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例2 甲、乙两所学校举行了图书捐赠活动. 甲校募集了 200 本图书，乙校募集了 300 本图书. 现在需要将这些书全部送到 A、B 两所希望小学. 已知 A 小学需要 240 本图书，B 小学需要 260 本图书. 两个学校的同学联系了快递公司来运送这些书，运费价格如下：
从甲校运送到 A 小学：每本书 2 元；从甲校运送到 B 小学：每本书 2.5 元；从乙校运送到 A 小学：每本书 1.5 元；从乙校运送到 B 小学：每本书 1.8 元.
我们假设从甲校运送到 A 小学的图书数量为 $x$ 本. 请你用含有 $x$ 的代数式填写下表：
(1) 请列出运送这批图书所需要的总运费 $y$ (元) 与 $x$ (本) 之间的函数关系式.
(2) 请你设计一个运费最省钱的方案，并求出最低的总运费是多少元.
从甲校运送到 A 小学：每本书 2 元；从甲校运送到 B 小学：每本书 2.5 元；从乙校运送到 A 小学：每本书 1.5 元；从乙校运送到 B 小学：每本书 1.8 元.
我们假设从甲校运送到 A 小学的图书数量为 $x$ 本. 请你用含有 $x$ 的代数式填写下表：
(1) 请列出运送这批图书所需要的总运费 $y$ (元) 与 $x$ (本) 之间的函数关系式.
(2) 请你设计一个运费最省钱的方案，并求出最低的总运费是多少元.
答案
表格填写：
| | 运往A小学(本) | 运往B小学(本) | 总计(本) |
|----------|--------------|--------------|----------|
| 甲校 | $ x $ | $ 200 - x $ | 200 |
| 乙校 | $ 240 - x $ | $ 60 + x $ | 300 |
| 总计 | 240 | 260 | 500 |
(1) 总运费函数关系式
总运费 $ y $ 由四部分组成：
甲校运往A小学：$ 2x $ 元
甲校运往B小学：$ 2.5(200 - x) $ 元
乙校运往A小学：$ 1.5(240 - x) $ 元
乙校运往B小学：$ 1.8(60 + x) $ 元
$\begin{aligned}y&=2x + 2.5(200 - x) + 1.5(240 - x) + 1.8(60 + x) \\&=2x + 500 - 2.5x + 360 - 1.5x + 108 + 1.8x \\&=(-0.2x) + 968 \\\end{aligned}$
$ x $ 取值范围：$ 0 ≤ x ≤ 200 $（$ x $ 为非负整数，且 $ 240 - x ≥ 0 $，$ 200 - x ≥ 0 $）
故函数关系式为：$ y = -0.2x + 968 $（$ 0 ≤ x ≤ 200 $）
(2) 最省钱方案及最低运费
$ y = -0.2x + 968 $ 中，$ k = -0.2 ＜ 0 $，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小。
当 $ x $ 取最大值 $ 200 $ 时，$ y $ 最小。
此时：
甲校运往A小学：200本，运往B小学：$ 200 - 200 = 0 $本
乙校运往A小学：$ 240 - 200 = 40 $本，运往B小学：$ 60 + 200 = 260 $本
最低运费：$ y = -0.2×200 + 968 = 928 $元
答案：
(1) $ y = -0.2x + 968 $（$ 0 ≤ x ≤ 200 $）
(2) 甲校运往A小学200本，乙校运往A小学40本、运往B小学260本，最低运费928元。
| | 运往A小学(本) | 运往B小学(本) | 总计(本) |
|----------|--------------|--------------|----------|
| 甲校 | $ x $ | $ 200 - x $ | 200 |
| 乙校 | $ 240 - x $ | $ 60 + x $ | 300 |
| 总计 | 240 | 260 | 500 |
(1) 总运费函数关系式
总运费 $ y $ 由四部分组成：
甲校运往A小学：$ 2x $ 元
甲校运往B小学：$ 2.5(200 - x) $ 元
乙校运往A小学：$ 1.5(240 - x) $ 元
乙校运往B小学：$ 1.8(60 + x) $ 元
$\begin{aligned}y&=2x + 2.5(200 - x) + 1.5(240 - x) + 1.8(60 + x) \\&=2x + 500 - 2.5x + 360 - 1.5x + 108 + 1.8x \\&=(-0.2x) + 968 \\\end{aligned}$
$ x $ 取值范围：$ 0 ≤ x ≤ 200 $（$ x $ 为非负整数，且 $ 240 - x ≥ 0 $，$ 200 - x ≥ 0 $）
故函数关系式为：$ y = -0.2x + 968 $（$ 0 ≤ x ≤ 200 $）
(2) 最省钱方案及最低运费
$ y = -0.2x + 968 $ 中，$ k = -0.2 ＜ 0 $，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小。
