1. 计算$\sqrt{12} ÷ \sqrt{3}$的结果是()

A.4
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{3}$

C

根据二次根式的除法法则，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b ＞ 0$），对于$\sqrt{12}÷\sqrt{3}$，可得$\sqrt{12÷3}=\sqrt{4} = 2$。

2. 下列根式中，属于最简二次根式的是()

A.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
B.$\sqrt{0.3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{20}$

C

最简二次根式需满足两个条件：1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数的因数是整数，因式是整式。
-选项A：$\sqrt{\frac{1}{3}}$，被开方数是分数，不满足最简二次根式条件，可化为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
-选项B：$\sqrt{0.3}$，被开方数是小数，可化为$\sqrt{\frac{3}{10}}$，不满足条件，可化为$\frac{\sqrt{30}}{10}$。
-选项C：$\sqrt{3}$，被开方数3是整数且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式条件。
-选项D：$\sqrt{20}$，$20 = 4×5$，$4$能开得尽方，可化为$2\sqrt{5}$，不满足最简二次根式条件。

3. 下列计算中，正确的是()

A.$\sqrt{\frac{5}{9}} = 3\sqrt{5}$
B.$\sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{5}$
C.$\sqrt{\frac{3}{12}} = \frac{1}{2}$
D.$\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{1}{6}$

C

A. 对于 $\sqrt{\frac{5}{9}}$，
根据二次根式的性质，我们有：
$\sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$
所以，A 选项错误。
B. 对于 $\sqrt{\frac{2}{5}}$，
根据二次根式的性质，我们可以得到：
$\sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$
（这里我们选择了将分母有理化，即乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$）
所以，B 选项错误。
C. 对于 $\sqrt{\frac{3}{12}}$，
首先简化分数 $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$，然后开方得到：
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
所以，C 选项正确。
D. 对于 $\frac{6}{\sqrt{6}}$，
我们可以将其有理化为：
$\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$
所以，D 选项错误。

4. 已知$\sqrt{7} = a$，$\sqrt{70} = b$，则$\sqrt{4.9}$可用含$a$，$b$的式子表示为()

A.$\frac{a + b}{10}$
B.$\frac{a - b}{10}$
C.$\frac{b}{a}$
D.$\frac{ab}{10}$

D

首先将$\sqrt{4.9}$转化为分数的形式，即$\sqrt{\frac{49}{10}}$。
根据根式的性质，可以将其拆分为$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}$。
为了将分母有理化，乘以$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$，得到$\frac{7\sqrt{10}}{10}$。
根据题目给定的$\sqrt{7} = a$，可以将7表示为$a^2$（因为$\sqrt{7} × \sqrt{7} = 7$）。
同样地，$\sqrt{70} = b$，所以$\sqrt{10} = \frac{b}{a}$（因为$\sqrt{70} = \sqrt{7} × \sqrt{10}$，所以$\sqrt{10} = \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}$）。
将上述结果代入$\frac{7\sqrt{10}}{10}$，
得到$\frac{a^2 × \frac{b}{a}}{10} = \frac{ab}{10}$。

5. 计算：$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} =$；$\sqrt{\frac{2}{5}} ÷ \sqrt{\frac{8}{125}} =$.

4；$\frac{5}{2}$

第一空：$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}$
根据二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a ≥ 0$，$b ＞ 0$），可得：
$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$
第二空：$\sqrt{\frac{2}{5}} ÷ \sqrt{\frac{8}{125}}$
根据二次根式的除法法则：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a ≥ 0$，$b ＞ 0$），可得：
$\sqrt{\frac{2}{5}} ÷ \sqrt{\frac{8}{125}} = \sqrt{\frac{2}{5} ÷ \frac{8}{125}} = \sqrt{\frac{2}{5} × \frac{125}{8}} = \sqrt{\frac{250}{40}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$

6. 已知一个长方体的体积和高分别为$4\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$，则它的底面积为.

$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

长方体体积 = 底面积 × 高，所以底面积 = 体积 ÷ 高。
底面积 = $4\sqrt{3} ÷ 3\sqrt{2}$
$= \frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}$
$= \frac{4\sqrt{3} × \sqrt{2}}{3\sqrt{2} × \sqrt{2}}$
$= \frac{4\sqrt{6}}{3 × 2}$
$= \frac{4\sqrt{6}}{6}$
$= \frac{2\sqrt{6}}{3}$