15. 已知一次函数 $ y = ax + 3 $ 的函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,那么当 $ x = - 1 $ 时,$ y $ 的值可以是.(写出一个即可)

因为一次函数$y = ax + 3$的函数值$y$随$x$的增大而增大，所以$a＞0$。
当$x=-1$时，$y=-a + 3$。
因为$a＞0$，所以$-a＜0$，则$y=-a + 3＜3$。
取$a=1$，则$y=-1 + 3=2$。
故答案可以是$2$。

16. 如图,四边形 $ ABCD $ 是菱形,$ B,C,D $ 三点的坐标分别是 $ (2,0),(m,0),(10,4) $,点 $ A $ 在第一象限,则 $ m $ 的值是.

因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB=BC=CD=AD$，且$AD// BC$。
已知$B(2,0)$，$C(m,0)$，$D(10,4)$，点$B$、$C$在$x$轴上，故$BC$为水平线段，$BC=|m-2|$。
由于$AD// BC$，$BC$平行于$x$轴，所以$AD$也平行于$x$轴，因此点$A$与点$D$纵坐标相同，设$A(x,4)$。
$AD$的长度为$|10 - x|$，因为$AD=BC$，所以$|10 - x|=|m - 2|$。又因点$A$在第一象限且菱形顶点顺序为$A,B,C,D$，可知$x ＜ 10$，$m ＞ 2$，故$10 - x = m - 2$，得$x = 12 - m$，即$A(12 - m,4)$。
$AB$的长度为$\sqrt{(12 - m - 2)^2 + (4 - 0)^2}=\sqrt{(10 - m)^2 + 16}$，且$AB=BC$，所以$\sqrt{(10 - m)^2 + 16}=m - 2$。
两边平方得：$(10 - m)^2 + 16=(m - 2)^2$，展开得$100 - 20m + m^2 + 16 = m^2 - 4m + 4$，化简得$-16m = -112$，解得$m = 7$。
7

17. 如图,根据图象,可得关于 $ x $ 的不等式 $ (k + 1)x - 3 ≤ 0 $ 的解集是.

由图像可知，直线$y = kx$与$y = -x + 3$交于点$(1, 2)$。
将$(1, 2)$代入$y = kx$，得$2 = k × 1$，解得$k = 2$。
将$k = 2$代入不等式$(k + 1)x - 3 ≤ 0$，得$3x - 3 ≤ 0$。
解不等式$3x - 3 ≤ 0$：$3x ≤ 3$，$x ≤ 1$。
故解集为$x ≤ 1$。
$x ≤ 1$

18. 如图,在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中,$ ∠ C = 90^{\circ} $,$ ∠ A = 30^{\circ} $,$ P $ 是边 $ AB $ 上一个动点,过点 $ P $ 分别作边 $ BC,AC $ 的垂线,垂足为 $ D,E $,连接 $ DE $.若 $ BC = 4 $,则 $ DE $ 长的最小值为.

在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ A=30^{\circ}$，$BC=4$。
$\because ∠ A=30^{\circ}$，$∠ C=90^{\circ}$，$\therefore AB=2BC=8$（30°角所对直角边是斜边一半）。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4\sqrt{3}$。
$\because PD⊥ BC$，$PE⊥ AC$，$∠ C=90^{\circ}$，$\therefore$四边形$PDCE$是矩形，$\therefore DE=PC$（矩形对角线相等）。
要使$DE$最小，即需$PC$最小。点$P$在$AB$上运动，$PC$最小值为点$C$到$AB$的距离（垂线段最短）。
$Rt△ ABC$面积$S=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$。
又$S=\frac{1}{2}AB· h$（$h$为$AB$边上的高），即$8\sqrt{3}=\frac{1}{2}×8· h$，解得$h=2\sqrt{3}$。
$\therefore DE$长的最小值为$2\sqrt{3}$。
$2\sqrt{3}$