当 $ x $ 取最大值 $ 200 $ 时，$ y $ 最小。
此时：
甲校运往A小学：200本，运往B小学：$ 200 - 200 = 0 $本
乙校运往A小学：$ 240 - 200 = 40 $本，运往B小学：$ 60 + 200 = 260 $本
最低运费：$ y = -0.2×200 + 968 = 928 $元
答案：
(1) $ y = -0.2x + 968 $（$ 0 ≤ x ≤ 200 $）
(2) 甲校运往A小学200本，乙校运往A小学40本、运往B小学260本，最低运费928元。
解析
表格填写：
| | 运往A小学(本) | 运往B小学(本) | 总计(本) |
|----------|--------------|--------------|----------|
| 甲校 | $ x $ | $ 200 - x $ | 200 |
| 乙校 | $ 240 - x $ | $ 60 + x $ | 300 |
| 总计 | 240 | 260 | 500 |
(1) 总运费函数关系式
总运费 $ y $ 由四部分组成：
甲校运往A小学：$ 2x $ 元
甲校运往B小学：$ 2.5(200 - x) $ 元
乙校运往A小学：$ 1.5(240 - x) $ 元
乙校运往B小学：$ 1.8(60 + x) $ 元
$\begin{aligned}y&=2x + 2.5(200 - x) + 1.5(240 - x) + 1.8(60 + x) \\&=2x + 500 - 2.5x + 360 - 1.5x + 108 + 1.8x \\&=(-0.2x) + 968 \\\end{aligned}$
$ x $ 取值范围：$ 0 ≤ x ≤ 200 $（$ x $ 为非负整数，且 $ 240 - x ≥ 0 $，$ 200 - x ≥ 0 $）
故函数关系式为：$ y = -0.2x + 968 $（$ 0 ≤ x ≤ 200 $）
(2) 最省钱方案及最低运费
$ y = -0.2x + 968 $ 中，$ k = -0.2 ＜ 0 $，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小。
当 $ x $ 取最大值 $ 200 $ 时，$ y $ 最小。
此时：
甲校运往A小学：200本，运往B小学：$ 200 - 200 = 0 $本
乙校运往A小学：$ 240 - 200 = 40 $本，运往B小学：$ 60 + 200 = 260 $本
最低运费：$ y = -0.2×200 + 968 = 928 $元
| | 运往A小学(本) | 运往B小学(本) | 总计(本) |
|----------|--------------|--------------|----------|
| 甲校 | $ x $ | $ 200 - x $ | 200 |
| 乙校 | $ 240 - x $ | $ 60 + x $ | 300 |
| 总计 | 240 | 260 | 500 |
(1) 总运费函数关系式
总运费 $ y $ 由四部分组成：
甲校运往A小学：$ 2x $ 元
甲校运往B小学：$ 2.5(200 - x) $ 元
乙校运往A小学：$ 1.5(240 - x) $ 元
乙校运往B小学：$ 1.8(60 + x) $ 元
$\begin{aligned}y&=2x + 2.5(200 - x) + 1.5(240 - x) + 1.8(60 + x) \\&=2x + 500 - 2.5x + 360 - 1.5x + 108 + 1.8x \\&=(-0.2x) + 968 \\\end{aligned}$
$ x $ 取值范围：$ 0 ≤ x ≤ 200 $（$ x $ 为非负整数，且 $ 240 - x ≥ 0 $，$ 200 - x ≥ 0 $）
故函数关系式为：$ y = -0.2x + 968 $（$ 0 ≤ x ≤ 200 $）
(2) 最省钱方案及最低运费
$ y = -0.2x + 968 $ 中，$ k = -0.2 ＜ 0 $，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小。
当 $ x $ 取最大值 $ 200 $ 时，$ y $ 最小。
此时：
甲校运往A小学：200本，运往B小学：$ 200 - 200 = 0 $本
乙校运往A小学：$ 240 - 200 = 40 $本，运往B小学：$ 60 + 200 = 260 $本
最低运费：$ y = -0.2×200 + 968 = 928 $元
1. 甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品. 端午节期间两家商场让利酬宾，顾客在两家商场购物的付款额 $y_{甲}$、$y_{乙}$ (元) 与商品原价 $x$ (元) 之间的关系如图所示. 张阿姨计划在其中一家商场购买原价为 620 元的商品，从省钱的角度应选择()
A.甲商场
B.乙商场
C.甲、乙均可
D.不确定
A.甲商场
B.乙商场
C.甲、乙均可
D.不确定
答案
B
解析
设甲商场付款额$y_{甲}$与原价$x$的函数关系为$y_{甲}=k_{1}x$，将$(1000,700)$代入得$700=1000k_{1}$，解得$k_{1}=0.7$，故$y_{甲}=0.7x$。
