1. 下列运算正确的是()

A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
C.$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=2$
D.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$

C

A. 对于 $\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{3}$，由于它们不是同类二次根式，因此不能合并。所以，$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 不能简化为 $\sqrt{5}$，故 A 选项错误。
B. 对于 $2\sqrt{2} × 3\sqrt{2}$，我们可以使用乘法分配律进行计算：
$2\sqrt{2} × 3\sqrt{2} = 6 × (\sqrt{2} × \sqrt{2}) = 6 × 2 = 12$，
与选项给出的 $6\sqrt{2}$ 不符，故 B 选项错误。
C. 对于 $\sqrt{8} ÷ \sqrt{2}$，我们可以将其转化为乘法形式并进行化简：
$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$，
与选项给出的答案相符，故 C 选项正确。
D. 对于 $3\sqrt{2} - \sqrt{2}$，由于它们是同类二次根式，可以进行合并：
$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$，
与选项给出的 $3$ 不符，故 D 选项错误。

2. 若长方形相邻的两条边长分别是$\sqrt{20}$ $cm$和$\sqrt{125}$ $cm$，试求它的周长和面积。

周长
长方形周长公式：$ C = 2(a + b) $
其中 $ a = \sqrt{20} \, \mathrm{cm} $，$ b = \sqrt{125} \, \mathrm{cm} $
化简根式：
$ \sqrt{20} = \sqrt{4 × 5} = 2\sqrt{5} $
$ \sqrt{125} = \sqrt{25 × 5} = 5\sqrt{5} $
代入公式：
$ C = 2(2\sqrt{5} + 5\sqrt{5}) = 2(7\sqrt{5}) = 14\sqrt{5} \, \mathrm{cm} $
面积
长方形面积公式：$ S = a × b $
代入化简后的边长：
$ S = 2\sqrt{5} × 5\sqrt{5} = 2 × 5 × (\sqrt{5})^2 = 10 × 5 = 50 \, \mathrm{cm}^2 $
结论：周长为 $ 14\sqrt{5} \, \mathrm{cm} $，面积为 $ 50 \, \mathrm{cm}^2 $。

1. 计算$\sqrt{18}-\sqrt{2}$的值是()

A.2
B.3
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

D

先将$\sqrt{18}$化简，$\sqrt{18}=\sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$，
则$\sqrt{18} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。

2. 计算$\sqrt{48}-9\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的结果是()

A.$-\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$-\dfrac{11}{3}\sqrt{3}$
D.$\dfrac{11}{3}\sqrt{3}$

B

$\sqrt{48}-9\sqrt{\dfrac{1}{3}}=4\sqrt{3}-9×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$

3. 下列计算中，正确的是()

A.$\sqrt{5}-\sqrt{2}=\sqrt{3}$
B.$3+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{x}-x\sqrt{x}=(2-x)\sqrt{x}$
D.$\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{12}}{3}=\dfrac{\sqrt{18}}{3}=\sqrt{2}$

C

A. $\sqrt{5}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B. $3$与$4\sqrt{5}$不是同类二次根式，不能合并，故B错误；
C. $2\sqrt{x}-x\sqrt{x}=(2 - x)\sqrt{x}$，故C正确；
D. $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{12}}{3}=\dfrac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}≠\sqrt{2}$，故D错误。

4. 下列各组根式中，两式可以合并的是()

A.$\sqrt{2}$和$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{2}$和$\sqrt{0.5}$
C.$\sqrt{4ab}$和$\sqrt{ab^{2}}$
D.$2\sqrt{a-1}$和 $3\sqrt{a+1}$

B

A 选项中，先将 $\sqrt{12}$ 化简为 $2\sqrt{3}$，它与 $\sqrt{2}$ 不是同类二次根式，不能合并。
B 选项中，$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{0.5}$与 $\sqrt{2}$是同类二次根式，可以合并。
C 选项中，$\sqrt{4ab}=2\sqrt{ab}$，$\sqrt{ab^{2}}=\vert b\vert\sqrt{a}$，不是同类二次根式，不能合并。
D 选项中，$2\sqrt{a - 1}$与 $3\sqrt{a + 1}$不是同类二次根式，不能合并。

5. 若$\sqrt{45}+\sqrt{a}=b\sqrt{5}$($b$ 为整数)，则 $a$ 的值可以是()

