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4. 如图，给出下列条件：① $∠ B = ∠ C$，② $∠ ADB = ∠ AEC$，③ $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$，④ $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，⑤ $\frac{PE}{PD} = \frac{PB}{PC}$.其中，能使$△ BPE ∽ △ CPD$成立的条件有().
A.$5$个
B.$4$个
C.$3$个
D.$2$个
A.$5$个
B.$4$个
C.$3$个
D.$2$个
答案
B
解析
【解析】
我们根据相似三角形的判定定理，逐一分析每个条件：
1. 对于条件①：
已知$∠BPE=∠CPD$（对顶角相等），若$∠B=∠C$，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可得$△BPE ∽ △CPD$。
2. 对于条件②：
由$∠ADB=∠AEC$，结合$∠A$为公共角，可得$∠B=180°-∠A-∠ADB$，$∠C=180°-∠A-∠AEC$，故$∠B=∠C$，再结合$∠BPE=∠CPD$，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可得$△BPE ∽ △CPD$。
3. 对于条件③：
由$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$，且$∠A$为公共角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ADB ∽ △AEC$，从而$∠B=∠C$，再结合$∠BPE=∠CPD$，可得$△BPE ∽ △CPD$。
4. 对于条件④：
由$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，$∠A$为公共角，可得$△ADE ∽ △ABC$，只能推出$∠ADE=∠B$，$∠AED=∠C$，无法得到$△BPE$与$△CPD$的角或边满足相似条件，故该条件不能使$△BPE ∽ △CPD$成立。
5. 对于条件⑤：
由$\frac{PE}{PD} = \frac{PB}{PC}$，即$\frac{PE}{PB}=\frac{PD}{PC}$，且$∠BPE=∠CPD$（对顶角相等），根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△BPE ∽ △CPD$。
综上，能使$△BPE ∽ △CPD$成立的条件有①②③⑤，共4个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题主要考查相似三角形判定定理的应用，需熟练掌握两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等的相似判定方法，注意结合对顶角相等、公共角等隐含条件分析，准确判断每个条件是否满足相似要求。
我们根据相似三角形的判定定理，逐一分析每个条件：
1. 对于条件①：
已知$∠BPE=∠CPD$（对顶角相等），若$∠B=∠C$，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可得$△BPE ∽ △CPD$。
2. 对于条件②：
由$∠ADB=∠AEC$，结合$∠A$为公共角，可得$∠B=180°-∠A-∠ADB$，$∠C=180°-∠A-∠AEC$，故$∠B=∠C$，再结合$∠BPE=∠CPD$，根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可得$△BPE ∽ △CPD$。
3. 对于条件③：
由$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$，且$∠A$为公共角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ADB ∽ △AEC$，从而$∠B=∠C$，再结合$∠BPE=∠CPD$，可得$△BPE ∽ △CPD$。
4. 对于条件④：
由$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，$∠A$为公共角，可得$△ADE ∽ △ABC$，只能推出$∠ADE=∠B$，$∠AED=∠C$，无法得到$△BPE$与$△CPD$的角或边满足相似条件，故该条件不能使$△BPE ∽ △CPD$成立。
5. 对于条件⑤：
由$\frac{PE}{PD} = \frac{PB}{PC}$，即$\frac{PE}{PB}=\frac{PD}{PC}$，且$∠BPE=∠CPD$（对顶角相等），根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△BPE ∽ △CPD$。
综上，能使$△BPE ∽ △CPD$成立的条件有①②③⑤，共4个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题主要考查相似三角形判定定理的应用，需熟练掌握两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等的相似判定方法，注意结合对顶角相等、公共角等隐含条件分析，准确判断每个条件是否满足相似要求。
