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7. 如图，在□ABCD 中，G 是 BC 延长线上的一点，AG 分别交 BD、CD 于点 E、F.
（1）判断△ABG 与△FDA 是否相似，并说明理由.
（2）图中还有几对相似三角形？是哪几对？
（1）判断△ABG 与△FDA 是否相似，并说明理由.
（2）图中还有几对相似三角形？是哪几对？
答案
解： (1)
∵∠G=∠FAD，∠BAG=∠DFA
∴△ABG∽△FDA
(2)图中还有5对相似三角形：△ADE∽△GBE
△ABE∽△FDE，△GFC∽△GAB，
△GFC∽△AFD，△ABD∽△CDB
∵∠G=∠FAD，∠BAG=∠DFA
∴△ABG∽△FDA
(2)图中还有5对相似三角形：△ADE∽△GBE
△ABE∽△FDE，△GFC∽△GAB，
△GFC∽△AFD，△ABD∽△CDB
解析
【解析】
(1) $△ ABG$与$△ FDA$相似，理由如下：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AD// BC$，
∴$∠ BAG=∠ DFA$（两直线平行，内错角相等），$∠ G=∠ FAD$（两直线平行，同位角相等），
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ ABG∽△ FDA$。
(2) 结合平行四边形对边平行的性质，寻找满足相似条件的三角形：
∵$AD// BG$，
∴$△ ADE∽△ GBE$；
∵$AB// CD$，
∴$△ ABE∽△ FDE$；
∵$FC// AB$，
∴$△ GFC∽△ GAB$；
由$△ GFC∽△ GAB$，$△ ABG∽△ FDA$，可得$△ GFC∽△ AFD$；
又
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$△ ABD≌△ CDB$（全等是相似的特殊情况），故$△ ABD∽△ CDB$。
【答案】
(1) $△ ABG$与$△ FDA$相似，理由见解析；
(2) 还有5对相似三角形，分别是$△ ADE∽△ GBE$，$△ ABE∽△ FDE$，$△ GFC∽△ GAB$，$△ GFC∽△ AFD$，$△ ABD∽△ CDB$。
【知识点】
相似三角形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与相似三角形判定的综合应用，解题需熟练利用平行四边形对边平行得到等角，进而依据相似三角形判定定理推导，同时注意全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，要全面梳理图形中的相似关系，避免遗漏。
(1) $△ ABG$与$△ FDA$相似，理由如下：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AD// BC$，
∴$∠ BAG=∠ DFA$（两直线平行，内错角相等），$∠ G=∠ FAD$（两直线平行，同位角相等），
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△ ABG∽△ FDA$。
(2) 结合平行四边形对边平行的性质，寻找满足相似条件的三角形：
∵$AD// BG$，
∴$△ ADE∽△ GBE$；
∵$AB// CD$，
∴$△ ABE∽△ FDE$；
∵$FC// AB$，
∴$△ GFC∽△ GAB$；
由$△ GFC∽△ GAB$，$△ ABG∽△ FDA$，可得$△ GFC∽△ AFD$；
又
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$△ ABD≌△ CDB$（全等是相似的特殊情况），故$△ ABD∽△ CDB$。
【答案】
(1) $△ ABG$与$△ FDA$相似，理由见解析；
(2) 还有5对相似三角形，分别是$△ ADE∽△ GBE$，$△ ABE∽△ FDE$，$△ GFC∽△ GAB$，$△ GFC∽△ AFD$，$△ ABD∽△ CDB$。
【知识点】
相似三角形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与相似三角形判定的综合应用，解题需熟练利用平行四边形对边平行得到等角，进而依据相似三角形判定定理推导，同时注意全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，要全面梳理图形中的相似关系，避免遗漏。
1. 如图，要使$△ AFE ∽ △ ABC$，需要添加的一个条件是.
答案
∠AFE=∠B
解析
【解析】
已知∠A是△AFE与△ABC的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，添加条件∠AFE=∠B，此时∠A=∠A，∠AFE=∠B，可判定△AFE∽△ABC。
【答案】
∠AFE=∠B（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，关键是借助公共角∠A，添加角相等或对应边成比例的条件即可证明相似，答案具有开放性，合理即可。
已知∠A是△AFE与△ABC的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，添加条件∠AFE=∠B，此时∠A=∠A，∠AFE=∠B，可判定△AFE∽△ABC。
【答案】
∠AFE=∠B（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，关键是借助公共角∠A，添加角相等或对应边成比例的条件即可证明相似，答案具有开放性，合理即可。
2. 如图，$∠ ABD = ∠ BCD = 90^{\circ}$，$BC = 3$，$CD = 4$，当$AB =$时，$△ ABD ∽ △ BCD$.
