}DC$，
∴∠BKE=∠GFE，∠CHE=∠GEF.
∵AB=CD，
∴FG=EG，
∴∠GFE=∠GEF，
∴∠BKE=∠CHE.
∵F 是 AD 的中点，E 是 BC 的中点，
∴FG//AB 且$FG=\frac {1}{2}AB$，EG//DC 且$EG=\frac {1}{2}DC$，
∴∠BKE=∠GFE，∠CHE=∠GEF.
∵AB=CD，
∴FG=EG，
∴∠GFE=∠GEF，
∴∠BKE=∠CHE.
如图，在等边三角形$ABC$中，$AB = 1$，$E$，$F$分别是边$AB$，$AC$上的动点，且$CF = 2BE$，则$BF + 2CE$的最小值为(
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{5} - 1$
C
)A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{5} - 1$
答案
[自主拓展]
C.
C.