5. 如图，$AB // A'B'$，$BC // B'C'$.$△ AOC$与$△ A'OC'$相似吗？为什么？
答案
解:△AOC∽△A'OC'
证明：
∵AB//A'B'，BC//B'C'
∴$\frac {OA}{OA'}=\frac {OB}{OB'}=\frac {OC}{OC'}$
又
∵∠AOC=∠A'OC'
∴△AOC∽△A'OC'
证明：
∵AB//A'B'，BC//B'C'
∴$\frac {OA}{OA'}=\frac {OB}{OB'}=\frac {OC}{OC'}$
又
∵∠AOC=∠A'OC'
∴△AOC∽△A'OC'
解析
【解析】
$△ AOC$与$△ A'OC'$相似，证明如下：
已知$AB // A'B'$，$BC // B'C'$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}$，$\frac{OC}{OC'}=\frac{OB}{OB'}$，因此$\frac{OA}{OA'}=\frac{OC}{OC'}$。
又因为$∠ AOC$与$∠ A'OC'$是对顶角，所以$∠ AOC=∠ A'OC'$。
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOC ∽ △ A'OC'$。
【答案】
$△ AOC ∽ △ A'OC'$
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定与平行线分线段成比例定理的综合应用，需熟练掌握相似三角形的判定定理，结合平行线性质推导对应边比例关系，进而完成相似证明。
$△ AOC$与$△ A'OC'$相似，证明如下：
已知$AB // A'B'$，$BC // B'C'$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}$，$\frac{OC}{OC'}=\frac{OB}{OB'}$，因此$\frac{OA}{OA'}=\frac{OC}{OC'}$。
又因为$∠ AOC$与$∠ A'OC'$是对顶角，所以$∠ AOC=∠ A'OC'$。
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOC ∽ △ A'OC'$。
【答案】
$△ AOC ∽ △ A'OC'$
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定与平行线分线段成比例定理的综合应用，需熟练掌握相似三角形的判定定理，结合平行线性质推导对应边比例关系，进而完成相似证明。
6. 如图，在$△ ABC$中，点$D$、$E$在$AB$上，点$F$在$BC$上，$EF // DC$，$\frac{BE}{BD} = \frac{BD}{BA}$.判断$DF$与$AC$的位置关系，并说明理由.
答案
解：DF//AC，理由如下
∵EF//DC
∴$\frac {BE}{BD}=\frac {BF}{BC}$
∵$\frac {BE}{BD}=\frac {BD}{BA}$
∴$\frac {BF}{BC}=\frac {BD}{BA}$
∴DF//AC
∵EF//DC
∴$\frac {BE}{BD}=\frac {BF}{BC}$
∵$\frac {BE}{BD}=\frac {BD}{BA}$
∴$\frac {BF}{BC}=\frac {BD}{BA}$
∴DF//AC
解析
【解析】
DF与AC的位置关系是$DF// AC$，理由如下：
$\because EF// DC$
$\therefore \frac{BE}{BD}=\frac{BF}{BC}$（平行线分线段成比例定理）
$\because \frac{BE}{BD}=\frac{BD}{BA}$
$\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{BD}{BA}$（等量代换）
$\therefore DF// AC$（平行线分线段成比例定理的逆定理）
【答案】
$DF// AC$
【知识点】
平行线分线段成比例定理、平行线分线段成比例逆定理
【点评】
本题主要考查平行线分线段成比例定理及其逆定理的应用，解题关键是通过已知条件进行比例式的等量代换，进而利用逆定理判定两直线平行。
DF与AC的位置关系是$DF// AC$，理由如下：
$\because EF// DC$
$\therefore \frac{BE}{BD}=\frac{BF}{BC}$（平行线分线段成比例定理）
$\because \frac{BE}{BD}=\frac{BD}{BA}$
$\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{BD}{BA}$（等量代换）
$\therefore DF// AC$（平行线分线段成比例定理的逆定理）
【答案】
$DF// AC$
【知识点】
平行线分线段成比例定理、平行线分线段成比例逆定理
【点评】
本题主要考查平行线分线段成比例定理及其逆定理的应用，解题关键是通过已知条件进行比例式的等量代换，进而利用逆定理判定两直线平行。