答案
$\frac {15}{4}$
解析
【解析】
1. 在$Rt△BCD$中，$∠BCD=90^{\circ}$，$BC=3$，$CD=4$，由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 因为$△ABD ∽ △BCD$，且$∠ABD=∠BCD=90^{\circ}$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{CD}$，
将$BC=3$，$BD=5$，$CD=4$代入，计算得：
$AB=\frac{BC · BD}{CD}=\frac{3 × 5}{4}=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的性质
【点评】
本题考查勾股定理与相似三角形性质的综合应用，解题关键是找准相似三角形的对应边，利用对应边成比例建立等式求解边长。
1. 在$Rt△BCD$中，$∠BCD=90^{\circ}$，$BC=3$，$CD=4$，由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 因为$△ABD ∽ △BCD$，且$∠ABD=∠BCD=90^{\circ}$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{CD}$，
将$BC=3$，$BD=5$，$CD=4$代入，计算得：
$AB=\frac{BC · BD}{CD}=\frac{3 × 5}{4}=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的性质
【点评】
本题考查勾股定理与相似三角形性质的综合应用，解题关键是找准相似三角形的对应边，利用对应边成比例建立等式求解边长。
3. 给出下列判断：① 顶角相等的两个等腰三角形相似；② 有一个角相等的两个等腰三角形相似；③ 直角三角形都相似；④ 若一个三角形的两边长分别为$2$、$\sqrt{6}$，夹角为$32^{\circ}$，另一个三角形的两边长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$，夹角为$32^{\circ}$，则这两个三角形相似.其中，判断正确的有().
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
B
解析
【解析】
我们逐个分析每个判断：
1. 对于①：顶角相等的两个等腰三角形，它们的底角均为$\frac{180^{\circ}-顶角}{2}$，因此三个角对应相等，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定这两个等腰三角形相似，故①正确。
2. 对于②：有一个角相等的两个等腰三角形，可能是一个的顶角与另一个的底角相等，比如一个等腰三角形顶角为$30^{\circ}$，另一个等腰三角形底角为$30^{\circ}$，此时三个角不对应相等，不相似，故②错误。
3. 对于③：直角三角形只有直角相等，其余两个锐角不一定对应相等，比如一个直角三角形锐角为$30^{\circ}$，另一个为$45^{\circ}$，不满足相似条件，故③错误。
4. 对于④：计算两边的比例，$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$，即两边对应成比例，且夹角均为$32^{\circ}$相等，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定这两个三角形相似，故④正确。
综上，正确的判断有①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形性质
【点评】
本题主要考查相似三角形的判定定理及等腰三角形的性质，解题关键是准确理解相似三角形的判定条件，注意等腰三角形中角的位置（顶角或底角）对相似性的影响，避免因考虑不全面而误判。
我们逐个分析每个判断：
1. 对于①：顶角相等的两个等腰三角形，它们的底角均为$\frac{180^{\circ}-顶角}{2}$，因此三个角对应相等，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可判定这两个等腰三角形相似，故①正确。
2. 对于②：有一个角相等的两个等腰三角形，可能是一个的顶角与另一个的底角相等，比如一个等腰三角形顶角为$30^{\circ}$，另一个等腰三角形底角为$30^{\circ}$，此时三个角不对应相等，不相似，故②错误。
3. 对于③：直角三角形只有直角相等，其余两个锐角不一定对应相等，比如一个直角三角形锐角为$30^{\circ}$，另一个为$45^{\circ}$，不满足相似条件，故③错误。
4. 对于④：计算两边的比例，$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$，即两边对应成比例，且夹角均为$32^{\circ}$相等，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定这两个三角形相似，故④正确。
综上，正确的判断有①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形性质
【点评】
本题主要考查相似三角形的判定定理及等腰三角形的性质，解题关键是准确理解相似三角形的判定条件，注意等腰三角形中角的位置（顶角或底角）对相似性的影响，避免因考虑不全面而误判。
