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4. 算一算，画一画。
(1) 下图是长方体相交于某一顶点的三条棱。求这三条棱所在长方体的表面积和体积。
(2) 画出三角形绕点$O$顺时针旋转$90°$后的图形。
(1) 下图是长方体相交于某一顶点的三条棱。求这三条棱所在长方体的表面积和体积。
(2) 画出三角形绕点$O$顺时针旋转$90°$后的图形。
答案
4.（1）表面积：
$4×3×2+4×3.5×2+3.5×3×2=73(\mathrm{cm}^2)$
体积：$4×3.5×3=42(\mathrm{cm}^3)$
（2）略
$4×3×2+4×3.5×2+3.5×3×2=73(\mathrm{cm}^2)$
体积：$4×3.5×3=42(\mathrm{cm}^3)$
（2）略
解析
【分析】
（1）首先明确相交于长方体一个顶点的三条棱分别是长方体的长、宽、高，已知三条棱的长度，根据长方体表面积公式：表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，体积公式：体积=长×宽×高，代入数值计算即可。
（2）画三角形绕点O顺时针旋转90°后的图形，需先确定三角形每个顶点绕点O顺时针旋转90°后的对应位置，再依次连接这些对应点，就能得到旋转后的图形。
【解析】
（1）设长方体的长为4cm，宽为3cm，高为3.5cm。
表面积计算：
$4×3×2 + 4×3.5×2 + 3.5×3×2$
$=24 + 28 + 21$
$=73(\mathrm{cm}^2)$
体积计算：
$4×3.5×3 = 42(\mathrm{cm}^3)$
（2）作图步骤：①找到三角形的三个顶点，分别将每个顶点绕点O顺时针旋转90°，得到对应顶点；②用线段依次连接三个对应顶点，即可得到旋转后的三角形。
【答案】
（1）表面积是$73\mathrm{cm}^2$，体积是$42\mathrm{cm}^3$；（2）略
【知识点】
长方体表面积计算、长方体体积计算、图形的旋转
【点评】
本题综合考查了长方体的表面积和体积计算以及图形旋转的作图能力，需要学生牢记相关公式，掌握旋转作图的基本方法，属于基础题型，侧重对基础知识的理解与应用。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确相交于长方体一个顶点的三条棱分别是长方体的长、宽、高，已知三条棱的长度，根据长方体表面积公式：表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，体积公式：体积=长×宽×高，代入数值计算即可。
（2）画三角形绕点O顺时针旋转90°后的图形，需先确定三角形每个顶点绕点O顺时针旋转90°后的对应位置，再依次连接这些对应点，就能得到旋转后的图形。
【解析】
（1）设长方体的长为4cm，宽为3cm，高为3.5cm。
表面积计算：
$4×3×2 + 4×3.5×2 + 3.5×3×2$
$=24 + 28 + 21$
$=73(\mathrm{cm}^2)$
体积计算：
$4×3.5×3 = 42(\mathrm{cm}^3)$
（2）作图步骤：①找到三角形的三个顶点，分别将每个顶点绕点O顺时针旋转90°，得到对应顶点；②用线段依次连接三个对应顶点，即可得到旋转后的三角形。
【答案】
（1）表面积是$73\mathrm{cm}^2$，体积是$42\mathrm{cm}^3$；（2）略
【知识点】
长方体表面积计算、长方体体积计算、图形的旋转
【点评】
本题综合考查了长方体的表面积和体积计算以及图形旋转的作图能力，需要学生牢记相关公式，掌握旋转作图的基本方法，属于基础题型，侧重对基础知识的理解与应用。
【难度系数】
0.8
5. 按要求完成下面各题。
(1) 直接写出得数。
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=$ $\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=$ $2+\frac{4}{9}=$ $6-\frac{1}{4}=$
$\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=$ $\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=$ $3-\frac{5}{7}=$ $\frac{9}{10}-\frac{3}{10}=$
$3-\frac{1}{6}-\frac{5}{6}=$ $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=$ $2-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=$
(2) 能简算的要简算。
$\frac{4}{5}+\frac{11}{15}+\frac{3}{10}$ $\frac{4}{15}+\frac{5}{9}+\frac{11}{15}+\frac{4}{9}$ $4-\frac{5}{12}-\frac{7}{12}$
(3) 解方程。
$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$ $\frac{5}{6}+x=\frac{9}{10}$ $\frac{3}{4}x + 6.75x = 7.5$
(4) 求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
$11$和$13$ $17$和$51$ $24$和$36$
最大公因数：
最小公倍数：
(5) 连一连。
(1) 直接写出得数。
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=$ $\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=$ $2+\frac{4}{9}=$ $6-\frac{1}{4}=$
