11. 如图，在$3 × 3$的方格中，若要使横、竖、斜对角的$3$个实数相乘都得到同样的结果，求$2$个空格中的实数之积。

$ 6\sqrt{2} $

设3×3方格中横、竖、斜对角的3个实数相乘的结果为$ k $，两个空格中的数分别为$ a $（第二行中间）和$ b $（第三行第一列）。
1. 计算$ k $的值：
第一行：$ 3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 3\sqrt{2} × 2\sqrt{3} = 6\sqrt{6} $，故$ k = 6\sqrt{6} $。
2. 求空格$ a $：
第二行：$ 1 × a × 6 = k $，即$ 6a = 6\sqrt{6} $，解得$ a = \sqrt{6} $。
3. 求空格$ b $：
第三行：$ b × 3 × \sqrt{2} = k $，即$ 3\sqrt{2}b = 6\sqrt{6} $，解得$ b = \frac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = 2\sqrt{3} $。
4. 求两空格之积：
$ a × b = \sqrt{6} × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2} $。

1. 观察下列等式：①$\sqrt{1} × \sqrt{5} = \sqrt{3^{2} - 4}$；②$\sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{4^{2} - 4}$；③$\sqrt{3} × \sqrt{7} = \sqrt{5^{2} - 4} ···$
(1)请写出第$8$个等式：；
(2)请用含$n$的等式表示你发现的规律，并给出证明。

(1)$\sqrt{8}×\sqrt{12}=\sqrt{10^{2}-4}$
(2)规律：$\sqrt{n}·\sqrt{n+4}=\sqrt{(n+2)^{2}-4}$（$n$为正整数）
证明：左边$=\sqrt{n}·\sqrt{n+4}=\sqrt{n(n+4)}=\sqrt{n^{2}+4n}$
右边$=\sqrt{(n+2)^{2}-4}=\sqrt{n^{2}+4n+4-4}=\sqrt{n^{2}+4n}$
左边=右边，故等式成立。

2. 如图，正方形$ABCD$被分割成正方形$BFIE$、正方形$DHIG$、长方形$AEIH$和长方形$IFCG$。已知正方形$BFIE$和正方形$DHIG$的面积分别为$a$，$b$。
(1)长方形$AEIH$的面积是，正方形$ABCD$的面积是；(用含$a$，$b$的式子表示)
(2)根据(1)中正方形$ABCD$的面积的表示方法，化简：$\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}}$；
(3)根据(2)，化简：$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$。

(1)
长方形$AEIH$的面积：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（或$\sqrt{a}\sqrt{b}$），
正方形$ABCD$的面积：$a + b + 2\sqrt{ab}$（或$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$）。
(2)
因为$a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a})^{2}+2\sqrt{ab}+(\sqrt{b})^{2}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$，
所以$\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}=\vert\sqrt{a}+\sqrt{b}\vert$，
又因为$\sqrt{a}＞0,\sqrt{b}＞0$，
所以$\vert\sqrt{a}+\sqrt{b}\vert=\sqrt{a}+\sqrt{b}$。
(3)
因为$4 + 2\sqrt{3}=3+2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}+1^{2}=(\sqrt{3} + 1)^{2}$，
所以$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}=\vert\sqrt{3}+1\vert=\sqrt{3}+1$。