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重难点3 一元一次不等式组的应用
【典例3】某市出租车起步价是8元（3km及3km以内为起步价），以后每千米收费1.6元，不足1km按1km收费.若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，则此出租车行驶的路程可能为（B）
A. 5.5km
B. 6.9km
C. 7.5km
D. 8.1km
解析：设出租车行驶的路程为$s$km，由已知，得$\begin{cases}8 + 1.6×(s - 3)＞14.4 - 1.6, \\8 + 1.6×(s - 3)≤14.4,\end{cases}$解得$6＜s≤7$. 故选B.
【典例3】某市出租车起步价是8元（3km及3km以内为起步价），以后每千米收费1.6元，不足1km按1km收费.若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，则此出租车行驶的路程可能为（B）
A. 5.5km
B. 6.9km
C. 7.5km
D. 8.1km
解析：设出租车行驶的路程为$s$km，由已知，得$\begin{cases}8 + 1.6×(s - 3)＞14.4 - 1.6, \\8 + 1.6×(s - 3)≤14.4,\end{cases}$解得$6＜s≤7$. 故选B.
答案
B
解析
设出租车行驶的路程为$s$ km。
根据题意，总费用不超过$14.4$元，且超过$14.4-1.6 = 12.8$（因为不足1km按1km收费，所以当费用超过$12.8$元时，行驶路程会超过整数千米数，按多$1$km收费）元时，费用会变为$14.4$元以上的下一个收费值，所以可以建立不等式组：
$\begin{cases}8 + 1.6(s - 3) ＞ 12.8, \\8 + 1.6(s - 3) ≤ 14.4.\end{cases}$
解第一个不等式：
$8 + 1.6(s - 3) ＞ 12.8$，
$1.6(s - 3) ＞ 4.8$，
$s - 3 ＞ 3$，
$s ＞ 6$。
解第二个不等式：
$8 + 1.6(s - 3) ≤ 14.4$，
$1.6(s - 3) ≤ 6.4$，
$s - 3 ≤ 4$，
$s ≤ 7$。
综合两个不等式的解，得到：
$6 ＜ s ≤ 7$。
根据这个范围，只有$6.9$ km满足条件。
根据题意，总费用不超过$14.4$元，且超过$14.4-1.6 = 12.8$（因为不足1km按1km收费，所以当费用超过$12.8$元时，行驶路程会超过整数千米数，按多$1$km收费）元时，费用会变为$14.4$元以上的下一个收费值，所以可以建立不等式组：
$\begin{cases}8 + 1.6(s - 3) ＞ 12.8, \\8 + 1.6(s - 3) ≤ 14.4.\end{cases}$
解第一个不等式：
$8 + 1.6(s - 3) ＞ 12.8$，
$1.6(s - 3) ＞ 4.8$，
$s - 3 ＞ 3$，
$s ＞ 6$。
解第二个不等式：
$8 + 1.6(s - 3) ≤ 14.4$，
$1.6(s - 3) ≤ 6.4$，
$s - 3 ≤ 4$，
$s ≤ 7$。
综合两个不等式的解，得到：
$6 ＜ s ≤ 7$。
根据这个范围，只有$6.9$ km满足条件。
【对点训练】
3. 某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书. 一共有多少名学生？设一共有$x$名学生，则可列不等式组为$\begin{cases}\_\_\_\_\_\_, \\_\_\_\_\_\_.\end{cases}$ ______ ______
3. 某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书. 一共有多少名学生？设一共有$x$名学生，则可列不等式组为$\begin{cases}\_\_\_\_\_\_, \\_\_\_\_\_\_.\end{cases}$ ______ ______
答案
$\begin{cases}(3x + 10) - 5(x - 1) ＞ 0 \\ (3x + 10) - 5(x - 1) ＜ 3\end{cases}$
解析
设一共有$x$名学生，书的总数为$3x + 10$本。每人分5本时，前$x - 1$人共分$5(x - 1)$本，最后一人分到的书为$(3x + 10) - 5(x - 1)$本。因为最后一人分到了书但不到3本，所以$0 ＜ (3x + 10) - 5(x - 1) ＜ 3$。
基础巩固
1. 一元一次不等式组$\begin{cases}2 - x＞1, \\x＜4\end{cases}$的解集为( )
A. $1＜x＜4$
B. $x＜4$
C. $x＜1$
D. 无解
2. 登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山. 若每人带2瓶，则剩余3瓶；若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶(不为0瓶). 登山人数及矿泉水的瓶数分别是()
A. 5，13
B. 3，5
C. 5，15
D. 无法确定
3. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}6 - 3x＜0, \\2x≤ a\end{cases}$恰好有3个整数解，则$a$满足( )
A. $a = 10$
B. $10≤ a＜12$
C. $10＜a≤12$
D. $10≤ a≤12$
4. 某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否$≥33$”为一次操作. 如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的$x$的取值情况是()
A. $x = 15$
B. $x＜15$
C. $5≤ x＜9$
D. $x≥5$
5. (1)不等式组$\begin{cases}4x - 3＞x, \\x + 4＜2x - 1\end{cases}$的解集是 ______ 。
(2)不等式组$\begin{cases}x - 3(x - 2)≥ - 4, \\\dfrac{1 + 2x}{3}＜x - 1\end{cases}$的解集是 ______ 。
6. 七年级某班部分同学参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生. 如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后一名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个，则参加端午节包粽子活动的学生有人.