$\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=$ $\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=$ $3-\frac{5}{7}=$ $\frac{9}{10}-\frac{3}{10}=$
$3-\frac{1}{6}-\frac{5}{6}=$ $\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=$ $2-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=$
(2) 能简算的要简算。
$\frac{4}{5}+\frac{11}{15}+\frac{3}{10}$ $\frac{4}{15}+\frac{5}{9}+\frac{11}{15}+\frac{4}{9}$ $4-\frac{5}{12}-\frac{7}{12}$
(3) 解方程。
$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$ $\frac{5}{6}+x=\frac{9}{10}$ $\frac{3}{4}x + 6.75x = 7.5$
(4) 求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
$11$和$13$ $17$和$51$ $24$和$36$
最大公因数：
1
最大公因数：17
最大公因数：12
最小公倍数：
143
最小公倍数：51
最小公倍数：72
(5) 连一连。
答案
5.（1）$\frac{5}{6}$ $\frac{1}{2}$ $2\frac{4}{9}$ $5\frac{3}{4}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{2}{15}$ $2\frac{2}{7}$ $\frac{3}{5}$
2 $\frac{1}{3}$ $\frac{5}{6}$
（2）$\frac{11}{6}$ 2 3
（3）$x=\frac{11}{15}$ $x=\frac{1}{15}$ $x=1$
（4）1 17 12 143 51 72
（5）
解析
【分析】
本题包含分数加减计算、简便运算、解方程、最大公因数和最小公倍数求解、小数与分数互化连线五个模块，需分别运用对应知识点解题：
1. 分数加减计算：同分母分数直接分子相加减，异分母先通分再计算，整数与分数相加减时可将整数化为同分母分数再计算，能简便的利用运算律简化。
2. 简便运算：利用加法交换律、结合律凑整，或利用减法的性质（一个数连续减两个数等于减这两个数的和）简化计算。
3. 解方程：根据等式的性质，等式两边同时加、减、乘、除同一个非零数等式仍成立，通过移项或合并同类项求解。
4. 最大公因数和最小公倍数：互质数的最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积；倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；一般数通过分解质因数法，最大公因数取公有质因数的乘积，最小公倍数取公有质因数与独有质因数的乘积。
5. 连线题：将小数化为分数，或分数化为小数，把数值相等的对应相连。
【解析】
(1) 直接写出得数：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$；
$\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$；
$2+\frac{4}{9}=2\frac{4}{9}$；
$6-\frac{1}{4}=5\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=5\frac{3}{4}$；
$\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{2}{15}$；
$3-\frac{5}{7}=2\frac{7}{7}-\frac{5}{7}=2\frac{2}{7}$；
$\frac{9}{10}-\frac{3}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；
$3-\frac{1}{6}-\frac{5}{6}=3-(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})=3-1=2$；
$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=(\frac{1}{4}-\frac{1}{4})+\frac{1}{3}=0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$；
$2-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{12}{6}-\frac{3}{6}-\frac{4}{6}=\frac{5}{6}$；
(2) 简便运算：
① $\frac{4}{5}+\frac{11}{15}+\frac{3}{10}$
$=\frac{24}{30}+\frac{22}{30}+\frac{9}{30}$
$=\frac{24+22+9}{30}=\frac{55}{30}=\frac{11}{6}$；
② $\frac{4}{15}+\frac{5}{9}+\frac{11}{15}+\frac{4}{9}$
$=(\frac{4}{15}+\frac{11}{15})+(\frac{5}{9}+\frac{4}{9})$
$=1+1=2$；
③ $4-\frac{5}{12}-\frac{7}{12}$
$=4-(\frac{5}{12}+\frac{7}{12})$
$=4-1=3$；
(3) 解方程：
① $x-\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$