A.$\dfrac{1}{5}$
B.27
C.24
D.20

D

首先化简 $\sqrt{45}$ 为 $\sqrt{45} = \sqrt{9 × 5} = 3\sqrt{5}$。
将化简后的 $\sqrt{45}$ 代入原式 $\sqrt{45} + \sqrt{a} = b\sqrt{5}$，得到 $3\sqrt{5} + \sqrt{a} = b\sqrt{5}$。
由于 $b$ 为整数，$\sqrt{a}$ 必须为最简二次根式且能表示为 $k\sqrt{5}$（$k$ 为有理数）的形式，这样才能与 $3\sqrt{5}$ 合并为整数倍的 $\sqrt{5}$。
检查选项：
A. $\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，不是整数倍的 $\sqrt{5}$。
B. $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，不能表示为 $k\sqrt{5}$ 的形式。
C. $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$，不能表示为 $k\sqrt{5}$ 的形式。
D. $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，可以表示为 $k\sqrt{5}$ 的形式，且 $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$，满足 $b$ 为整数的条件。

6. 若最简二次根式$\sqrt{2x+1}$和$\sqrt{4x-3}$能合并成一项，则 $x$ 的值为()

A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.2
D.5

C

由于最简二次根式$\sqrt{2x + 1}$与$\sqrt{4x - 3}$能合并，根据最简二次根式的性质，这两个根式下的表达式必须相等，即：
$2x + 1 = 4x - 3$，
移项得：
$2x = 4$，
从而解得：
$x = 2$。
将$x = 2$代入原式进行检验，确认满足题目条件。

7. 一个等腰三角形的两边长分别为 $8\sqrt{\dfrac{1}{8}}$，$12\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，则这个等腰三角形的周长为。

$14\sqrt{2}$

先化简两边长：$8\sqrt{\frac{1}{8}}=8×\frac{\sqrt{2}}{4}=2\sqrt{2}$，$12\sqrt{\frac{1}{2}}=12×\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$。
等腰三角形分两种情况：
①腰长为$2\sqrt{2}$，底边长为$6\sqrt{2}$，此时$2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}＜6\sqrt{2}$，不满足三角形三边关系，舍去；
②腰长为$6\sqrt{2}$，底边长为$2\sqrt{2}$，此时$6\sqrt{2}+6\sqrt{2}=12\sqrt{2}＞2\sqrt{2}$，$6\sqrt{2}+2\sqrt{2}=8\sqrt{2}＞6\sqrt{2}$，满足三边关系。
周长为$6\sqrt{2}+6\sqrt{2}+2\sqrt{2}=14\sqrt{2}$。

8. 已知$\sqrt{a-3}+|2-b|=0$，则$\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}$的值为。

$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

因为$\sqrt{a - 3} ≥ 0$，$|2 - b| ≥ 0$，且$\sqrt{a - 3} + |2 - b| = 0$，所以$\sqrt{a - 3} = 0$，$|2 - b| = 0$。解得$a = 3$，$b = 2$。将$a = 3$，$b = 2$代入$\dfrac{1}{\sqrt{a}} + \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}$，得$\dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$。化简$\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$，所以$\dfrac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$。

9. 计算：
(1)$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{8}+\sqrt{18}$；
(3)$\sqrt{16x}+\sqrt{64x}$；
(4)$3\sqrt{48}-9\sqrt{\dfrac{1}{3}}+3\sqrt{12}$。

(1)
解：根据合并同类二次根式法则，对于$a\sqrt{m}+b\sqrt{m}=(a + b)\sqrt{m}$（$m≥0$），
在$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}$中，$a = 2$，$b = 3$，$m = 2$，
则$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(2 + 3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
(2)
解：先将$\sqrt{8}$和$\sqrt{18}$化为最简二次根式。
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$。
则$\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(2 + 3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
(3)
解：先将$\sqrt{16x}$和$\sqrt{64x}$化为最简二次根式。
因为$x≥0$，$\sqrt{16x}=4\sqrt{x}$，$\sqrt{64x}=8\sqrt{x}$。
则$\sqrt{16x}+\sqrt{64x}=4\sqrt{x}+8\sqrt{x}=(4 + 8)\sqrt{x}=12\sqrt{x}$。
(4)
解：先将各项化为最简二次根式。
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，所以$3\sqrt{48}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$；
$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$9\sqrt{\frac{1}{3}}=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$；
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，所以$3\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
则$3\sqrt{48}-9\sqrt{\frac{1}{3}}+3\sqrt{12}=12\sqrt{3}-3\sqrt{3}+6\sqrt{3}=(12 - 3+6)\sqrt{3}=15\sqrt{3}$。
综上，答案依次为：(1)$5\sqrt{2}$；(2)$5\sqrt{2}$；(3)$12\sqrt{x}$；(4)$15\sqrt{3}$。