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(6)$□ 56□$是一个四位数，要使它同时是 3 和 5 的倍数，这个数最小是()，最大是()。
答案
1560，8565
解析
要使四位数□56□同时是3和5的倍数，需满足：个位是0或5（5的倍数特征），且各数位数字之和是3的倍数（3的倍数特征）。
最小数：千位最小为1。若个位为0，数字和为1+5+6+0=12（12是3的倍数），则数为1560；若个位为5，数字和为1+5+6+5=17（17不是3的倍数）。故最小数为1560。
最大数：千位最大为9。若个位为5，数字和9+5+6+5=25（非3的倍数）；千位8，个位5时，数字和8+5+6+5=24（24是3的倍数），数为8565；若个位为0，千位9时数字和20（非3的倍数），千位8时数字和19（非3的倍数）。故最大数为8565。
最小数：千位最小为1。若个位为0，数字和为1+5+6+0=12（12是3的倍数），则数为1560；若个位为5，数字和为1+5+6+5=17（17不是3的倍数）。故最小数为1560。
最大数：千位最大为9。若个位为5，数字和9+5+6+5=25（非3的倍数）；千位8，个位5时，数字和8+5+6+5=24（24是3的倍数），数为8565；若个位为0，千位9时数字和20（非3的倍数），千位8时数字和19（非3的倍数）。故最大数为8565。
2 判断题。(对的在括号里画“√”，错的画“×”。)
(1)4 的因数只有 4，23 的倍数一定大于 23。 ()
(2)如果 $ a $ 是自然数，那么$(a + 2)$是偶数。 ()
(3)同时是 2，3，5 的倍数的数，个位上必定是 0。 ()
(4)质数就是奇数，合数就是偶数。 ()
(1)4 的因数只有 4，23 的倍数一定大于 23。 ()
(2)如果 $ a $ 是自然数，那么$(a + 2)$是偶数。 ()
(3)同时是 2，3，5 的倍数的数，个位上必定是 0。 ()
(4)质数就是奇数，合数就是偶数。 ()
答案
×，×，√，×
解析
(1) 4 的因数有 1、2、4，并不只有 4；23 的最小倍数是 23 本身，并不一定大于 23，所以第一题错误。
(2)当a是奇数时$a + 2$的结果是奇数加2，即奇数加偶数还是奇数，只有当a是偶数时$a+2$才是偶数，该式不成立，所以第二题错误。
(3) 根据 2、3、5 的倍数的特征，同时是 2、3、5 的倍数的数，个位上必定是 0，所以第三题正确。
(4)2 是质数，但是 2 是偶数，9 是合数，但是 9 是奇数，所以第四题错误。
(2)当a是奇数时$a + 2$的结果是奇数加2，即奇数加偶数还是奇数，只有当a是偶数时$a+2$才是偶数，该式不成立，所以第二题错误。
(3) 根据 2、3、5 的倍数的特征，同时是 2、3、5 的倍数的数，个位上必定是 0，所以第三题正确。
(4)2 是质数，但是 2 是偶数，9 是合数，但是 9 是奇数，所以第四题错误。
3 选择题。(将正确答案的序号填在括号里。)
(1)有一个数，它既是 9 的因数，又是 9 的倍数，这个数是()。
A. 3
B. 9
C. 18
D. 27
(1)有一个数，它既是 9 的因数，又是 9 的倍数，这个数是()。
A. 3
B. 9
C. 18
D. 27
答案
B
解析
一个数既是9的因数又是9的倍数，根据因数和倍数的定义，一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。所以这个数就是9。
(2)$ a $、$ b $ 都是非零自然数，且 $ a ÷ b = 5 $，$ a $ 和 $ b $ 的最小公倍数是()。
A.$ a $
B.$ b $
C.5
D.$ a × b $
A.$ a $
B.$ b $
C.5
D.$ a × b $
答案
A
解析
因为a、b都是非零自然数，且a÷b=5，所以a是b的倍数。当两个数为倍数关系时，较大数是它们的最小公倍数，所以a和b的最小公倍数是a。
(3)24 的因数有()个。
A.7
B.8
C.9
D.10
A.7
B.8
C.9
D.10
答案
B
解析
24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，共8个。
(4)正方形的边长是质数，它的周长()。
A.是质数
B.是合数
C.既不是质数，也不是合数
A.是质数
B.是合数
C.既不是质数，也不是合数
答案
B
解析
质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数。设正方形的边长为$p$（$p$为质数），则周长为$4 × p$。由于$4$是合数，且可以分解为$2 × 2$，因此$4 × p$至少可以分解为$2 × 2 × p$，说明周长除了1和它本身外还有其他因数，故周长是合数。