$x=\frac{2}{5}+\frac{1}{3}$
$x=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}$；
② $\frac{5}{6}+x=\frac{9}{10}$
$x=\frac{9}{10}-\frac{5}{6}$
$x=\frac{27}{30}-\frac{25}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$；
③ $\frac{3}{4}x + 6.75x = 7.5$
将$\frac{3}{4}$化为0.75，得$0.75x+6.75x=7.5$
$7.5x=7.5$
$x=7.5÷7.5=1$；
(4) 求最大公因数和最小公倍数：
① 11和13是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是$11×13=143$；
② 51是17的3倍，所以最大公因数是17，最小公倍数是51；
③ 分解质因数：$24=2^3×3$，$36=2^2×3^2$，最大公因数是$2^2×3=12$，最小公倍数是$2^3×3^2=72$；
(5) 连线：
$0.65=\frac{65}{100}=\frac{13}{20}$，对应$\frac{13}{20}$；
$2.25=2\frac{1}{4}$，对应$2\frac{1}{4}$；
$4\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$，对应$\frac{14}{3}$；
$4=\frac{20}{5}$，对应$\frac{20}{5}$；
$0.125=\frac{1}{8}$，对应$\frac{1}{8}$；
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{5}{6}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{2\frac{4}{9}}$，$\boldsymbol{5\frac{3}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{\frac{2}{15}}$，$\boldsymbol{2\frac{2}{7}}$，$\boldsymbol{\frac{3}{5}}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$，$\boldsymbol{\frac{5}{6}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{11}{6}}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$
(3) $\boldsymbol{x=\frac{11}{15}}$，$\boldsymbol{x=\frac{1}{15}}$，$\boldsymbol{x=1}$
(4) 最大公因数：$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{17}$，$\boldsymbol{12}$；最小公倍数：$\boldsymbol{143}$，$\boldsymbol{51}$，$\boldsymbol{72}$
(5) $0.65\leftrightarrow\frac{13}{20}$，$2.25\leftrightarrow2\frac{1}{4}$，$4\frac{2}{3}\leftrightarrow\frac{14}{3}$，$4\leftrightarrow\frac{20}{5}$，$0.125\leftrightarrow\frac{1}{8}$
【知识点】
分数加减运算，简便运算定律，最大公因数与最小公倍数
【点评】
本题综合考查分数、小数的运算，方程求解，数的整除相关知识，涵盖基础计算与简便技巧，需要熟练掌握各类运算规则与数的关系，提升计算准确性与速度。
【难度系数】
0.6
本题包含分数加减计算、简便运算、解方程、最大公因数和最小公倍数求解、小数与分数互化连线五个模块，需分别运用对应知识点解题：
1. 分数加减计算：同分母分数直接分子相加减，异分母先通分再计算，整数与分数相加减时可将整数化为同分母分数再计算，能简便的利用运算律简化。
2. 简便运算：利用加法交换律、结合律凑整，或利用减法的性质（一个数连续减两个数等于减这两个数的和）简化计算。
3. 解方程：根据等式的性质，等式两边同时加、减、乘、除同一个非零数等式仍成立，通过移项或合并同类项求解。
4. 最大公因数和最小公倍数：互质数的最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积；倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；一般数通过分解质因数法，最大公因数取公有质因数的乘积，最小公倍数取公有质因数与独有质因数的乘积。
5. 连线题：将小数化为分数，或分数化为小数，把数值相等的对应相连。
【解析】
(1) 直接写出得数：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$；
$\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$；
$2+\frac{4}{9}=2\frac{4}{9}$；
$6-\frac{1}{4}=5\frac{4}{4}-\frac{1}{4}=5\frac{3}{4}$；
$\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=\frac{3}{10}+\frac{2}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{2}{15}$；
$3-\frac{5}{7}=2\frac{7}{7}-\frac{5}{7}=2\frac{2}{7}$；
