9. (★★)如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为(1,2)。将三角形ABC向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到三角形A'B'C'。请在图中画出三角形A'B'C'，并写出三角形A'B'C'的三个顶点的坐标。

解题步骤：
1. 确定原三角形顶点坐标
由图可知：
点 $ A(2, -1) $，点 $ B(4, 3) $，点 $ C(1, 2) $。
2. 平移规律
向左平移2个单位长度（横坐标减2），向上平移1个单位长度（纵坐标加1）。
3. 计算平移后顶点坐标
$ A'(2-2, -1+1) = (0, 0) $
$ B'(4-2, 3+1) = (2, 4) $
$ C'(1-2, 2+1) = (-1, 3) $
4. 画出三角形 $ A'B'C' $
在坐标系中描出点 $ A'(0,0) $、$ B'(2,4) $、$ C'(-1,3) $，连接各点。
结论：
三角形 $ A'B'C' $ 的顶点坐标为：
$ A'(0, 0) $，$ B'(2, 4) $，$ C'(-1, 3) $。
（注：画图步骤需在图中完成，此处省略图形。）

10. (★)将点A(-1,3)向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点A₁，则点A₁的坐标为。

在平面直角坐标系中，点的平移规律是：上下平移时，纵坐标上加下减；左右平移时，横坐标右加左减。
已知点$A(-1,3)$，将其向下平移$2$个单位长度，根据上述规律，纵坐标应减去$2$，得到坐标$(-1,3 - 2)=(-1,1)$。
再将得到的点$(-1,1)$向右平移$3$个单位长度，根据规律，横坐标应加上$3$，得到坐标$(-1 + 3,1)=(2,1)$。
所以点$A_1$的坐标为$(2,1)$。

11. (★★)将点A(3-p,2+q)向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B(p,-q)，则点B的坐标为【 】

A.(- $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$)
B.($\frac{1}{2}$, - $\frac{1}{2}$)
C.(- $\frac{1}{2}$, - $\frac{1}{2}$)
D.($\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$)

B

根据题意，点A(3 - p, 2 + q)向左平移2个单位，横坐标减少2；向下平移3个单位，纵坐标减少3，得到点B的坐标为：
$(3 - p - 2, 2 + q - 3) = (p, -q)$$ 因此有方程组： $
\begin{cases}
1 - p = p \\
q - 1 = -q
\end{cases}
$ 解第一个方程： $1 - p = p \implies 1 = 2p \implies p = \frac{1}{2}$$
解第二个方程：
$q - 1 = -q \implies 2q = 1 \implies q = \frac{1}{2}$$ 因此点B的坐标为： $(p, -q) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$$

12. (★★)在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为(0,-3)，点Q的坐标为(5,1)，连接PQ，将PQ向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度得到P₁Q₁。若点P₁的坐标为(a,b)，点Q₁的坐标为(m,n)，则aⁿ的值是【 】

A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{8}$
C.8
D.9

D

点P(0,-3)向上平移1个单位，再向左平移3个单位得到P₁，横坐标为0-3=-3，纵坐标为-3+1=-2，即P₁(-3,-2)，所以a=-3。点Q(5,1)向上平移1个单位，再向左平移3个单位得到Q₁，横坐标为5-3=2，纵坐标为1+1=2，即Q₁(2,2)，所以n=2。则aⁿ=(-3)²=9。

13. (★★)在平面直角坐标系中，点A(-2,3)，B(2,-1)，经过点A的直线a//x轴，C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为【 】

A.(0,-1)
B.(-1,-2)
C.(-2,-1)
D.(2,3)

D

因为直线a//x轴且过点A(-2,3)，所以直线a上所有点的纵坐标为3，设点C坐标为(x,3)。要使线段BC最短，根据垂线段最短，当BC垂直于直线a时最短，此时点C的横坐标与点B的横坐标相同，点B坐标为(2,-1)，所以x=2，故点C坐标为(2,3)。

14. (★★)如图，已知正方形ABCD的顶点A的坐标为(3,0)，线段AC与BD的交点是M。
(1)写出点M，B，C，D的坐标；
(2)若正方形中的点M由现在的位置经过平移后，得到点M'(-4,6)，请分别写出此时点A，B，C，D的对应点A'，B'，C'，D'的坐标。

(1) M(3,3)，B(6,3)，C(3,6)，D(-0,3)
(2) A'(-4,3)，B'(-1,6)，C'(-4,9)，D'(-7,6)