7. 已知不等式组$\begin{cases}5x + 1＞3(x - 1), \\\dfrac{1}{2}x≤8 - \dfrac{3}{2}x + 2a\end{cases}$恰好有2个整数解，求实数$a$的取值范围.
1. 一元一次不等式组$\begin{cases}2 - x＞1, \\x＜4\end{cases}$的解集为( )
A. $1＜x＜4$
B. $x＜4$
C. $x＜1$
D. 无解
2. 登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山. 若每人带2瓶，则剩余3瓶；若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶(不为0瓶). 登山人数及矿泉水的瓶数分别是()
A. 5，13
B. 3，5
C. 5，15
D. 无法确定
3. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}6 - 3x＜0, \\2x≤ a\end{cases}$恰好有3个整数解，则$a$满足( )
A. $a = 10$
B. $10≤ a＜12$
C. $10＜a≤12$
D. $10≤ a≤12$
4. 某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否$≥33$”为一次操作. 如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的$x$的取值情况是()
A. $x = 15$
B. $x＜15$
C. $5≤ x＜9$
D. $x≥5$
5. (1)不等式组$\begin{cases}4x - 3＞x, \\x + 4＜2x - 1\end{cases}$的解集是 ______ 。
(2)不等式组$\begin{cases}x - 3(x - 2)≥ - 4, \\\dfrac{1 + 2x}{3}＜x - 1\end{cases}$的解集是 ______ 。
6. 七年级某班部分同学参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生. 如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后一名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个，则参加端午节包粽子活动的学生有人.
7. 已知不等式组$\begin{cases}5x + 1＞3(x - 1), \\\dfrac{1}{2}x≤8 - \dfrac{3}{2}x + 2a\end{cases}$恰好有2个整数解，求实数$a$的取值范围.
答案
1. C
2. A
3. C
4. C
5. (1)$x＞5$；(2)$4＜x≤5$
6. 8
7. $-4≤a＜ - 3$
2. A
3. C
4. C
5. (1)$x＞5$；(2)$4＜x≤5$
6. 8
7. $-4≤a＜ - 3$
解析
1. 解$2 - x＞1$得$x＜1$，与$x＜4$取交集得$x＜1$。
2. 设人数为$x$，矿泉水为$y$，则$y=2x+3$，且$0＜y-3(x-1)＜2$，解得$x=5$，$y=13$。
3. 解$6 - 3x＜0$得$x＞2$，$2x≤a$得$x≤\frac{a}{2}$，整数解为3,4,5，故$5＜\frac{a}{2}≤6$，即$10＜a≤12$。
4. 第一次：$2x - 1＜33$得$x＜17$；第二次：$2(2x - 1)-1＜33$得$x＜9$；第三次：$2(4x - 3)-1≥33$得$x≥5$，故$5≤x＜9$。
5. (1)解$4x - 3＞x$得$x＞1$，$x + 4＜2x - 1$得$x＞5$，取交集得$x＞5$；(2)解$x - 3(x - 2)≥ - 4$得$x≤5$，$\frac{1 + 2x}{3}＜x - 1$得$x＞4$，取交集得$4＜x≤5$。
6. 设学生$x$人，粽子$4x + 6$个，$2≤4x + 6 - 5(x - 1)＜4$，解得$7＜x≤9$，$x=8$。
7. 解$5x + 1＞3(x - 1)$得$x＞ - 2$，$\frac{1}{2}x≤8 - \frac{3}{2}x + 2a$得$x≤4 + a$，整数解为-1,0，故$0≤4 + a＜1$，即$-4≤a＜ - 3$。
2. 设人数为$x$，矿泉水为$y$，则$y=2x+3$，且$0＜y-3(x-1)＜2$，解得$x=5$，$y=13$。
3. 解$6 - 3x＜0$得$x＞2$，$2x≤a$得$x≤\frac{a}{2}$，整数解为3,4,5，故$5＜\frac{a}{2}≤6$，即$10＜a≤12$。
4. 第一次：$2x - 1＜33$得$x＜17$；第二次：$2(2x - 1)-1＜33$得$x＜9$；第三次：$2(4x - 3)-1≥33$得$x≥5$，故$5≤x＜9$。
5. (1)解$4x - 3＞x$得$x＞1$，$x + 4＜2x - 1$得$x＞5$，取交集得$x＞5$；(2)解$x - 3(x - 2)≥ - 4$得$x≤5$，$\frac{1 + 2x}{3}＜x - 1$得$x＞4$，取交集得$4＜x≤5$。
6. 设学生$x$人，粽子$4x + 6$个，$2≤4x + 6 - 5(x - 1)＜4$，解得$7＜x≤9$，$x=8$。
7. 解$5x + 1＞3(x - 1)$得$x＞ - 2$，$\frac{1}{2}x≤8 - \frac{3}{2}x + 2a$得$x≤4 + a$，整数解为-1,0，故$0≤4 + a＜1$，即$-4≤a＜ - 3$。