$\frac{9}{10}-\frac{3}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；
$3-\frac{1}{6}-\frac{5}{6}=3-(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})=3-1=2$；
$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=(\frac{1}{4}-\frac{1}{4})+\frac{1}{3}=0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$；
$2-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=\frac{12}{6}-\frac{3}{6}-\frac{4}{6}=\frac{5}{6}$；
(2) 简便运算：
① $\frac{4}{5}+\frac{11}{15}+\frac{3}{10}$
$=\frac{24}{30}+\frac{22}{30}+\frac{9}{30}$
$=\frac{24+22+9}{30}=\frac{55}{30}=\frac{11}{6}$；
② $\frac{4}{15}+\frac{5}{9}+\frac{11}{15}+\frac{4}{9}$
$=(\frac{4}{15}+\frac{11}{15})+(\frac{5}{9}+\frac{4}{9})$
$=1+1=2$；
③ $4-\frac{5}{12}-\frac{7}{12}$
$=4-(\frac{5}{12}+\frac{7}{12})$
$=4-1=3$；
(3) 解方程：
① $x-\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$
$x=\frac{2}{5}+\frac{1}{3}$
$x=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}$；
② $\frac{5}{6}+x=\frac{9}{10}$
$x=\frac{9}{10}-\frac{5}{6}$
$x=\frac{27}{30}-\frac{25}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$；
③ $\frac{3}{4}x + 6.75x = 7.5$
将$\frac{3}{4}$化为0.75，得$0.75x+6.75x=7.5$
$7.5x=7.5$
$x=7.5÷7.5=1$；
(4) 求最大公因数和最小公倍数：
① 11和13是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是$11×13=143$；
② 51是17的3倍，所以最大公因数是17，最小公倍数是51；
③ 分解质因数：$24=2^3×3$，$36=2^2×3^2$，最大公因数是$2^2×3=12$，最小公倍数是$2^3×3^2=72$；
(5) 连线：
$0.65=\frac{65}{100}=\frac{13}{20}$，对应$\frac{13}{20}$；
$2.25=2\frac{1}{4}$，对应$2\frac{1}{4}$；
$4\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$，对应$\frac{14}{3}$；
$4=\frac{20}{5}$，对应$\frac{20}{5}$；
$0.125=\frac{1}{8}$，对应$\frac{1}{8}$；
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{5}{6}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{2\frac{4}{9}}$，$\boldsymbol{5\frac{3}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{\frac{2}{15}}$，$\boldsymbol{2\frac{2}{7}}$，$\boldsymbol{\frac{3}{5}}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$，$\boldsymbol{\frac{5}{6}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{11}{6}}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$
(3) $\boldsymbol{x=\frac{11}{15}}$，$\boldsymbol{x=\frac{1}{15}}$，$\boldsymbol{x=1}$
(4) 最大公因数：$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{17}$，$\boldsymbol{12}$；最小公倍数：$\boldsymbol{143}$，$\boldsymbol{51}$，$\boldsymbol{72}$
(5) $0.65\leftrightarrow\frac{13}{20}$，$2.25\leftrightarrow2\frac{1}{4}$，$4\frac{2}{3}\leftrightarrow\frac{14}{3}$，$4\leftrightarrow\frac{20}{5}$，$0.125\leftrightarrow\frac{1}{8}$
【知识点】
分数加减运算，简便运算定律，最大公因数与最小公倍数
【点评】
本题综合考查分数、小数的运算，方程求解，数的整除相关知识，涵盖基础计算与简便技巧，需要熟练掌握各类运算规则与数的关系，提升计算准确性与速度。
【难度系数】
0.6
