3. 如图，点 D 在 BC 上，∠ADC = ∠BAC.下列结论中，正确的是().

A.△ABC∽△DAC
B.△ABC∽△ADC
C.△ABC∽△DAB
D.△ABD∽△ACD

A

【解析】
在△ABC和△DAC中，
∠BAC = ∠ADC（已知），
∠C = ∠C（公共角），
根据两角对应相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△DAC，故A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题关键是找准对应角，利用已知角和公共角证明三角形相似。

4. 如图，在矩形 ABCD 中，BE ⊥ AC，垂足为 E.图中，相似三角形共有().

A.3 对
B.4 对
C.5 对
D.6 对

D

【解析】
在矩形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，故△ABC≌△CDA（全等是相似的特殊情况）。
因为BE⊥AC，所以∠AEB=∠BEC=90°：
1. △ABE∽△ACB：∠AEB=∠ABC=90°，∠BAE=∠CAB（公共角）；
2. △ABE∽△BCE：∠AEB=∠BEC=90°，∠ABE=∠BCE（同角的余角相等）；
3. △ABE∽△ACD：由△ACD≌△ACB，结合△ABE∽△ACB可推得；
4. △BCE∽△ACB：∠BEC=∠ABC=90°，∠BCE=∠ACB（公共角）；
5. △BCE∽△ACD：由△ACD≌△ACB，结合△BCE∽△ACB可推得；
6. △ABC∽△CDA：矩形中△ABC与△CDA全等，全等属于相似的特殊情况。
综上，共有6对相似三角形。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；矩形的性质；全等与相似的关系
【点评】
本题考查矩形性质及相似三角形的判定，需注意全等三角形是相似三角形的特殊情况，解题时要全面梳理，避免遗漏相似三角形对。

5. 如图，在□ABCD 中，点 E 在 BC 上，AE 与 BD 相交于点 F.已知 BE : EC = 4 : 5，则 BF : FD 等于().
A.4 : 5
B.2 : 5
C.5 : 9
D.4 : 9

D

【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AD = BC。
∵ BE:EC = 4:5，
∴ BE:BC = 4:(4+5) = 4:9，即 BE:AD = 4:9。
∵ AD//BC，
∴ △BEF∽△DAF，
∴ BF:FD = BE:AD = 4:9。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，解题关键是利用平行关系得到相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例求出线段比。

6. 如图，在□ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、AB 上，∠BCF = ∠DCE.
（1）△BCF 与△DCE 相似吗？为什么？
（2）已知 AB = 10，AD = 6，E 是 AD 的中点，求 BF 的长.

解：​(1)△BCF∽△DCE​
∵四边形​ABCD​是平行四边形
∴​∠B=∠D​
又
∵​∠BCF=∠DCE​
∴​△BCF∽△DCE​
​(2)​
∵​△BCF∽△DCE​
∴$​\frac {BF}{BC}=\frac {DE}{DC}​$
∵​BC=AD=6，​​DC=AB=10，$​​DE=\frac 12AD=3​$
∴​BF=1.8​

【解析】
(1) $△ BCF ∽ △ DCE$，理由如下：
∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$∠ B = ∠ D$
又
∵$∠ BCF = ∠ DCE$
∴$△ BCF ∽ △ DCE$（两角分别相等的两个三角形相似）
(2)
∵$△ BCF ∽ △ DCE$
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{DE}{DC}$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$AB = 10$，$AD = 6$，$E$是$AD$的中点
∴$BC=AD=6$，$DC=AB=10$，$DE=\frac{1}{2}AD=3$
将数值代入比例式得：$\frac{BF}{6}=\frac{3}{10}$
解得$BF=1.8$
【答案】
(1) $△ BCF$与$△ DCE$相似，理由见解析；
(2) $BF=1.8$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键。