设乙商场付款额$y_{乙}$与原价$x$的函数关系：当$x≤300$时，$y_{乙}=x$；当$x＞300$时，设$y_{乙}=k_{2}x+b$，将$(300,300)$，$(1000,580)$代入得$\begin{cases}300=300k_{2}+b\\580=1000k_{2}+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_{2}=0.4\\b=180\end{cases}$，故$y_{乙}=\begin{cases}x&(x≤300)\\0.4x+180&(x＞300)\end{cases}$。
当$x=620$时，$y_{甲}=0.7×620=434$，$y_{乙}=0.4×620+180=428$，因为$428＜434$，所以选择乙商场。
设乙商场付款额$y_{乙}$与原价$x$的函数关系：当$x≤300$时，$y_{乙}=x$；当$x＞300$时，设$y_{乙}=k_{2}x+b$，将$(300,300)$，$(1000,580)$代入得$\begin{cases}300=300k_{2}+b\\580=1000k_{2}+b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_{2}=0.4\\b=180\end{cases}$，故$y_{乙}=\begin{cases}x&(x≤300)\\0.4x+180&(x＞300)\end{cases}$。
当$x=620$时，$y_{甲}=0.7×620=434$，$y_{乙}=0.4×620+180=428$，因为$428＜434$，所以选择乙商场。
2. 某电商平台每月需通过“极速”快递公司向异地输送一批包裹. “极速”公司给出三种运费方案，具体如下：
方案一：每千克运费 0.5 元，按实际运输重量结算；
方案二：每月收取 750 元管理费用，再每千克运费 0.2 元；
方案三：每月收取 1500 元包干，不限运输重量.
设该公司每月运输包裹 $x$ 千克，选择方案一时，运费为 $y_{1}$ 元，选择方案二时，运费为 $y_{2}$ 元，选择方案三时，运费为 $y_{3}$ 元.
(1) 请直接写出 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 与 $x$ 之间的关系式；
(2) 在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出图象中任意两个方案函数图象交点的坐标，并直接写出如何选择方案更合算.
方案一：每千克运费 0.5 元，按实际运输重量结算；
方案二：每月收取 750 元管理费用，再每千克运费 0.2 元；
方案三：每月收取 1500 元包干，不限运输重量.
设该公司每月运输包裹 $x$ 千克，选择方案一时，运费为 $y_{1}$ 元，选择方案二时，运费为 $y_{2}$ 元，选择方案三时，运费为 $y_{3}$ 元.
(1) 请直接写出 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 与 $x$ 之间的关系式；
(2) 在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出图象中任意两个方案函数图象交点的坐标，并直接写出如何选择方案更合算.
答案
(1) $ y_{1}=0.5x $（$ x≥0 $）；$ y_{2}=0.2x + 750 $（$ x≥0 $）；$ y_{3}=1500 $（$ x≥0 $）。
(2) 求$ y_{1} $与$ y_{2} $交点：令$ 0.5x = 0.2x + 750 $，解得$ x = 2500 $，$ y = 0.5×2500 = 1250 $，交点坐标为$ (2500, 1250) $。
求$ y_{2} $与$ y_{3} $交点：令$ 0.2x + 750 = 1500 $，解得$ x = 3750 $，$ y = 1500 $，交点坐标为$ (3750, 1500) $。
选择方案：
当$ 0≤ x ＜ 2500 $时，选择方案一；
当$ x = 2500 $时，选择方案一或方案二；
当$ 2500 ＜ x ＜ 3750 $时，选择方案二；
当$ x = 3750 $时，选择方案二或方案三；
当$ x ＞ 3750 $时，选择方案三。
(2) 求$ y_{1} $与$ y_{2} $交点：令$ 0.5x = 0.2x + 750 $，解得$ x = 2500 $，$ y = 0.5×2500 = 1250 $，交点坐标为$ (2500, 1250) $。
求$ y_{2} $与$ y_{3} $交点：令$ 0.2x + 750 = 1500 $，解得$ x = 3750 $，$ y = 1500 $，交点坐标为$ (3750, 1500) $。
选择方案：
当$ 0≤ x ＜ 2500 $时，选择方案一；
当$ x = 2500 $时，选择方案一或方案二；
当$ 2500 ＜ x ＜ 3750 $时，选择方案二；
当$ x = 3750 $时，选择方案二或方案三；
当$ x ＞ 3750 $时，选择方案三。