4 把下面各数写成两个质数的和的形式。
$ 28 = (\quad) + (\quad) $
$ 26 = (\quad) + (\quad) $
$ 34 = (\quad) + (\quad) $
$ 50 = (\quad) + (\quad) $
$ 28 = (\quad) + (\quad) $
$ 26 = (\quad) + (\quad) $
$ 34 = (\quad) + (\quad) $
$ 50 = (\quad) + (\quad) $
答案
28 = 5 + 23
28 = 11 + 17
26 = 3 + 23
26 = 5 + 21（21不是质数，舍去）
26 = 7 + 19
26 = 13 + 13
34 = 3 + 31
34 = 5 + 29
34 = 11 + 23
34 = 17 + 17
50 = 3 + 47
50 = 7 + 43
50 = 13 + 37
50 = 19 + 31
28 = 11 + 17
26 = 3 + 23
26 = 5 + 21（21不是质数，舍去）
26 = 7 + 19
26 = 13 + 13
34 = 3 + 31
34 = 5 + 29
34 = 11 + 23
34 = 17 + 17
50 = 3 + 47
50 = 7 + 43
50 = 13 + 37
50 = 19 + 31
5 写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
16 和 12
20 和 36
70 和 80
28 和 14
16 和 12
20 和 36
70 和 80
28 和 14
答案
1.
分解质因数：$12 = 2×2×3$，$16 = 2×2×2× 2$。
最大公因数：$2×2 = 4$。
最小公倍数：$2×2×2×2×3 = 48$。
2.
分解质因数：$20 = 2×2×5$，$36 = 2×2×3×3$。
最大公因数：$2×2 = 4$。
最小公倍数：$2×2×3×3×5 = 180$。
3.
分解质因数：$70 = 2×5×7$，$80 = 2×2×2×2×5$。
最大公因数：$2×5 = 10$。
最小公倍数：$2×2×2×2×5×7 = 560$。
4.
因为$28÷14 = 2$，即$28$和$14$是倍数关系。
最大公因数：$14$。
最小公倍数：$28$。
分解质因数：$12 = 2×2×3$，$16 = 2×2×2× 2$。
最大公因数：$2×2 = 4$。
最小公倍数：$2×2×2×2×3 = 48$。
2.
分解质因数：$20 = 2×2×5$，$36 = 2×2×3×3$。
最大公因数：$2×2 = 4$。
最小公倍数：$2×2×3×3×5 = 180$。
3.
分解质因数：$70 = 2×5×7$，$80 = 2×2×2×2×5$。
最大公因数：$2×5 = 10$。
最小公倍数：$2×2×2×2×5×7 = 560$。
4.
因为$28÷14 = 2$，即$28$和$14$是倍数关系。
最大公因数：$14$。
最小公倍数：$28$。
6 写出下面各分数分子和分母的最大公因数。
$\dfrac{12}{36} (\quad)$
$\dfrac{15}{25} (\quad)$
$\dfrac{7}{12} (\quad)$
$\dfrac{12}{36} (\quad)$
$\dfrac{15}{25} (\quad)$
$\dfrac{7}{12} (\quad)$
答案
$\dfrac{12}{36}$：12和36的最大公因数是12。
$\dfrac{15}{25}$：15和25的最大公因数是5。
$\dfrac{7}{12}$：7和12的最大公因数是1。
答案依次为：12；5；1。
$\dfrac{15}{25}$：15和25的最大公因数是5。
$\dfrac{7}{12}$：7和12的最大公因数是1。
答案依次为：12；5；1。
7 五(1)班的同学去春游，8 人一组或 12 人一组都可以。这个班至少有多少人？
答案
解题过程如下：
题目要求8人一组或12人一组都可以正好分完，即求8和12的最小公倍数。
使用分解质因数法：
$8=2×2×2$。
$12=2×2×3$。
所以8和12的最小公倍数为：$2×2×2×3=24$。
结论：
这个班至少有24人。
题目要求8人一组或12人一组都可以正好分完，即求8和12的最小公倍数。
使用分解质因数法：
$8=2×2×2$。
$12=2×2×3$。
所以8和12的最小公倍数为：$2×2×2×3=24$。
结论：
这个班至少有24人。
